第21章一元二次方程单元测试2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年九年级上学期第21章数学单元测试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下面关于的方程中：
；；；；；一元二次方程的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.用配方法解关于的方程时，此方程可变形为(    )

A.  B.
C.  D.

3.等腰三角形两边长为方程的两根，则它的周长为(    )

A.  B. 或 C.  D.

4.对于任意实数、，定义,如：，若，则实数的值是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

5.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的大致图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.对于一元二次方程，下列说法．
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则
其中正确的(    )

A. 只有 B. 只有 C.  D. 只有

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

7.关于的一元二次方程的两根为______．

8.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条航线，则这个航空公司共有______个飞机场．

9.，是方程的两根，______．

10.使代数式的值为负整数的的值有______个．

11.若实数、、满足，，，则的取值范围是______．

12.若关于的方程与有一个相同的实数根，则的值为________

三、解答题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。

13.解下列方程：
．

 

14.已知，是一元二次方程的两个根，不解方程，求下列各式的值：

．

 

 

15.某单位院内有一块长，宽的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修两条纵向平行和横向弯折的小道如图，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？注：左右小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形

16. 已知关于的一元二次方程为实数且．
求证：此方程总有两个实数根；
如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．

 

17.新定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．

判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由；

已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？

 

 

 

四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。

18.今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售经核算，每箱成本为元，统一零售价定为每箱元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于？
该村最开始几天每天可卖箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价，这样每天可多销售；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为元，求的值．

 

19.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．
试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？

 

 

 

20.某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
求与之间的函数关系式；
商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元？

 

 

五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。

21.已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
求的取值范围；
已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
阅读材料：若三边的长分别为，，，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．
 

 

22.【引入命题】设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即其中仍然是关于字母的一个整式．

若，则的一个根是          ；

【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，．利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值；

【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，．利用上式结论解题：已知方程有三个根，，，求的值；

【拓展提高】利用以上规律探究：若方程有个根，，，，则          ，          ．

 

 

六、解答题：本题12分。

23.综合与探究

【定义】我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．

【示例】如的“友好方程”是．一元二次方程的“友好方程”是          ．

【探究】已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的根．

【猜想】当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为          ．

【证明】证明中的特殊关系，请完成下面填空，并补全证明过程备注：证明一组关系即可证明：方程的两根为，，方程的两根为，________________，

【拓展】已知关于的方程的两根是，，请利用上述结论，直接写出关于的方程的两根．

答案和解析

 

1.【答案】 

【解析】解：当时，不是一元二次方程；
是一元二次方程；
该方程是分式方程，不是一元二次方程；
是一元二次方程；
不是整式方程，所以不是一元二次方程；
方程整理后可得，是一元一次方程．
所以一元二次方程的个数为个．
故选：．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．

3.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了解一元二次方程因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用因式分解法求出已知方程的解，即可确定三角形周长．
【解答】
解：方程分解因式得：，
解得：或，
当为腰时，三边长分别为：，，，不能构成三角形，舍去；
当为底时，三边长为，，，周长为．
故选A．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
整理得，
，
或，
所以，．
故选A．
根据新定义得到，整理得，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．

5.【答案】 

【解析】解：有两个不相等的实数根，
，
解得，
A.，，即，故A不正确；
B.，，即，故B正确；
C.，，即，故C不正确；
D.，，即，故D不正确．