1.2.1&1.2.2 有理数的概念、数轴讲义【八大考点+八大题型】-2025-2026学年人教版七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

本讲义聚焦有理数与数轴的核心概念，系统构建从整数、分数到有理数的分类体系，明确数轴三要素及其与有理数的对应关系，层层递进地引导学生理解数形结合的思想方法。 资料设计亮点突出，体现数学眼光中的几何直观与符号意识，如通过数轴动态演示两数大小比较，强化空间观念；融合推理能力训练，在例题中设置“若a>0则点在原点右侧”等逻辑判断，培养理性思维；借助数轴整点覆盖问题展现数学语言的精确表达，帮助学生建立模型意识。课中便于教师开展探究式教学，课后可作为查漏补缺的优质资源，助力学生巩固基础、提升素养。

1.2.1&1.2.2 有理数、数轴 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一：有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数 知识点二：有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 知识点三：数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 知识点四：利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 知识点五：.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 知识点六.a可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0 ⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0 【题型归纳】 题型一：有理数的概念与分类 【例1】．（24-25七年级上·福建莆田）把下列各数对应序号填在相应的集合内： ；；，，，，，． 正数集合{_________________…}； 负分数集合{_________________…}； 非负整数集合{_________________…}； 有理数集合{_________________…}． 【答案】；；；． 【分析】本题考查了正数、负分数、非负整数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、负分数、非负整数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：， 正数集合{…}； 负分数集合{…}； 非负整数集合{…}； 有理数集合{…}； 故答案为：；；；． 【跟踪训练1】．（23-24七年级上·青海西宁·期中）把下列的数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开） 负数{         …}； 整数{        …}； 正分数{             …}； 有理数{          …}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的定义，解题的关键是正确掌握分类的标准以及注意0既不是正数也不是负数．根据有理数的分类填空即可． 【详解】解：负数{…}； 整数{…}； 正分数{…}； 有理数{…}． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 题型二：0的意义 【例2】．（22-23七年级上·全国·期中）关于“零”的说法正确的是（　　） （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（1）（3） 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的初步认识，0的意义；根据有理数的初步认识逐一判断即可． 【详解】解：0是整数，也是有理数， 0不是正数，也不是负数， 0也是自然数． ∴（1）（2）正确 故选：C． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 题型三：数轴的三要素和表示 【例3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题考查数轴，明确数轴的概念和三要素是关键．根据数轴的概念和三要素逐一分析即可． 【详解】解：A、规定直线上向右为正方向，故本选项错误，不符合题意； B、同一数轴上的单位长度一定相等，故本选项错误，不符合题意； C、数轴上的原点两边的点不可以表示同一个数，故本选项错误，不符合题意； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，故本选项正确，符合题意， 故选：D． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的定义，熟练掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，且数轴的单位长度相同是解题的关键，根据数轴的定义作出判断即可． 【详解】解：A、没有正方向，故本选项错误，不符合题意； B、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； C、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意； D、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·天津）如图，下列表示的数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的定义．根据数轴的三要素即可得出答案． 【详解】解：A选项单位长度不一致，本选项不符合题意； B选项符合数轴的定义，本选项符合题意； C选项没有正方向，本选项不符合题意； D选项负数不是从小到大排列，本选项不符合题意； 故选：B． 题型四：数轴表示有理数 【例4】．（2025·河南郑州·三模）如图，则有理数在数轴上对应的数据可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，由数轴可知有理数在和之间，更靠近， 据此判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，有理数在和之间，更靠近， ∴有理数在数轴上对应的数据可能是， 故选：． 【跟踪训练1】．（22-23七年级上·福建漳州·开学考试）如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴上的点的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； 因为， 故数轴上的点表示的数在和之间的是点； 故选C 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，数轴上从左至右有点B，O，A三点，其中点A表示的数是2024，点O表示的数是0．若点O是线段的中点，则点B表示的数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，用有理数表示数轴上的点，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 【详解】∵点A表示的数是2024，点O表示的数是0，点O是线段的中点， ∴点B表示的数是． 故选：B． 题型五：利用数轴比较大小 【例5】．（25-26七年级上·全国）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．根据图示，可得，，判断出、的取值范围，把，，，按照从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ． 故选：D． 题型六：数轴上的距离问题 【例6】．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）点在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，、若点表示的数为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含的式子表示出点表示的数，进而即可求解． 【详解】解：∵点所表示的数为，且位于原点左侧， ∴长为， ∵， ∴， ∵， ∴，且点位于原点右侧， ∴点表示的数为 故选：A． 【跟踪训练1】．如图，数轴上四点A，C，O，B，其中O为原点，且，点O是线段的中点．若点B表示的数为m，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据题意得出点A表示的数为，是解题关键． 【详解】解：∵点O是线段的中点．点B表示的数为m， ∴点A表示的数为， ∵， ∴点C表示的数为：， 故选：A． 【跟踪训练2】．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴．根据，求出，继而可以求出点表示的数． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴， ∵点在O点左侧， ∴点表示的数为：， 故选：D． 题型七：数轴上整点覆盖问题 【例7】．（25-26七年级上·全国）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 【跟踪训练1】．（22-23七年级上·四川广安·阶段练习）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是数轴的认识以及整数的概念．先将分数化为小数，然后找出数轴上被墨迹遮盖部分的范围，进而确定其中的整数． 【详解】解：∵， 即：在数轴上，大于且小于的整数有，，，共个． 故答案为：． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 题型八：数轴规律探索问题 【例8】．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D所对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2025次后，数轴上的数2025所对应的点是 ． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及有理数在数轴上的表示，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．根据题意可得出每4次翻转为一个循环组依次循环，用，根据是否整除，可得出数轴上数2025所对应的点的位置． 【详解】解：由题意可知，字母按照B，C，D，A的循环顺序，在数轴上对应着1，2，3，4…等数字，且翻转的次数与数轴上对应的数字相同， ∵， ∴数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东肇庆）下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义解答即可，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，0，π，0.0123中，有理数有，，0，0.0123，共4个， 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江杭州）下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类的知识，根据负数的定义和有理数的分类判断即可． 【详解】解：A、一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数是错误的，故选项A不符合题意， B、非负数就是正数和0，故选项B错误，不符合题意， C、有理数包括正数、0和负数，故选项C错误，不符合题意， D、0既不是正数也不是负数，正确，故选项D符合题意， 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）在有理数3.14，3，，0，，，，6005中，负分数的个数为x，正整数的个数为y，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、负分数和正整数，熟练掌握负分数和正整数的概念是解题关键．先根据负分数和正整数的定义可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：，是负分数，则， 3，6005是正整数，则， ． 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 5．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的坐标特征． 逐一判断即可． 【详解】解：①若，则数轴上表示数x的点更靠左；原说法正确； ②若，无法判断哪个点离原点更近；原说法错误； ③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；原说法正确； ④若，无法判断哪个点更靠左；原说法错误； 故选：C 6．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可． 【详解】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误； 数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误； 有理数在数轴上能表示出来；故③说法错误； 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确； 故选A． 7．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中，．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据，，，得到且，然后结合选项中的数轴，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵，，， ∴且， 即 故选：D． 8．（25-26七年级上·全国）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列各数：，，，，，9.2，0，8．将它们填入图中相应的圈内，则填入公共部分区域M和N的数分别为（    ） A． B．，8 C．，8 D．，9.2 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键. 根据题意可得区域M的数是负整数，有：；区域N的数是正整数，有：8，然后进行计算即可解答. 【详解】解：区域M的数是负整数，有：； 区域N的数是正整数，有：8， 故选：B ． 10．（25-26七年级上·全国·周测）小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键． 原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故选：C． 二、填空题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出一个既不是非正数又不是整数的数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数． 根据有理数的分类方法解答即可． 【详解】解：既不是非正数又不是整数的数可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求填出2个相应的有理数： （1）既是正数也是分数： ； （2）既不是负数也不是分数： ； （3）既不是分数，也不是正数： ． 【答案】 （答案不唯一）． 1、2（答案不唯一）． （答案不唯一） 【分析】根据有理数的不同分类定义，分别找出符合各小题要求的有理数．本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的不同分类标准是解题的关键． 【详解】解：（1）既是正数也是分数：， 故答案为：（答案不唯一）． （2）既不是负数也不是分数：1、2， 故答案为：1、2（答案不唯一）． （3）既不是分数，也不是正数：， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（21-22七年级上·四川德阳·期中）下列各数：，，，，，，，，，，，． 其中正分数有 个，非负整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查有理数的分类． 分别找出正分数和非负整数，确定个数即可． 【详解】解：正分数有：，， 非负整数有：，，，，， ∴正分数有个，非负整数有个， 故答案为：，． 14．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列应是 （用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， 故答案为：． 15．（2023七年级上·江苏泰州·竞赛）众所周知，公元纪年中没有公元零年．历史长河就像一条“缺0的数轴”，比如秦始皇嬴政生于公元前259年，祖冲之生于公元429年，公元429年可用“缺0的数轴”上的数表示，公元前259年可用“缺0的数轴”上的数 表示，公元前a年和公元前b年相差的年数为 ． 【答案】 【分析】本题考查“缺0数轴”表示相反意义的数，绝对值的性质，根据题意即可解答． 【详解】解：根据题意，公元前259年可用“缺0数轴”上的数表示， 公元前a年和公元前b年相差的年数为． 故答案为：，． 16．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，先求出的长，再由折叠的性质得到，再分当点在的右侧时，当点在的左侧时，两种情况分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B表示的数分别是，10， ∴， 由折叠可知， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 当点在的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故答案为：4或 三、解答题 17．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 根据有理数的定义作答即可． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 18．（25-26七年级上·全国）把下列各数填在相应的集合中： ，6，，0，，，，，，，，，2018，． 正整数集：{                  …}； 正数集：{                    …}； 负分数集：{                  …}； 非负整数集{                  …}； 分数集：{                    …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类作答即可． 【详解】解：正整数集：{6，，2018，…}； 正数集：{6，，，，，2018，…}； 负分数集：{，，，，，…}； 非负整数集{6，0，，2018，…}； 分数集：{，，，，，，，，…}． 19．（25-26七年级上·全国）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题： (1)将B点向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (2)将A点向右移动4个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (3)将C点向左移动6个单位长度后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？ (4)若每个点只能移动一次，怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)点B表示的数最小，是； (2)点B表示的数最小，是； (3)1； (4)见解析． 【分析】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． （1）根据向左移动减，求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减，求出点C表示的数，然后作出判断即可； （4）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【详解】（1）解：将B点向左移动3个单位长度后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）解：将A点向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （3）解：将C点向左移动6个单位长度后，表示的数是， 这时B点表示的数比C点表示的数大1； （4）解：有三种移动方法： ①点A向右移动7个单位长度，点B向右移动5个单位长度； ②点A向右移动2个单位长度，点C向左移动5个单位长度； ③点B向左移动2个单位长度，点C向左移动7个单位长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1&1.2.2 有理数的概念、数轴 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一：有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数 知识点二：有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 知识点三：数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 知识点四：利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 知识点五：.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 知识点六.a可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0 ⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0 【题型归纳】 题型一：有理数的概念与分类 【例1】．（24-25七年级上·福建莆田）把下列各数对应序号填在相应的集合内： ；；，，，，，． 正数集合{_________________…}； 负分数集合{_________________…}； 非负整数集合{_________________…}； 有理数集合{_________________…}． 【跟踪训练1】．（23-24七年级上·青海西宁·期中）把下列的数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开） 负数{         …}； 整数{        …}； 正分数{             …}； 有理数{          …}． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 题型二：0的意义 【例2】．（22-23七年级上·全国·期中）关于“零”的说法正确的是（　　） （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（1）（3） 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 题型三：数轴的三要素和表示 【例3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·天津）如图，下列表示的数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四：数轴表示有理数 【例4】．（2025·河南郑州·三模）如图，则有理数在数轴上对应的数据可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（22-23七年级上·福建漳州·开学考试）如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，数轴上从左至右有点B，O，A三点，其中点A表示的数是2024，点O表示的数是0．若点O是线段的中点，则点B表示的数是（    ） A．2024 B． C． D． 题型五：利用数轴比较大小 【例5】．（25-26七年级上·全国）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型六：数轴上的距离问题 【例6】．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）点在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，、若点表示的数为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，数轴上四点A，C，O，B，其中O为原点，且，点O是线段的中点．若点B表示的数为m，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（   ） A．2025 B． C． D． 题型七：数轴上整点覆盖问题 【例7】．（25-26七年级上·全国）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【跟踪训练1】．（22-23七年级上·四川广安·阶段练习）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有 个． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 题型八：数轴规律探索问题 【例8】．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D所对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2025次后，数轴上的数2025所对应的点是 ． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东肇庆）下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26七年级上·浙江杭州）下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 3．（25-26七年级上·全国）在有理数3.14，3，，0，，，，6005中，负分数的个数为x，正整数的个数为y，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 5．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 6．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 7．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中，．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列各数：，，，，，9.2，0，8．将它们填入图中相应的圈内，则填入公共部分区域M和N的数分别为（    ） A． B．，8 C．，8 D．，9.2 10．（25-26七年级上·全国·周测）小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 二、填空题 11．（25-26七年级上·全国）写出一个既不是非正数又不是整数的数： ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求填出2个相应的有理数： （1）既是正数也是分数： ； （2）既不是负数也不是分数： ； （3）既不是分数，也不是正数： ． 13．（21-22七年级上·四川德阳·期中）下列各数：，，，，，，，，，，，． 其中正分数有 个，非负整数有 个． 14．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列应是 （用“”号连接）． 15．（2023七年级上·江苏泰州·竞赛）众所周知，公元纪年中没有公元零年．历史长河就像一条“缺0的数轴”，比如秦始皇嬴政生于公元前259年，祖冲之生于公元429年，公元429年可用“缺0的数轴”上的数表示，公元前259年可用“缺0的数轴”上的数 表示，公元前a年和公元前b年相差的年数为 ． 16．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是 ． 三、解答题 17．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}；负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}；负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 18．（25-26七年级上·全国）把下列各数填在相应的集合中： ，6，，0，，，，，，，，，2018，． 正整数集：{                  …}； 正数集：{                    …}； 负分数集：{                  …}； 非负整数集{                  …}； 分数集：{                    …}． 19．（25-26七年级上·全国）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题： (1)将B点向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (2)将A点向右移动4个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (3)将C点向左移动6个单位长度后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？ (4)若每个点只能移动一次，怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $