8.2.3二项分布同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

8.2.3　二项分布 一、基础达标 1.抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件M=“第一枚硬币正面向上”,N=“第二枚硬币反面向上”,则下列结论中正确的是(　　) A.M与N是对立事件 B.M与N是互斥事件 C.M与N相互独立 D.M与N既不互斥也不独立 2.已知X~B4,,则P(X=1)=(　　) A. B. C. D. 3.某试验每次成功的概率为p(0<p<1),现重复进行10次该试验,则恰好有7次试验未成功的概率为(　　) A.p3(1-p)7 B.p7(1-p)3 C.p4(1-p)6 D.p6(1-p)4 4.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次,每次取球1个,记X为取得红球的次数,则D(X)=(　　) A. B. C. D. 5.设随机变量X的分布列为P(X=k)=·()n-k,k=0,1,2,…,n,且E(X)=24,则D(X)的值为(　　) A. B.8 C.12 D.16 6.(多选题)下列试验不是n重伯努利试验的是(　　) A.依次投掷四枚质地不同的硬币 B.某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次 C.口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球 D.小明做10道难度不同的数学单选题 7.排球比赛实行“五局三胜制”,根据此前的若干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛中,每场比赛甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为　　　　　.  8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别是和p,且在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为. (1)求p的值; (2)设系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列. 二、能力提升 9.某人参加考试,共考6个科目,假设他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是p,且p>,若此人通过的科目数X的方差是,则E(X)=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 10.某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为(　　) A. B.3 C. D.2 11.若X~B(7,),则使P(X=k)最大的k的值是(　　) A.2 B.3 C.4或3 D.4 12.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)=(　　) A. B. C. D. 13.A,B两组各有3人独立地破译某密码,A组每个人成功破译出该密码的概率为p1,B组每个人成功破译出该密码的概率为p2,记A,B两组中成功破译出该密码的人数分别为X,Y,若0<p1<p2<,则下列关系正确的是(　　) A.E(X)>E(Y),D(X)<D(Y) B.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) D.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) 14.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=,则D(Y)=　　　　　.  15.一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是. (1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列、期望、方差; (2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 三、拓展探究 16.(多选题)设随机变量X~B(n,p),记pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,下列说法错误的是(　　) A.当k由0增大到n时,pk先增后减,在某一个(或两个)k值处达到最大 B.如果(n+1)p为正整数,当且仅当k=(n+1)p时,pk取得最大值 C.如果(n+1)p为非整数,当且仅当k取(n+1)p的整数部分时,pk取得最大值 D.E(X)=np(1-p) 17.(多选题)小王、小张两人进行象棋比赛,共比赛2n(n∈N*)局,且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为P(n),则下列结论正确的是(　　) A.P(1)= B.P(2)=P(1) C.P(n)< D.P(n)随着n的增大而增大 参考答案 1.C　由于事件M与事件N能同时发生,所以不为互斥事件,也不是对立事件,A,B错误;两个事件可以同时发生,也可以都不发生,M事件发生与否对N事件没有影响,是相互独立事件,C正确,D错误.故选C. 2.B　因为X~B(4,),所以P(X=1)=.故选B. 3.A　由题意可知,重复进行10次试验,7次未成功,说明3次成功,所以所求概率为p3(1-p)7.故选A. 4.D　由题意得从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球,是红球的概率为,因为是有放回地取球, 所以X~B(5,),所以D(X)=5××(1-)=, 故选D. 5.B　由题意可知,X~B(n,), 所以n=E(X)=24,所以n=36. 所以D(X)=n·×(1-)=36×=8. 6.ACD　对于A,由于试验的条件不同(硬币质地不同),因此不是n重伯努利试验.对于B,某人射击,击中目标的概率是稳定的,因此是n重伯努利试验.对于C,每次抽取,每种颜色出现的可能性不相等,因此不是n重伯努利试验.对于D,10道题难度不同,每道题做对的概率也不同,因此不是n重伯努利试验.故选ACD. 7.　乙队获胜可分为乙队以3∶0或3∶1或3∶2的比分获胜.乙队以3∶0获胜,即乙队三场全胜,概率为;乙队以3∶1获胜,即乙队前三场两胜一负,第四场获胜,概率为;乙队以3∶2获胜,即乙队前四场两胜两负,第五场获胜,概率为.所以,在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为. 8.解 (1)设事件C表示“在任意时刻至少有一个安全防范系统不发生故障”,则P(C)=1-p=,解得p=. (2)由题意得,随机变量ξ的取值为0,1,2,3, P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=)1()2=,P(ξ=3)=)0()3=, 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 9.C　因为他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是p,所以此人通过的科目数X~B(6,p),又因为此人通过的科目数X的方差是,所以6p(1-p)=, 解得p=舍去),所以E(X)=6×=4,故选C. 10.A　因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3重伯努利试验,即X~B(3,),则X的方差D(X)=3××(1-)=,又Y=3X+5,所以Y的方差D(Y)=9D(X)=9×=6, 所以Y的标准差为. 11.C　≥1,得k≤3.所以当k=3时,P(X=3)=,当k=4时,P(X=4)=,则P(X=3)=P(X=4),从而X=3或4时,P(X=k)取得最大值.故选C. 12.A　因为随机变量ξ~B(2,p),P(ξ≥1)=, 所以P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=,则P(ξ=0)=, 因为P(ξ=0)=p0(1-p)2,即p0(1-p)2=,解得(1-p)2=,随机变量η~B(4,p)中,P(η≥1)=1-P(η=0)=1-p0(1-p)4=1-()2=,故选A. 13.C　由题意可知X服从二项分布B(3,p1),所以E(X)=3p1,D(X)=3p1(1-p1).同理,Y服从二项分布B(3,p2),所以E(X)=3p2,D(X)=3p2(1-p2).因为0<p1<p2<,所以3p1<3p2,即E(X)<E(Y).对于二次函数y=3p(1-p),对称轴p=,所以在(0,)上函数单调递增,所以当0<p1<p2<时,有3p1(1-p1)<3p2(1-p2),即D(X)<D(Y).故选C. 14.　由随机变量X~B(2,p),且P(X≥1)=,得P(X≥1)=1-P(X=0)=1-×(1-p)2=,易得p=, 所以由Y~B(4,),得随机变量Y的方差D(Y)=4××(1-)=. 15.解 (1)由题意可知,X可取0,1,2,3,4,5,且服从二项分布X~B(5,),则P(X=0)=·()0·()5=,P(X=1)=·()1·()4=,P(X=2)=·()2·()3=,P(X=3)=·()3·()2=,P(X=4)=·()4·()1=, P(X=5)=·()5·()0=. 由此得X的分布列如下: X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)=5×,D(X)=5×. (2)由于Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,显然Y是随机变量,其取值为0,1,2,3,4,5且P(Y=0)=()0×,P(Y=1)=()1×,P(Y=2)=()2×,P(Y=3)=()3×,P(Y=4)=()4×,P(Y=5)=()5=, 由此得Y的分布列如下: Y 0 1 2 3 4 5 P (3)设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件A,所求概率P(A)=1-P(X=0)=1-. 16.BD　因为X~B(n,p),pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,由 得 解得(n+1)p-1≤k≤(n+1)p,若(n+1)p为正整数,则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,pk取最大值,故B错误.若(n+1)p为非整数,则k取(n+1)p的整数部分时,pk取最大值,故C正确.综上所述,当k由0增大到n时,pk先增后减,在某一个(或两个)k值处达到最大,故A正确.而E(X)=np,故D错误.故选BD. 17.ACD　由题意知,要使小王赢得比赛,则小王至少赢n+1局,因为每局赢的概率是相同的,所以服从二项分布,由二项分布的概率公式可得赢n+1局的概率为P1=,赢n+2局的概率为P2=,…,赢2n局的概率为Pn+1=,小王赢的概率为P(n)=(+…+)×=(2+2+…+2)×=(+…++…+)×=(22n-)×,有P(1)=,P(2)=,P(2)≠2P(1),P(n)<,可知选项A,C正确,选项B错误;由P(n+1)-P(n)=,又由4[4-]=>0,可得P(n+1)>P(n),可知D选项正确.故选ACD. 8 学科网（北京）股份有限公司 $