第5章 函数概念与性质（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

第5章 函数概念与性质全章九大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 由函数的定义域或值域求参数 1．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 5．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 题型2 求函数值或由函数值求参 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 2．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）定义在上的函数满足:，则 . 4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的值； (2)当时，求x的值． 5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 题型3 分段函数及其应用 1．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若，则实数 . 4．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 题型4 函数的单调性的应用：比较大小、解不等式 1．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 4．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·黑龙江·期末）设，已知. (1)求函数的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 题型5 函数奇偶性的应用 1．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 . 4．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 题型6 函数的对称性、周期性问题 1．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（   ） A．4050 B．4552 C．4554 D．4556 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 . 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称. (1)证明：是周期函数. (2)若当时，，求当时，的解析式. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，且函数图像关于直线对称. (1)当时，，求时函数的解析式； (2)若，，，求的值. 题型7 抽象函数的性质综合 1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 2．（2025·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 3．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 4．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 5．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 题型8 函数性质的综合应用 1．（23-24高一上·北京东城·期末）已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（   ） A． B．函数为周期函数 C．函数的图象既有对称轴又有对称中心 D．函数在区间上单调递减 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 3．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 题型9 函数的新定义问题 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（     ） A． B．函数是偶函数 C．函数的最小值为0 D．，若，则 2．（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“m阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数”. (1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围； (2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证：； (3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数概念与性质全章九大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 由函数的定义域或值域求参数 1．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解答过程】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是， 故选：A. 2．（24-25高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解答过程】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由题意可知在上恒成立，分为与两种情况求解即可. 【解答过程】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【解答过程】（1），解得，所以，则， 所以； （2）当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； （3）因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 5．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案； （2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【解答过程】（1）由，则， 由不等式性质，则，，，，， 故，即的值域为. （2）由题意，， 由函数的值域为，则有解且无最大值， 当时，符合题意； 当时，根据二次函数的性质，可得， 其中，，，，解得或， 综上，故. 题型2 求函数值或由函数值求参 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【解题思路】中令，结合可得答案. 【解答过程】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法依次求出即可. 【解答过程】在中，令，则， 令，则，即， 在中，令，则，则， 令，则，令，则. 故选：A. 3．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）定义在上的函数满足:，则 . 【答案】0 【解题思路】赋值法得到，再令，得到，结合，求出. 【解答过程】定义在上的函数满足：， 令时，，则， 令时，即， 因为，所以. 故答案为：0. 4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）直接代入计算函数值即可； （2）由函数值建立方程计算即可. 【解答过程】（1）将代入解析式有：； （2）由题意可知 即 ． 5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【答案】(1)或 (2)， (3) 【解题思路】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案. （2）根据函数的解析式求得正确答案. （3）根据已知条件解方程来求得. 【解答过程】（1）由解析式知：，可得且， 故定义域为或， （2）， . （3）由，， 所以，显然在定义域内， 所以. 题型3 分段函数及其应用 1．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用给定的分段函数，分段判断代入求值. 【解答过程】依题意，. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对于分段函数的单调性，需要分别考虑每一段函数的单调性，并且在分段点处也要满足递增的条件，据此可求得答案. 【解答过程】当时，，其对称轴为， 因为在上单调递增，所以对称轴，解得； 当时，，因为在上单调递增，所以，即； 在,，当从左侧趋近于0时，趋近于0， 又因为函数在上单调递增，所以，即， 综上，的取值范围是，即， 故选：A. 3．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若，则实数 . 【答案】 【解题思路】由，结合分段函数解析式求，再求，由条件列方程求. 【解答过程】因为， 又当时，， 所以， 因为当时，， 所以， 因为， 故， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【解题思路】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【解答过程】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【解题思路】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【解答过程】（1）因为， 所以， ． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 题型4 函数的单调性的应用：比较大小、解不等式 1．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【解答过程】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D. 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】由题意，不妨设， 则由，可得， 则， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 由，得， 由，得， 因为函数的定义域为，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【答案】 【解题思路】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将转化为，利用单调性比较大小即可． 【解答过程】因为定义在区间上的函数满足：， 设，且满足， 由，有，则， 可得，则， 因为时， 所以，即，所以， 故函数在上为单调递增函数， 因为，所以， 取，，则， 则， 因为，所以，即． 故答案为：． 4．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【解题思路】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 5．（24-25高一上·黑龙江·期末）设，已知. (1)求函数的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3). 【解题思路】（1）将和代入，根据即可求解， （2）根据函数单调性的定义即可求解， （3）根据函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）当时，， 所以，即，与题意矛盾. 当时，， 所以，解得， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，则 ， 因为， 所以，所以， 所以， 所以在上单调递增. （3）因为，所以原不等式等价于， 因为，由（2）问知在上单调递增， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为. 题型5 函数奇偶性的应用 1．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由不等式等价于 或求解. 【解答过程】因为当时，， 所以时，，时，， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以时，，时，， 又不等式，等价于 或， 所以 或，解得 或， 故选：C. 2．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数结合函数单调性的定义判定其单调性，根据奇偶性与单调性解不等式即可. 【解答过程】不妨设，所以， 则，所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得，. 故选：D. 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 . 【答案】3 【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性，赋值计算得解. 【解答过程】由是上的奇函数，是偶函数， 得，即， 因此， 所以. 故答案为：3. 4．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)（或） (2) 【解题思路】（1）根据定义在上的奇函数的概念，可得和时，函数的解析式. （2）解不等式组或可得不等式的解集. 【解答过程】（1）因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，，则. 因为是奇函数，所以. 故（或）. （2）不等式等价于或， 解得或. 故不等式的解集是. 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【解题思路】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明； （2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可. 【解答过程】（1）因为函数的定义域为， 令，得，即， 令，可得，即， 所以在上为奇函数. （2），理由如下： 因为在上为奇函数， 则， 当时，，即， 所以. 题型6 函数的对称性、周期性问题 1．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（   ） A．4050 B．4552 C．4554 D．4556 【答案】C 【解题思路】由条件证明为周期函数，周期为，再证明函数为偶函数，再结合函数性质求，利用加法的运算律求结论. 【解答过程】由可得，① 对任意的，，所以，，② 由①②可得，所以函数是周期为4的周期函数. 因为为偶函数，则， 因为，由可得， 且，由可得， 因为，所以，，故函数为偶函数， 因为，则，所以，， 由可得，因为，所以， 故选：C. 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【答案】A 【解题思路】由条件可得为奇函数，结合奇函数性质及图象变换判断A，结合偶函数性质及图象变换判断B，根据对称性证明结论判断C，根据周期性，并通过求求结论判断D. 【解答过程】 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称，故A错误； 因为是偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 因为， 代入中， 得到，进而， 因此，故C正确； 由可得，函数为周期函数，为函数的一个周期， 可得，，， 由可得，， 所以， 所以，故D正确． 故选：A． 3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 . 【答案】1 【解题思路】根据判断函数周期性，再结合的图象关于点对称，判断出函数为偶函数，即图象关于轴对称，再求出，，的值结合函数周期性即可得解. 【解答过程】因为，则， 所以，即是以3为周期的函数. ，. 因为的图象关于点对称，所以 又因为，所以 ， 则 则为偶函数，图象关于轴对称. 所以，则. . 故答案为：1. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称. (1)证明：是周期函数. (2)若当时，，求当时，的解析式. 【答案】(1)证明见解析； (2)， 【解题思路】（1）因的图像关于直线对称，可得，再由函数为偶函数及联立两个式子即可得到结论. （2）由时，函数为，而当的函数只需取代入上式即得结果. 【解答过程】（1）由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在R上的偶函数，有， 所以， 即是周期为4的周期函数； （2）当时，，又是周期为4的周期函数， 当，则， 所以， 所以. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，且函数图像关于直线对称. (1)当时，，求时函数的解析式； (2)若，，，求的值. 【答案】(1) (2)0 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性和对称性可得，从而求得的解析式； （2）由奇函数得，由对称性及已知函数值求得，并知道，从而求得的值. 【解答过程】（1）由题得，， 则， ， 又当时，，即， 则. （2）由题得 ， 则， 则. 题型7 抽象函数的性质综合 1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 2．（2025·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【答案】C 【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 3．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式. 【解答过程】令，得， 令，得，所以为定义在上的奇函数， 因为，令，得， 任取，则 ， 因为当时，，所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以不等式 . 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【解答过程】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 5．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)或 【解题思路】（1）利用赋值法可求解，通过赋值构造和的关系式，结合函数奇偶性的定义可判断奇偶性； （2）利用赋值法构造的表达式，结合题意判断符号，进而判断单调性； （3）利用赋值法得，结合函数的单调性和奇偶性可解不等式. 【解答过程】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 题型8 函数性质的综合应用 1．（23-24高一上·北京东城·期末）已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（   ） A． B．函数为周期函数 C．函数的图象既有对称轴又有对称中心 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【解题思路】推导出函数是周期函数，可推导出函数为周期函数，结合周期性可判断AB选项；利用函数的对称性可判断C选项；求出函数在上的解析式，结合函数的单调性可判断D选项. 【解答过程】因为函数为奇函数，恒成立， 则，故， 故函数是周期为的周期函数， 对于A选项，， 所以，函数是周期为的周期函数， 则， 当当时，，则，， 所以，，A对； 对于B选项，由A选项可知，B对； 对于C选项，因为 ， 所以，函数的图象关于直线对称， 又因为， 所以，，故函数的图象关于点对称， 因此，函数的图象既有对称轴又有对称中心，C对； 对于D选项，当时，，，， 则， ， 此时，， 所以，函数在区间上不是减函数，D错. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【解题思路】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【解答过程】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 3．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【解答过程】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据充要条件可得，即可代入化简求解， （2）根据单调性的定义，作差即可求解. （3）由函数的单调性求解的值域，将问题转化为在上的值域，即可分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，即可列不等式求解. 【解答过程】（1）设函数的图象的对称中心为，为奇函数， 则， 即， 整理得， 可得，解得， 所以的对称中心为． （2）函数在上单调递增； 证明如下：任取，且， 则 因为，且， 可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增． （3）由对任意，总存在，使得， 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， ①当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 因为，所以，解得． ②当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心， 故此时， 欲使，只需， 且， 解不等式，可得， 又，此时． ③当时，即时，在单调递减，在上单调递减， 由对称性知在上单调递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 题型9 函数的新定义问题 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（     ） A． B．函数是偶函数 C．函数的最小值为0 D．，若，则 【答案】C 【解题思路】根据取整函数的定义，对每个选项逐一进行分析判断，从而确定正确答案. 【解答过程】选项A： 因为，根据取整函数表示不超过的最大整数， 所以，而不是，A选项错误. 选项B： 函数的定义域为，关于原点对称，， 例如时，， ； ，所以不是偶函数，B选项错误. 选项C： 设，当时，，则，此时， 所以的值域是，其最小值为，C选项正确， 选项D： 若，设，，，， 那么，所以，所以不存在， 使得当时，，D选项错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判断函数的单调性，根据条件列方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，求解即可. 【解答过程】因为在上单调递增， 由题意知， 所以是方程在上的两个不等实根， 令，则， 所以在上有两个不等实根， 令，对称轴， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“m阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】先求出的值域，将问题转化为，然后分，讨论即可求解. 【解答过程】因为函数在上单调递增，所以当时，， 依题意，对任意时，都有， 对任意时，都有，即， 因为， 所以当，即时，，解得； 又因为，所以，解得. 当，即时，，解得(舍去)； 当，即时，， 化简得：，解得， 又因为，，解得. 综上，实数的取值范围为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数”. (1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围； (2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证：； (3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，0 【解题思路】（1）分析可知为上的严格增函数，即可得结果； （2）根据题意可得，进而分析证明； （3）根据题意利用反证法可得，再举例说明不恒成立，进而分析求解. 【解答过程】（1）若为定义在区间上的“1阶增函数”， 可得对任取，均有， 可知为上的严格增函数，所以. （2）因为为定义在区间上的“1阶增函数”，且， 则， 即，. 可得，所以. （3）假设存在，使，则， 因为为定义在区间上的“2阶增函数”， 则对任意的，都有， 令，则对任意的，都有，与有上界矛盾， 若“2阶增函数”有上界，则对任意，都有. 假设存在，使， 则对任意的，都有，故，矛盾， 所以“2阶增函数”有上界，都有恒成立，即存在均满足题意， 假设存在符合题意，例如， 则在上是严格增函数， 且，则是有上界的“2阶增函数”. 但当时，有，矛盾， 所以的取值范围为，即的最小值为0. 5．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，峰点为 (2) (3) 【解题思路】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决； （2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决； （3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围. 【解答过程】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线， 则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数， 故是上的“含峰函数”，峰点为. （2）记函数，，， 则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则， 且有，得到， 则， 当时，的最小值为，则， 又，故， 当时，的最小值为，解得， 综上，实数的取值范围是. （3）记，设任意，且， 则 当时，由，且， 可知，， 则，即， 则为上严格减函数，不符合题目要求； 当时，由，且， 可知，， 则，即 则为上严格增函数，不符合题目要求； 当时， 设任意，且，此时，， 则，即，为上严格增函数； 设任意，且，此时， 则，即，为上严格减函数； 故是上峰点为的“含峰函数”. 综上，t的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $