精品解析：河北省强基联盟联考2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题

2025届高三年级第一次模拟考试 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若P，Q是直线：（）上的两点，且对任意， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年2月在黑龙江举行的第九届亚洲冬季运动会再次使冰雪经济成为关注热点.已知2018—2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（ ） A. 该组数据的极差是628.7 B. 该组数据的中位数是594.9 C. 该组数据的40％分位数是445.2 D. 该组数据的平均数大于630 10. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. D. 11. 如图，已知正方体. 的棱长为3，点P 在线段AC 上运动，则（ ） A. 平面 B. 存在唯一点 P，使得 与所成角的大小为30° C. 与平面所成的角随AP的增大先变大再变小 D. 若Q为棱BC 上一动点，则△的周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知，则________． 13. 的展开式中的系数为________. 14. 著名费马问题是法国数学家皮埃尔•德•费马（1601-1665）于1643年提出了三角形中的“费马点”，即“对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点”.在中，是的费马点，则的长度为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 疫情结束以来，为缓解就业压力、解决生计问题，很多城市放开了夜市地摊经济.很多小朋友对夜市中的“套圈”比较感兴趣.在一个“套圈”的摊位上，摊主规定：成功套中商品1次或套5次后游戏结束，每套一次圈需花费5元，每次套中商品的概率为 ，用随机变量X 表示某位小朋友的“套圈”次数. （1）求X 的分布列和数学期望； （2）若“套圈”摊位中，每件商品的平均价格为10元，调查发现，一个套圈摊位，每天约有40名小朋友玩“套圈”，用数学期望估计该摊主每天的利润（保留整数）. 16. 如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面. （1）证明:四边形为菱形; （2）若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 17. 已知数列前项和为，且. （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，为上轴上方的一点，与的斜率之积为为上一点，为的中点，直线为坐标原点）交于点，为轴上方的点． （1）求的方程； （2）若为的重心，求的坐标； （3）过点作平行于的直线交于点，求的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）当时，若有两个极值点， ①证明：； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级第一次模拟考试 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义，找出全集中不在集合中的元素. 【详解】根据补集的定义知. 故选：B. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 3. 双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程，可知渐近线方程为，再结合条件及间的关系，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 4. 将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，由三角函数的图象变换，得到，结合的图象关于轴对称，求得，进而得到答案. 【详解】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 又因为，所以的最小值为. 故选：B. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点为，则也是，的中点， 故， 因此 故选：C. 7. 已知点，若P，Q是直线：（）上的两点，且对任意， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析得到点M在以为直径的圆上或圆内，从而得到线段的范围. 【详解】由直线：化为，故直线恒过定点. 点到直线：距离. 对任意， 恒成立,等价于点M位于以线段为直径的圆上或圆内. 要使直线上存在这样P，Q点，则点M到直线的距离不大于以线段为直径的圆的半径，即， 所以.根据题意，该不等式对任意恒成立， 所以，而，故. 故选：D. 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原方程等价于，令，利用导数求出其最大值为零后可得的值，从而可得正确的选项. 【详解】由题意，得， 令，则有， 又，故， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 又，故，所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年2月在黑龙江举行的第九届亚洲冬季运动会再次使冰雪经济成为关注热点.已知2018—2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（ ） A. 该组数据的极差是628.7 B. 该组数据的中位数是594.9 C. 该组数据的40％分位数是445.2 D. 该组数据的平均数大于630 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A：用数据里最大数减最小数得极差，再和选项数值对比. 对于选项B：把数据从小到大排，因个数是奇数，中间数就是中位数. 对于选项C：按公式算，根据i是否为整数确定分位数位置，找出对应分位数. 对于选项D：数据总和除以个数得平均数，再和630比较. 【详解】已知这组数据为454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0，其中最大值为1083.0，最小值为445.2，则极差为，所以选项A错误.  将这组数据从小到大排列为445.2，454.3，487.5，594.9，713.9，833.1，1083.0，一共有个数，中间的数是第个数，即594.9，所以该组数据的中位数是594.9，选项B正确.  ，2.8不是整数，向上取整为，所以该组数据的分位数是第个数，即，选项C错误.  这组数据的总和为，数据个数为，则平均数为，选项D正确.  故选：BD. 10. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用点在抛物线上求得抛物线方程，进而求得其准线方程可判断A；先求得直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用判别式即可判断B；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合两点距离公式与弦长公式分别求得所需要线段长，从而可判断CD. 【详解】对于A，因为点在上，所以，解得， 所以的标准方程为，其准线方程为，故A错误； 对于B，由题可知，则直线的方程为， 联立，消去，得， 此时，故与相切，故B正确； 对于CD，由题意知的斜率存在，设的方程为， 联立，消去，得， 则，即， 设，则， 又， 所以， ，故C正确，D错误. 故选：BC. 11. 如图，已知正方体. 的棱长为3，点P 在线段AC 上运动，则（ ） A. 平面 B. 存在唯一点 P，使得 与所成角大小为30° C. 与平面所成的角随AP的增大先变大再变小 D. 若Q为棱BC 上一动点，则△的周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行证明线面平行可判断A，先确定的轨迹，研究轨迹和的关系可判断B，结合线面角的表达式可判断C，把三角形三边都转化到底面中，结合余弦定理可求最小值. 【详解】对于A，连接,由正方体的性质可得，, , 因为，平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面，A正确； 对于B，因为，所以与所成角为30°时，与所成角也为30°， 因为，所以， 所以点在底面内的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 如图，在正方形中，，， 作于，由等面积法可得， 所以不存在使得 与所成角的大小为30°，B错误； 对于C，在平面内的投影为，设与平面所成的角为， 则，由图易得随AP的增大先变小再变大，所以先变大再变小， 因为时，为增函数， 所以与平面所成的角随AP的增大先变大再变小，C正确； 对于D，把和侧面分别绕旋转到底面内，如图， △的周长为,由图易知，最小值为图中虚线长， 因为△为等边三角形，且边长为，所以中，，, 由余弦定理可得，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】化简，可得，由，代入数据即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以． 故答案为： 13. 的展开式中的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项,求出指定项的系数. 【详解】展开式为,当时,得, 对于二项式的展开式为,当时得. 则含的展开式为. 故答案为:. 14. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德•费马（1601-1665）于1643年提出了三角形中的“费马点”，即“对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点”.在中，是的费马点，则的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，费马点在内，作出辅助线，推出在线段上，利用半角公式得到，故，由正弦定理得到. 【详解】由，得.故费马点在内， 且. 取的中点，由，得是线段的中垂线. 和中，，， 两式相减，得， 即0，可见， 所以在的中垂线上. 又在内，所以在线段上. . 在中，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 疫情结束以来，为缓解就业压力、解决生计问题，很多城市放开了夜市地摊经济.很多小朋友对夜市中的“套圈”比较感兴趣.在一个“套圈”的摊位上，摊主规定：成功套中商品1次或套5次后游戏结束，每套一次圈需花费5元，每次套中商品的概率为 ，用随机变量X 表示某位小朋友的“套圈”次数. （1）求X 的分布列和数学期望； （2）若“套圈”摊位中，每件商品的平均价格为10元，调查发现，一个套圈摊位，每天约有40名小朋友玩“套圈”，用数学期望估计该摊主每天的利润（保留整数）. 【答案】（1）分布列见解析， （2）305 【解析】 【分析】（1）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，根据数学期望公式得结果； （2）间接法求出一个小朋友套商品成功的概率，从而计算一个小朋友的利润，再计算总利润. 【小问1详解】 由题意知，随机变量的取值为，则 ， ， 即的分布列为 1 2 3 4 5 所以. 【小问2详解】 由题意小朋友套商品未成功的概率为.， 则小朋友套商品成功的概率为. 记摊主每天利润为元，则的期望为 ， 故摊主每天利润的期望为元. 16. 如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面. （1）证明:四边形为菱形; （2）若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线线垂直，进而证明平面，得出对角线垂直，进一步可得结论； （2）建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案. 【小问1详解】 设，连接，过向作垂线，垂足为， 因为平面⊥平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为,平面，所以平面，所以， 因为为平行四边形，所以为菱形. 【小问2详解】 因为，结合（1）可知底面为正方形， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则; ,; 设平面的一个法向量为，则， 令得，. 设平面的一个法向量为，则， 令得，. 设平面与平面的夹角为，则， 所以，即平面与平面的夹角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系可知是以2为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用等差数列通项公式分析求解； （2）根据题意可知：的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 当时，，且，所以； 当时，由，得，则 ，可得， 即，且，可得， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，可得， 且，可知是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知， 可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列. 当时，； 当时，； 综上所述：. 18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，为上轴上方的一点，与的斜率之积为为上一点，为的中点，直线为坐标原点）交于点，为轴上方的点． （1）求的方程； （2）若为的重心，求的坐标； （3）过点作平行于的直线交于点，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）40. 【解析】 【分析】（1）设点，利用斜率坐标公式及给定点列式求出即可求出的方程. （2）由三角形重心定理，借助向量用点坐标表示点的坐标，建立方程组求解. （3）结合平行关系，求出直线斜率的关系，设出直线的方程，与椭圆方程中联立求出，并求得，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 设点，则，即，而， 由直线的斜率为，得，则， 由点在上，得，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 由为的重心，得，由（1）知，则， 于是，即， 由点均在上，得，而，解得， 所以的坐标为. 【小问3详解】 由是的中点，是的中点，得，直线斜率满足， 由，得直线的斜率满足， 而，则，即， 直线的方程为，代入，得， 于是，，则， 同理，因此，则， 从而，则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为40. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若有两个极值点， ①证明：； ②证明：． 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）①对求导，令，问题化为有两个变号零点（在零点的两侧函数值符号相反），进而根据最小值小于0即可证结论；②设，问题化为是关于的方程的两个不相等的实数根，且，应用分析法转化为证，构造函数并利用导数证明结论. 【小问1详解】 当时，，所以，故， 又，所以曲线在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ①且，令， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点（在零点的两侧函数值符号相反）． ，令，得，令，得， 所以， 因为，令， 对于且，有，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，趋向于，故，此时有， 显然当时，， 所以当时，恒正且趋向于0，必存在，此时， 要使有两个变号零点，必有， 所以，可得． ②由①知，是的两个不相等的正实数根，不妨设， 所以，即， 设，则是关于方程的两个不相等的实数根，且， 要证，只需证，即证，只需证． 即证， 需证，即证． 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 故． 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问将问题化为有两个变号零点（在零点的两侧函数值符号相反），二小问，则是关于的方程的两个不相等的实数根，且，进而将问题化为证为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $