精品解析：2024届河北省承德市八校高考数学一模试卷

2024年河北省承德市八校高考数学一模试卷 一、单选题 1. 已知为虚数单位，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先进行复数的除法运算，得a,b值，再进行乘方运算即可 【详解】2 故选：C 【点睛】本题考查复数的运算，本题解题的关键是把复数整理成复数的代数形式的标准形式，得到实部和虚部． 2. 某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质列式求解. 【详解】由题意知且，解得，， 则远地点离地面的距离为. 故选：A. 3. 若集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，列出的不等关系，求解即可. 【详解】集合，，若 则，即的取值范围是. 故选：D. 4. 不等式在R上恒成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出不等式恒成立时，，根据必要不充分条件的含义，一一代入选项比较即可. 【详解】当不等式在R上恒成立时，可得，解得． 选项A中，是不等式成立的充分不必要条件； 选项B中，是不等式成立的既不充分也不必要条件； 选项C中，是不等式成立的必要不充分条件； 选项D中，是不等式恒成立的充要条件． 故选：C． 5. 把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（　　） A. 16 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】依题意分成按1，1，1放或按1，2放两类情况分别计数，再运用加法原理计算即可. 【详解】把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球， 可分成两类情况： ①在4个不同的盒子中任取3个盒子，每个盒子中放一个，有种放法， ②把3个球分为两组，一组1个，一组2个，分别放到两个不同的盒子中，有种放法. 由分类加法计数原理：不同方法有：4+12=16种． 故选：A． 6. （ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：B 7. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，求出导函数，可求得极值点分别为或，再分类讨论，确定原函数的单调区间，结合极小值的定义，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为，则函数的定义域为， 则， 令，解得：或， 若，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意； 若当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去； 当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去； 当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意. 综上，实数的取值范围是 故选：C 8. 三人玩报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2022个数字为（ ） A. 5982 B. 5981 C. 5980 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析出A第n次报数的个数为3n-2,进一步求出3人一共报的次数,利用前n项和公式的应用求出结果. 【详解】由题意可得:A第n次报数的个数为3n-2, 则A第n次报完数后共报的个数为. 再代入正整数n,使得Tn≥2022,解得:n的最小值为37,得T37=2035. 而A第37次报时,3人总共报了36×3+1=109次, 当A第109次报完数3人总的报数个数为,即A报出的第2035个数字为5995,故A报出的第2022个数字为5995-(2035-2022)=5982. 故选:A. 二、多选题 9. 定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 2是的一个周期 C. 是的一个对称中心 D. 为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由奇函数性质得；对于B，首先得，进一步有以及，由此即可判断；对于C，由对称轴、对称中心即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足，所以，故A正确； 且，所以，即的周期是4，不是2，故B错误； 因为，所以的对称轴为， 又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确； 因为，所以，即为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛物线上，则下列说法错误的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. C. 双曲线的渐近线为 D. 点P到抛物线焦点的距离为6 【答案】CD 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，离心率及渐近线，列出方程，求出，再根据焦半径公式求出点到抛物线焦点得距离，判断出CD错误. 【详解】焦点坐标为，离心率，A正确； 的焦点坐标为，故，解得：，B正确； 双曲线渐近线方程为，C错误； 点在抛物线上，故点P点抛物线焦点的距离为，故D错误. 故选：CD 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用等量代还，化简不等式，由指数函数的性质，可得答案； 对于B、C，构造函数，求导研究其单调性，求其最值，可得答案； 对于D，利用整体思想，变换代还，由指数函数的性质，可得答案. 【详解】对于A，由，则需证，，， 显然不成立，故A错误； 对于B，令，，令，， 令，解得，可得下表： 极小值 则，即单调递增， 当时，，由，则，即，故B正确； 对于C，由B可知，要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则， 令，，令，则， 当时，，单调递减，单调递减； 当时，，单调递增，单调递增， 所以有最小值，由得， 所以在区间上单调递增，故， 所以成立，故C选项正确； 对于D，由，则， 易知单调递增，无最大值，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知，则______，______． 【答案】 ①. 0 ②. 5 【解析】 【分析】令原式中的，可求出的值，结合二项式展开式通项公式求的展开式中的系数可得结果 【详解】因为 令，可得， ， 二项式的展开式中含的项为， 代数式的展开式中含的项为， 所以的展开式中含的项为， 所以，则， 故答案：0；5. 13. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可； 【详解】因为是偶函数，所以 所以， 又因为在上单调递增， 所以， 解得：， 故答案为：. 14. 如图在中，为斜边的中点，，，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，可得，，根据数量积运算化可将用表示，再利用三次均值不等式求解即可. 【详解】设，，则，， ， ， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）（2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可得出切线方程； （2）对函数求导，用导数方法判断函数在上的单调性，即可得出结果. 【详解】解：（1）由函数， 所以 ， 直线斜率，切点，则直线方程为. （2）令，，得， 所以，列表 0 - 0 + -3 极小值 因此在区间上的最小值为，最大值为. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程以及函数在给定区间的最值问题，熟记导数的几何意义、会用导数的方法研究函数的单调性、最值等，即可求解，属于常考题型. 16. 大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集个该渗压计管内水位和水库水位监测数据： 样本号 总和 水库水位 渗压计管内水位 并计算得，，． （1）估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位； （2）求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到）； （3）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值． 附：相关系数，，，． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算方法直接求解即可； （2）根据表格数据计算得到相关系数公式中的各个数据，代入公式即可； （3）由最小二乘法可求得经验回归方程，代入即可求得预估值. 【小问1详解】 水库的平均水位， 号渗压计管内平均水位 【小问2详解】 ， 同理可得：， ， 【小问3详解】 ，， 号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为， 当时，预测值， 即水库的水位为时，号渗压计管内水位的估计值为. 17. 如图，在四面体PABC中，，，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点. （1）求证：平面BCP； （2）求证：四边形DEFG为矩形； （3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q的位置（不需要论证）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，Q点即是DF与EG的交点O 【解析】 【分析】(1)只要证明DE平行于平面BCP内的一条直线即可； (2)只要证明四边形DEFG是平行四边形，并且有两条邻边互相垂直即可； (3)构造另一个矩形，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可. 【小问1详解】 由题意，DE是 底边PC上的中位线， ， 平面BCP， 平面BCP， 平面BCP； 【小问2详解】 由题意， ，同理 ， ，四边形DEFG是平行四边形， 同理， ，∴平行四边形DEFG是矩形； 【小问3详解】 如图： 设PC的中点为J，AB的中点为 K，连接JG，EK， 则有： ， ， ∴四边形EKGJ是平行四边形， 连接JE，KG，则有: ，平行四边形EKGJ是矩形， 连接JK，DG，交点为O，则O是EG的中点，因此也是矩形DEFG对角线的交点， 是直角三角形，O是斜边EG的中点， ， 即点O到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等，所以所求的Q点即是O点； 综上，到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等的点存在，就是矩形DEFG的对角线的交点O. 18. 已知等差数列中，，，数列满足，. （1）求数列通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）（）；（2）（）. 【解析】 【分析】 （1）解方程组求出，即得数列通项公式； （2）分析得到数列是首项为1，公比为3的等比数列，再求数列的前n项和. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，由，， 所以，， （）； （2）由（1）得， ，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， （）. 【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列常用的方法有：（1）定义法（证明某一非零常数）；（2）中项法（证明）. 19. 已知二次函数. （1）若等式恒成立，其中，，为常数，求的值； （2）证明：是方程有两个异号实根的充要条件； （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）解法1：由求得. 解法2：在中令得结果. （2）根据充要条件的定义证明．证明必要性和充分性． （3）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入通过讨论特殊情况后配合基本不等式求出最值. 【小问1详解】 解法1：， 由得， 故. 解法2：在中令得. 【小问2详解】 证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根，设两根为， ∴，且，∴. 充分性：由可推出，从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， ∴方程（a，b，c是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 【小问3详解】 若对任意，不等式恒成立， 整理得：恒成立，因为a不为0， 所以，所以， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为. 【点睛】关键点睛：求的最大值时，利用将代换为，从而由三个量化为两个量， 再将化为，将视为一个量，从而最终化为只有一个量的函数，对多元变量求最值问题时关键是转化变量减少变量的个数，最终化为只有一个量的函数求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北省承德市八校高考数学一模试卷 一、单选题 1. 已知为虚数单位，若，则 A. B. C. D. 2. 某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 不等式在R上恒成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 把3个相同小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（　　） A. 16 B. 24 C. 64 D. 81 6. （ ） A. B. C. D. 2 7. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 三人玩报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2022个数字为（ ） A. 5982 B. 5981 C. 5980 D. 以上都不对 二、多选题 9. 定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 2是的一个周期 C. 是的一个对称中心 D. 为偶函数 10. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛物线上，则下列说法错误的是（ ） A. 双曲线离心率为2 B C. 双曲线渐近线为 D. 点P到抛物线焦点的距离为6 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，则______，______． 13. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______． 14. 如图在中，为斜边的中点，，，则的最大值是__________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集个该渗压计管内水位和水库水位监测数据： 样本号 总和 水库水位 渗压计管内水位 并计算得，，． （1）估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位； （2）求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到）； （3）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值． 附：相关系数，，，． 17. 如图，在四面体PABC中，，，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点. （1）求证：平面BCP； （2）求证：四边形DEFG为矩形； （3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q的位置（不需要论证）. 18. 已知等差数列中，，，数列满足，. （1）求数列通项公式； （2）求数列的前n项和. 19. 已知二次函数. （1）若等式恒成立，其中，，为常数，求的值； （2）证明：是方程有两个异号实根的充要条件； （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $