第1章 三角形（27个高频易错考点训练 共54题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册章节复习培优专项训练（2024新教材）

第1章 三角形(易错题考点集训) 【27个高频易错考点 共54题】 易错考点01:根据三角形中线求长度 2 易错考点02:根据三角形中线求面积 2 易错考点03:重心的概念 3 易错考点04:画三角形的高 4 易错考点05:与三角形的高有关的计算问题 5 易错考点06:利用网格求三角形面积 7 易错考点07:全等三角形的性质 8 易错考点08:尺规作图—作三角形 9 易错考点09:全等的性质和SAS综合 10 易错考点10:全等的性质和ASA(AAS)综合 11 易错考点11:全等的性质和SSS综合 12 易错考点12:全等的性质和HL综合 13 易错考点13:灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 14 易错考点14:倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 16 易错考点15:垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 19 易错考点16:全等三角形综合问题 20 易错考点17:线段垂直平分线的性质 21 易错考点18:线段垂直平分线的判定 21 易错考点19:角平分线的性质定理 23 易错考点20:角平分线的判定定理 25 易错考点21:角平分线性质的实际应用 26 易错考点22:等腰三角形的性质和判定 27 易错考点23:等边三角形的判定和性质 29 易错考点24:含30度角的直角三角形 30 易错考点25:斜边的中线等于斜边的—半 32 易错考点26:直角三角形的两个锐角互余 33 易错考点27:旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 35 易错考点01:根据三角形中线求长度 1.(21-22八年级上 山西忻州 期末)如图,已知分别是的高和中线,.求: (1)的长; (2)的面积; (3)和的周长的差. 2.(25-26八年级上 全国 课后作业)如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图. (1)甲折出的是的_. (2)乙折出的是的_. (3)丙折出的是的_. 易错考点02:根据三角形中线求面积 3.已知在直角三角形中,于D, 点E是的中点,. (1)求的面积; (2)求的长. 4.(24-25七年级下 福建泉州 期末)在中,点是边上一点,且,连接,点为中点,连接并延长,交于点.若,则 . 易错考点03:重心的概念 5.(24-25七年级下 江西吉安 期末)如图,在的网格中,每个小正方形的边长均为,点A,B,C都是格点(小正方形的顶点),完成下列画图. (1)画出的重心P. (2)在已知网格中找出一个格点D,使与的面积相等. 6.(21-22八年级上 天津西青 期中)如图,AD是 ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD交于点G.下列结论:①DE=DF;②AE=AF;③∠EAF+∠EDF=180 ;④AD垂直平分EF;⑤点G一定是 ABC的重心.其中结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 易错考点04:画三角形的高 7.(25-26八年级上 吉林长春 开学考试)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,的顶点、点都在网格的格点上. (1)平移,使点A与重合,画出平移后得到的; (2)连接、,四边形的面积是_. (3)画出的高. 8.(24-25七年级下 河北唐山 阶段练习)如图,在每个小正方形的边长都是1的方格纸中,的顶点A,,都在小正方形的格点上,请按下列要求画出所求线段及点,要求所画线段的端点和所画的点均在格点上. (1)画出要求的线段: ①在边上取一点,连接,使; ②画出边上的高线; (2)求的面积; (3)画出要求的点:在方格纸中取一点,使. 易错考点05:与三角形的高有关的计算问题 9.(25-26八年级上 山西 阶段练习)【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形. 例如:如图①,在和中,分别是和边上的高线,且,则和是等高三角形. 【性质探究】 如图①,用,分别表示和的面积. 则,, ∵ ∴. 【性质应用】 (1)如图②,是的边上的一点.若,,则_; (2)如图③,在中,,分别是和边上的点.若,,,则_,_; (3)如图③,在中,,分别是和边上的点.若,,,则_. 10.(25-26七年级上 全国 课后作业)如图,在中,于点为边上的中线.为中边上的高线.已知的面积为. (1)求与的周长之差; (2)求的长. 易错考点06:利用网格求三角形面积 11.(24-25八年级上 重庆万州 开学考试)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点都在网格点上. (1)以点为中心将旋转,得到,画出; (2)将向右平移7个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到,画出; (3)连接,则的面积为_. 12.(25-26八年级上 重庆万州 开学考试)如图,在边长为单位1的正方形网格中有. (1)在图中画出关于直线成轴对称的图形; (2)在直线上有一点P使得的值最小,请在图中标出点P的位置; (3)求的面积. 易错考点07:全等三角形的性质 13.(24-25七年级下 四川达州 阶段练习)如图,在中,,,.动点P从点A出发沿的路径向终点C运动;动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动.点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动,其中一点到达终点时另一点也停止运动.在某时刻,过点P和点Q分别作于点E,于点F,则点P的运动时间为 s时,与全等. 14.(24-25七年级下 吉林长春 期末)如图,在中,,,,.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动;在点出发的同时,点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点,且、两点在直线的上方,分别过、两点作于点,于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长; (2)当、两点相遇时,求的值; (3)当与全等时,求的值; (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时,直接写出的值. 易错考点08:尺规作图—作三角形 15.(24-25七年级下 全国 期末)如图,已知,点D在边上. (1)求作,使,并满足点E在的延长线上,(请用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (2)根据你的作图方法,说明的理由. 16.(24-25八年级上 江苏南京 阶段练习)已知一个三角形的两条边长分别是和,一个内角为 (1)如图,请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形,并标记已知角的度数和已知边的长度. (2)你是否还能画出既满足题设条件,又与(1)中所画的三角形不全等的三角形?若能,则用直尺和圆规画出所有这样的三角形,并标记已知角的度数和已知边的长度;若不能,则说明理由. (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和,一个内角为”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有_个,请用直尺和圆规画出所有这样的三角形.并标记已知角的度数和已知边的长度. 易错考点09:全等的性质和SAS综合 17.(24-25七年级下 陕西西安 阶段练习)如图,是的中线,,分别是和延长线上的点,且,连接,. (1)和的面积相等吗?请说明理由. (2)与平行吗?请说明理由. 18.(2023八年级上 广东中山 竞赛)阅读下列材料,然后解决问题: 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段,或将某条线段延长,使之与某特定线段相等,再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. (1)如图1,在中,若,求边上的中线的取值范围. 解决此问题可以用如下方法:延长到点使,再连接,把集中在中.利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_. (2) 解决问题:如图2,在四边形中,分别是边上的两点,且,求证. 易错考点10:全等的性质和ASA(AAS)综合 19.(24-25七年级下 上海 阶段练习)某校七年级学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形. (1)如图①,在中,,,直线l经过点A,直线l,直线l,垂足分别为D、E.可证得:、、的数量关系为 ; (2)组员小丽想,如果将图①中的直角变式为一般情况,那么结论是否成立呢?如图②,将(1)中的条件改为:在中,,D、A、E三点都在直线l上,并且有,其中 为任意钝角.请问(1)中的结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; (3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用以上结论来解决问题:如图③,以的边、为腰向外作等腰直角和,其中,若,垂足为点H,延长交于点M.求证:点M是的中点. 20.(24-25七年级下 山西太原 阶段练习)在中,,直线经过点C,且于点D,于点E. (1)如图1,当在直线的同侧时,试说明:①;②; (2)如图2,当直线与斜边相交时,(1)中的结论②还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出和正确的数量关系,不必说明理由. 易错考点11:全等的性质和SSS综合 21.(24-25八年级下 贵州毕节 阶段练习)(1)将下面证明中每一步的理由写在括号内. 已知:如图,.求证:. 证明:如图,连接. 在和中, ( ) ( ) ( ) (2)将不等式化成或的形式,并将解集在数轴上表示出来. 22.(24-25八年级上 四川德阳 阶段练习)如图,两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形是一个筝形,其中,,在探究筝形的性质时,得到如下结论:①;②;③四边形的面积,④.其中正确的结论有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 易错考点12:全等的性质和HL综合 23.(25-26八年级上 全国 随堂练习)如图,为的高,为上一点,交于点,且有. 求证:. 证明:. 在和中, . . 上面的证明过程正确吗?如果不正确,说明错在哪里,并写出正确的证明过程. 24.如图,正方形ABCD中,AB=12,点E在边BC上,BE=EC,将 DCE沿DE对折至 DFE,延长EF交边AB于点G,连接DG、BF,给出以下结论:① DAG≌ DFG;②BG=2AG;③BF//DE;④S BEF=.其中所有正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 易错考点13:灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 25.(25-26八年级上 江苏南京 阶段练习)已知:和,、分别为、中点,且,. (1)当时,求证:. (2)当时,求证:. 26.综合与实践:正方形折纸中的数学.已知正方形纸片的边长为.动手操作: 第一步:如图1,将正方形对折,使与重合,把这个正方形展平,得到折痕; 第二步:如图2,再将正方形纸片的右下角向上翻折,使点与点重合,边翻折至的位置,得到折痕,若与交于点,与相交于点.问题解决: (1)在图2中,四边形的形状是_;直线和的位置关系是_; (2)在图2中,若,求的长; 拓广探索: (3)如图3,若是边上的一点(点,除外),再将正方形纸片的右下角向上翻折,使点与点重合,边翻折至的位置,得到折痕,若与相交于点.求的周长. 易错考点14:倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 27.(24-25七年级下 宁夏银川 期末)【发现问题】 (1)数学活动课上,王老师提出了如下问题:如图,中线的取值范围是多少?第一组经过合作交流,得到如下的解决方法,请同学们认真阅读,完成填空. 【探究方法】 ①延长到,使得; ②连接,通过三角形全等把、、转化到中; ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为,从而得到的取值范围是_; 方法总结:解题时,条件中若出现“中点”、“中线”字样,可以考虑倍长中线构造全等三角形. 【问题拓展】 (2)如图2,与互补,连接、,E是的中点,试说明:. ①根据上题总结的方法,我们考虑倍长中线构造全等三角形 解:如图,延长至,使,连接. 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件,可以得到,下面只需说明,就能得到,请同学们根据提示补全证明过程. (3)如图3,在(2)的条件下,若,延长交于点,,.那么的面积是_(请直接写出答案) 28.(24-25八年级上 全国 期末)综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题: 如图1,中,若,,求边上的中线的取值范围. 小明在组内和同学们合作交流后,得到了如下的解决方法:延长到E,使,连接BE.请根据小明的方法思考: (1)由已知和作图能得到,依据是 _; A. B. C. D. (2)由“三角形的三边关系”,可求得的取值范围是 _. 解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. [初步运用] (3)如图2,是的中线,交于E,交于F,.若,,求线段BF的长. 易错考点15:垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 29.长方形零件ABCD中,BC=2AB.两孔中心M,N到边AD上点P的距离相等,且MP⊥NP,相关尺寸如图所示,求两孔中心MN的距离. 30.如图,已知中,,,是过的一条直线,且,在,的同侧,于,于. (1)证明:; (2)试说明:; (3)若直线绕点旋转到图位置(此时,在,的异侧)时,其余条件不变,问与,的关系如何?请证明; (4)若直线绕点旋转到图位置(此时,在,的同侧)时其余条件不变,问与,的关系如何?请直接写出结果,不需说明理由. 易错考点16:全等三角形综合问题 31.(2023八年级上 广东 竞赛)如图(1),,,,点P在线段上以的速度由点A向点B运动,同时,点在线段上由点B向点运动,它们运动的时间为. (1)若点的运动速度与点的运动速度相等,当时,判断此时线段和线段的位置关系,并证明; (2)如图(2),将图(1)中的“,”改为“”,其他条件不变.设点的运动速度为,是否存在实数,使得与全等?若存在,求出相应的、的值;若不存在,说明理由. 32.(25-26八年级上 山西太原 开学考试)如图,,在的平分线上取点B作于点C,在直线上取一动点P,在直线上取点Q使得,. (1)如图1,当点P在线段上运动时,求证:; (2)如图2,当点P在延长线上时,探究、、三条线段之间的数量关系,并说明理由; (3)当点P运动到射线上时,直接写出、、三条线段之间的数量关系. 易错考点17:线段垂直平分线的性质 33.(25-26八年级上 全国 期中)在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为的正方形,,是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点),在这张的方格纸中,找出格点,使,则满足条件的格点有 个. 34.(25-26八年级上 江苏徐州 期中)如图,在中,,的垂直平分线分别交、于点M,N,D是的中点,P是上任意一点,连接,.若,则当的周长取最小值时, .(用含的代数式表示) 易错考点18:线段垂直平分线的判定 35.(23-24八年级上 福建厦门 期中)如图,,与相交于点,. (1)求证:垂直平分; (2)过点作交的延长线于,如果; ①求证:是等边三角形; ②如果、分别是线段、线段上的动点,当为最小值时,请确定点的位置,并思考此时与有怎样的数量关系. 36.(22-23八年级上 福建福州 期末)在等边三角形中,点D、E分别在边、上,且,连接、交于点F. (1)如图1,求证:; (2)过点E作于点G. ①如图2,若,,求的长度; ②如图3,连接、,若,求证:. 易错考点19:角平分线的性质定理 37.(24-25七年级下 贵州毕节 期末)如图1,,点A,D在上,点B,C在上,平分,与交于点 (1)若,线段与相等吗?请说明理由. (2)如图2,在的条件下,,E为上一点,且,求的长. (3)如图3,过点D作于点F,H为上一动点,G为上一动点.当点H在上移动,点G在上移动时,始终满足,试判断这三者之间的数量关系,并说明理由. 38.(23-24九年级下 山东淄博 期中)如图,中,,、外角平分线交于点,过点分别作直线,的垂线,,为垂足. (1) (直接写出结果不写解答过程) (2)①求证:四边形是正方形. ②若,求的面积. (3)如图(2),在中,,高,,则的长度是 (直接写出结果不写解答过程). 易错考点20:角平分线的判定定理 39.(23-24八年级上 福建厦门 期中)在平面直角坐标系中,点,点C为x轴正半轴上一动点,过点A作交y轴于点E. (1)如图①,若点C的坐标为,求证:,并直接写出点E的坐标; (2)如图②,若点C在x轴正半轴上运动,且,其它条件不变连接,求证:平分; (3)在(2)的条件下,当时,试探究线段、、的数量关系,并证明. 40.(23-24八年级上 山东滨州 期末)如图,两个外角的平分线与相交于点,于点,于点,且,小明同学得出了下列结论:①;②点在的平分线上;③;④.其中错误的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 易错考点21:角平分线性质的实际应用 41.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹): (1)如图①,要在河边l修建一个水泵站M,使.水泵站M要建在什么位置? (2)如图②,三条公路两两相交,现计划修建一个油库P,要求油库P到这三条公路的距离都相等,那么如何选择油库P的位置?(请作出符合条件的一个) 42.如图,在等腰中,,,平分.在线段上有一动点,连接,为直线上异于的一点,连接、. (1)如图,当点在射线上时,若,直接写出:_; (2)如图,当点在射线的反向延长线上时, 若(1)中的结论仍成立,则、、应满足怎样的数量关系,请证明; 若,且,,求的值. 易错考点22:等腰三角形的性质和判定 43.如图①,已知点在线段上,在和中,, ,且为的中点. (1)若的延长线交于点,求证:; (2)判断直线与的位置关系,并说明理由; (3)若将按如图②所示位置放置,使点在线段的延长线上(其它条件不变),(2)中结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 44.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题: 如图1,在中,若,,求边上的中线的取值范围. 小颖在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图,延长到点,使,连接,可证得,即,请根据小颖的方法思考下列问题. (1)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 . 解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 完成上题之后,小颖善于探究,她又提出了如下的问题,请你解答. (2)如图3,在中,若是的中线,是上一点,连接并延长交边于点,且,求证:. (3)如图4,在中,是的中点,分别以,为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形,其中,连接,试探索与之间的数量与位置关系,并说明理由. 易错考点23:等边三角形的判定和性质 45.已知,点B为线段上的一个动点,与都为等边三角形,点D与点E在直线的两侧,连接交的延长线于点P,连接. (1)如图1,当点B为线段的中点时,求证:. (2)如图2,当点B不为线段的中点时,(1)的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (3)如图3,分别过点C、E作、,垂足分别为点F、G,若,,求线段的长. 46.(25-26八年级上 全国 期中)如图,在中,过点A,B 分别作直线,,且,过点 C 作直线交直线于 D,交直线 于E. (1)如图1,若,分别平分和,求的度数. (2)在(1)的条件下,若,,求的长. (3)如图2,若,且,是上一点,,连接,如果,,求的长.(用含a,b的式子表示) 易错考点24:含30度角的直角三角形 47.(2023八年级上 浙江宁波 竞赛)【基础巩固】(1)如图1,在等腰和等腰中,,,,连结,.求证:. 【尝试应用】(2)如图2,在(1)的条件下,若,延长交于点F,连接. 求证: ①平分 ②. 【拓展提高】(3)如图3,已知中,,,,点D是直线上一动点,以为边作等边(点E在的左侧),连结,直接写出的最小值是: . 48.在等边的两边所在直线上分别有两点,为外一点,且,.探究:当分别在直线上移动时,之间的数量关系. (1)如图1,当点、在边、上,且时,试问、、具有怎样的数量关系?请写出这个等量关系,并加以证明. (2)如图2,点、在边、上,且当时,猜想(1)问的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (3)如图3,当、分别在边、的延长线上时,、、具有怎样的数量关系?请证明. 易错考点25:斜边的中线等于斜边的—半 49.(25-26八年级上 江苏徐州 期中)在如图所示的纸片中,,D是斜边的中点,把纸片沿着折叠,点B到点E的位置,连接.若,,则等于( ) A. B. C. D. 50.(24-25八年级上 福建福州 期中)如图1,在中,,,D是边上不与A,B重合的一个定点.于点O,交于点E,且,,的延长线相交于点M. (1)求证:; (2)求的度数; (3)如图2,若N是的中点,求证:. 易错考点26:直角三角形的两个锐角互余 51.(24-25七年级下 四川达州 阶段练习)(1)如图1,C、A、E在一条直线上,,,于点C,于点E.求证:. (2)如图2,且,且,计算图中实线所围成的图形的面积. (3)如图3,,,连接、,且于点F,与交于点G, ①求证:; ②若,,求的面积. 52.(24-25八年级上 全国 期末)【问题引领】 (1)问题:如图,在四边形中,,,.,分别是,上的点.且探究图中线段,,之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是,延长到点.使.连接,先证明≌,再证明≌.他得出的正确结论是_. 【探究思考】 (2)问题:如图,若将问题的条件改为:四边形中,,,,问题的结论是否仍然成立?请说明理由. 【拓展延伸】 (3)问题:如图在问题的条件下,若点在的延长线上,点在的延长线上,则问题的结论是否仍然成立?若不成立,猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系?并说明理由. 易错考点27:旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 53.已知Rt ABC中,AC=BC,∠ACB=90 ,F为AB边的中点,且DF=EF,∠DFE=90 ,D是BC上一个动点.如图1,当D与C重合时,易证:CD2+DB2=2DF2; (1)当D不与C、B重合时,如图2,CD、DB、DF有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明. (2)当D在BC的延长线上时,如图3,CD、DB、DF有怎样的数量关系,请写出你的猜想,并加以证明. 54.(24-25七年级下 山东济南 期末) 和是两个角都是的等腰直角三角形(,,)的三角板, 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时,D、B、C在同一直线上,连接、,请证明:; 【类比探究】 (2)当三角板保持不动时,将三角板绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置,判断与的数量关系和位置关系,并说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 $ 第1章 三角形（易错题考点集训） 【27个高频易错考点 共54题】 易错考点01：根据三角形中线求长度 2 易错考点02：根据三角形中线求面积 4 易错考点03：重心的概念 5 易错考点04：画三角形的高 8 易错考点05：与三角形的高有关的计算问题 11 易错考点06：利用网格求三角形面积 13 易错考点07：全等三角形的性质 16 易错考点08：尺规作图—作三角形 20 易错考点09：全等的性质和SAS综合 23 易错考点10：全等的性质和ASA(AAS）综合 26 易错考点11：全等的性质和SSS综合 30 易错考点12：全等的性质和HL综合 33 易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 35 易错考点14：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 40 易错考点15：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 45 易错考点16：全等三角形综合问题 48 易错考点17：线段垂直平分线的性质 53 易错考点18：线段垂直平分线的判定 54 易错考点19：角平分线的性质定理 60 易错考点20：角平分线的判定定理 66 易错考点21：角平分线性质的实际应用 70 易错考点22：等腰三角形的性质和判定 74 易错考点23：等边三角形的判定和性质 79 易错考点24：含30度角的直角三角形 85 易错考点25：斜边的中线等于斜边的—半 90 易错考点26：直角三角形的两个锐角互余 94 易错考点27：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 100 易错考点01：根据三角形中线求长度 1．（21-22八年级上·山西忻州·期末）如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【答案】(1)高 (2)角平分线 (3)中线 【思路引导】本题考查了折叠的性质，三角形高线、角平分线、中线的定义． （1）根据三角形高的定义即可判定； （2）根据三角形角平分线的定义即可判定； （3）根据三角形中线的定义即可判定． 【规范解答】（1）解：图甲中，由折叠可知，， ， ， ， 故甲折出的是的边上的高； （2）图乙中，由折叠可知，， 故乙折出的是的角平分线； （3）图丙中，由折叠可知，， D点是边的中点， 故丙折出的是的边上的中线． 易错考点02：根据三角形中线求面积 3．已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)的面积为 (2) 【思路引导】本题考查的是三角形中线的性质及直角三角形性质， （1）先求出三角形面积，再根据三角形中线性质求出结论； （2）借助三角形面积求出斜边上的高即可． 【规范解答】（1）解：在直角三角形中，，， ， ∵点E是的中点， ∴的面积； （2）解：在直角三角形中，于D， ， ∴， ∴ 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 易错考点03：重心的概念 5．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 6．（21-22八年级上·天津西青·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】根据角平分线的性质可以判断①；证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDA，可以判断②；根据∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°，可得∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，即可判断③；根据点A，D都在线段EF的垂直平分线上，即可判断④；根据只有当AB=AC时，AD才是中线，即可判断⑤． 【规范解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAG=∠FAG，故①正确， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，故②正确； ∵∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°， ∴∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，故③正确； ∵AE=AF，ED=FD， ∴点A，D都在线段EF的垂直平分线上， ∴AD是EF的垂直平分线，故④正确； ∵AD是△ABC的角平分线，只有当AB=AC时，AD才是中线， ∴点G不一定是△ABC的重心，故⑤错误； 故选D． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质． 易错考点04：画三角形的高 7．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点、点都在网格的格点上． (1)平移，使点A与重合，画出平移后得到的； (2)连接、，四边形的面积是___________． (3)画出的高． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图—平移变换、四边形的面积、三角形的高等知识点，掌握平移变换的性质以及利用割补法求四边形的面积是解题的关键． （1）根据点A到，可知平移方式为先向右移动三个单位，再向上移动一个单位，利用平移规律分别作出B、C的对应点，然后顺次连接即可； （2）连接、，把四边形的面积看成长方形的面积减去周围的四个三角形面积即可； （3）根据三角形高的定义以及网格的特点即可解答． 【规范解答】（1）解：由图形可知：先向右移动三个单位，再向上移动一个单位得到，则如图：即为所求． （2）解：四边形的面积是． 故答案为：5． （3）解：如图：线段即为所求． 8．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． (1)画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； (2)求的面积； (3)画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 【答案】(1) 见解析见解析 (2)10 (3) 见解析 【思路引导】本题考查格点作图，利用网格求三角形面积，平行线的性质．掌握三角形的中线、高线的概率及性质是解题的关键． （1）①画出边上的中线即可；②过点A向的延长线作垂线，垂足为点E即可； （2）根据网格，利用割补法求解即可； （3）过点B作，直线与格线的交点是格点，即为所求的点F． 【规范解答】（1）解：如图所示：①线段即为所求；线段即为所求． ①∵点D是， ∴ 根据等底同高的两三角形面积相等得； ∵， ∴是边上的高线． （2）解：． （3）解：如图所示：点即为所求． ∵ ∴与的底边的高相等， ∴． 易错考点05：与三角形的高有关的计算问题 9．（25-26八年级上·山西·阶段练习）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【答案】（1），（2），（3） 【思路引导】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【规范解答】解：如图，过点A作AE⊥BC， 则 ∵， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义，三角形的中线平分面积，是解题的关键； （1）根据三角形的中线的定义，推出与的周长之差为的长即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 易错考点06：利用网格求三角形面积 11．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上． (1)以点为中心将旋转，得到，画出； (2)将向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出； (3)连接，则的面积为_________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路引导】本题考查了作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点． （1）作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到即为所求； （2）分别作出点、、向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （3）用围成的矩形面积减去其余三个三角形的面积求解即可． 【规范解答】（1）解：如图1所示，作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到，即为所求； （2）解：如图2所示，分别作出点、、向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到，则即为所求； （3）解：如图，． 12．（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）如图，在边长为单位1的正方形网格中有． (1)在图中画出关于直线成轴对称的图形； (2)在直线上有一点P使得的值最小，请在图中标出点P的位置； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查作图—轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求； （3）利用割补法求面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，点P即为所求作； （3）解：的面积． 易错考点07：全等三角形的性质 13．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 【答案】2或4 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【规范解答】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，   ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 14．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 【答案】(1)当点在上时，；当点在上时， (2) (3)或或 (4)的值为或 【思路引导】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，全等三角形的判定与性质，正确理解题意，运用分类讨论思想求解是解题的关键． （1）分两种情况讨论，列代数式即可； （2）相遇时，则走的路程和为，据此列方程求解； （3）分三种情况讨论，当点在上，点在上时，可证明，则时，；当点在上，点在上时，当点，重合时，，则；当点在上时，点到终点与点A重合，，分别列出关于的一元一次方程求解； （4）由于当、两点的连线将的周长分成两部分时，即其中一部分周长是另一部分周长的或，点运动到点用时，点运动到点用时，当点分别在上时， 则，或；当点重合，点在上时，则或，再得到关于t的一元一次方程求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，当点在上时，；当点在上时，； （2）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为； （3）解：当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时，如图： ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或； （4）解：∵当、两点的连线将的周长分成两部分时， ∴其中一部分周长是另一部分周长的或， 点运动到点用时，点运动到点用时， 当点分别在上时，如图： 则，或 ∴，或 解得：（舍），或； 当点重合，点在上时，如图： 则或 ∴或 解得：（舍）或， 综上：当、两点的连线将的周长分成两部分时，的值为或． 易错考点08：尺规作图—作三角形 15．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【思路引导】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【规范解答】（1）解：如图所示即为所求． ； （2）证明：根据作图得：，，， ∴． 16．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)能，见解析 (3)4，见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，尺规作图主要是五种基本作图，本题主要考查了作已知线段和作已知角等知识的综合作图．解决此类题目的关键是熟悉五中基本作图及基本作图的原理，然后把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，同时也考查了全等三角形的判定．特别注意，本题未告知直尺是否有刻度，因此利用无刻度直尺进行作图的方式解答． （1）利用“”画图； （2）画出所对的边长为即可； （3）以和所夹的角为画三角形或以的角所对的边为画三角形或以的角所对的边为画三角形． 【规范解答】（1）解：如图1，为所作； （2）能．如图2，为所求； （3）所求图形如图3所述， 故答案为：4． 易错考点09：全等的性质和SAS综合 17．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，． (1)和的面积相等吗？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)和的面积相等，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，理解三角形中线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形的面积公式是解决问题的关键； （1）连接，过点作于点，根据三角形中线的定义得，再根据三角形面积公式得，，然后比较两个三角形的面积即可得出结论； （2）根据，，可依据“”判定和全等得，再根据平行线的判定即可得出结论． 【规范解答】（1）解：和的面积相等，理由如下： 连接，过点作于点，如图所示： 是的中线， ， ，， ， 即和的面积相等； （2）证明：与平行，理由如下： 在和中， ， ， ， ． 18．（2023八年级上·广东中山·竞赛）阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “”，证明构造的三角形全等， （1）掌握全等三角形的判定，证明，然后，利用三角形三边关系“两边长度之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围； （2）关键是作辅助线，延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：延长到点使，连接，在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）证明：延长到，使如下图所示， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 易错考点10：全等的性质和ASA(AAS）综合 19．（24-25七年级下·上海·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【规范解答】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 20．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②； (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)不成立； 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据，．可得，再由，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得，，即可求证； （2）证明方法同（1）可得，即可求解． 【规范解答】（1）证明：①∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴(同角的余角相等) 在和中， ∵，，， ∴； ②∵， ∴， ，(全等三角形，对应边相等) ∴ ；(等量代换) （2）解：（1）中的结论②不成立．； ∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴ (同角的余角相等) 在和中 ∵，，， ∴， ∴， (全等三角形，对应边相等) ∴ (等量代换) 易错考点11：全等的性质和SSS综合 21．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）（1）将下面证明中每一步的理由写在括号内． 已知：如图，．求证：． 证明：如图，连接． 在和中， （ ） （ ） （ ） （2）将不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）公共边；；全等三角形的对应角相等  （2），数轴表示见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解不等式并在数轴上表示解集； （1）利用证明，即可得到结论； （2）根据不等式的基本性质3，求出x的取值范围，并在数轴上表示解集即可． 【规范解答】证明：如图，连接． 在和中， ， ， （公共边）， （全等三角形的对应角相等）； 故答案为：公共边；；全等三角形的对应角相等； （2）解：两边同时乘以得：， 在数轴上表示为： 22．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，①根据已知条件，结合图形依据“”可判定，对此可对结论①进行判断；②由①的结论可得出，进而可依据“”判定，由此得，，然后根据平角的定义可得出，据此可对结论②、④进行判断；③由②可知，再根据三角形的面积公式，，然后由，可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：①在和中， ， ， 结论①正确； ②由①可知：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 结论②、④正确； ③由②可知：， ，， 又， ． 结论③正确， 综上所述：结论①②③④正确． 故选：A． 易错考点12：全等的性质和HL综合 23．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，为的高，为上一点，交于点，且有． 求证：． 证明：． 在和中， ． ． 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程． 【答案】不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明即可解答． 【规范解答】解：不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程： ， ． 在和中， ， ． 24．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG； ②再由GF＋GB＝GA＋GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，即可判断； ③由△BEF是等腰三角形，证明∠EBF＝∠DEC，； ④结合①可得AG＝GF，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF的面积． 【规范解答】解：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， 在Rt△ADG和Rt△FDG中， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， 故①正确； ②∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12−x， 由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2， 即：（x＋6）2＝62＋（12−x）2， 解得：x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG， 故②正确； ③∵EF＝EC＝EB， ∴∠EFB＝∠EBF， ∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF， ∴∠DEC＝∠EBF， ∴BF//DE， 故③正确； ④∵S△GBE＝BE•BG＝×6×8＝24， ∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6， ∴， ∴S△BEF＝S△GBE＝×24＝， 故④正确． 综上可知正确的结论的是4个． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度． 易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 25．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【规范解答】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． 26．综合与实践：正方形折纸中的数学．已知正方形纸片的边长为．动手操作： 第一步：如图1，将正方形对折，使与重合，把这个正方形展平，得到折痕； 第二步：如图2，再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，若与交于点，与相交于点．问题解决： (1)在图2中，四边形的形状是________；直线和的位置关系是________； (2)在图2中，若，求的长； 拓广探索： (3)如图3，若是边上的一点（点，除外），再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，若与相交于点．求的周长． 【答案】(1)菱形，； (2)； (3)的周长为：2a． 【思路引导】（1）先证明四边形CGEM是平行四边形，再利用邻边相等，证明是菱形； （2）利用折叠，CM = EM，在Rt△EDM中运用勾股定理即可解答； （3）过点C作CK⊥HP，连接CH，CP，运用三角形全等，将线段HP转化为BN和DP的和，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵右下角沿MN折叠，C点与E点重合， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形EMCG是平行四边形， ∵， ∴四边形EMCG是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：菱形，； （2）解：设DM=m，则CM=4-m， ∵右下角沿MN折叠，C点与E点重合， ∴CM=EM=4-m， ∵E为AD中点， ∴DE=2， 在中，DE= 2，CM=4-m，DM=m， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴ ； （3）解：过点C作CK⊥HP，连接CH，CP，如图： ∵正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点P重合， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， 在△CDP和△CKP中， ， ∴， ∴，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， 在Rt△CBH和Rt△CKH中， ， ∴， ∴， ∴△AHP的周长为． 【考点剖析】本题主要考查正方形折叠的问题，解题关键是利用图形在折叠前后对应边相等，对应角相等的特性，为证明平行四边形和菱形，以及三角全等提供前提条件，继而求解题目． 易错考点14：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 27．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【思路引导】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【规范解答】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得 ， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 28．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 易错考点15：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 29．长方形零件ABCD中，BC＝2AB．两孔中心M，N到边AD上点P的距离相等，且MP⊥NP，相关尺寸如图所示，求两孔中心MN的距离． 【答案】 【思路引导】如图，过M作ME⊥AD于点E，过N作NF⊥AD于点F，得到∠MEP＝∠NFP＝90°，根据余角的性质得到∠NPF＝∠EMP，根据全等三角形的性质得到ME＝PF=10mm，PE＝FN， 设PE＝FN＝x，根据勾股定理即可得到答案． 【规范解答】作ME⊥AD于点E，NF⊥AD于点F， ∴∠MEP＝∠NFP＝90°，∠EMP＋∠MPE＝90°， ∵MP⊥NP， ∴∠NPF＋∠MPE＝90°， ∴∠NPF＝∠EMP ∵PM＝PN，△EPM≌△FNP（AAS）， ∴ME＝PF，PE＝FN， 令PE＝x，则EF＝NF＝x＋10，AB＝x＋11，AD＝2AB＝2x＋22， 由EF＋AD＝54＋50得x＋10＋2x＋22＝104，x＝24， ， （mm）． 【考点剖析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，掌握作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【思路引导】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可； （2）根据（1）的结论，进而可得； （3）方法同（1）证明，进而可得 （4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2） 解：∵， ∴，． 又∵， ∴． （3） 解：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴ （4） 解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 易错考点16：全等三角形综合问题 31．（2023八年级上·广东·竞赛）如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，或，． 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2）当，或，时，与全等，理由如下： 若 ， 则，， ， 解得，， 则． 若 ， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 32．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明； （2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可； （3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：作于点D，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 作于点M，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：点P在线段上时，此时，如图， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， 即； 点P在线段的延长线上时，此时， 作于点M，如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， 即； 综上，或． 易错考点17：线段垂直平分线的性质 33．（25-26八年级上·全国·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有 个． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．结合网格，画出的垂直平分线，由此即可得． 【规范解答】解：如图，满足，在的垂直平分线上且在格点上的点有个． 故答案为：5． 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【规范解答】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 易错考点18：线段垂直平分线的判定 35．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②图见解析， 【思路引导】（1）根据，可得，再由证明，则，利用线段垂直平分线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证；②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，可得，从而推出此时点的位置即为所求，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【规范解答】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）①证明：如图 设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， 由（1）可知，， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由：延长至，使，如图， ， 垂直平分，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 此时点的位置即为所求 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是 【考点剖析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的定义，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 36．（22-23八年级上·福建福州·期末）在等边三角形中，点D、E分别在边、上，且，连接、交于点F． (1)如图1，求证：； (2)过点E作于点G． ①如图2，若，，求的长度； ②如图3，连接、，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①23；②见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质，结合已知证明即可． （2）①利用，得证，结合已知得到，得证，根据计算即可． ②证明，利用线段的垂直平分线性质证明． 【规范解答】（1）证明：∵等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：根据（1）得， ∴，； ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴．    ②根据（1）得， ∴，； ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作交于点，交于点，则，    设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， 连接，如图，    ∵ ∴ 又∵， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是线段垂直平分线， ∴． 易错考点19：角平分线的性质定理 37．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)线段与相等，详见解析 (2)8 (3)，详见解析 【思路引导】先证明，进而可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 过点D作于点H，根据角平分线性质得，依据判定和全等得，则，再证明和全等得，则，由此即可得出的长； 在的延长线上截取，连接，证明和全等得，，由此根据已知条件得，进而依据判定和全等得，然后根据即可得出这三者之间的数量关系． 【规范解答】（1）解：线段与相等，理由如下： ， ， 在中，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ； （2）过点D作于点H，如图2所示： ，， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3），，这三者之间的数量关系是：，理由如下： 在的延长线上截取，连接，如图3所示： 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 【考点剖析】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 38．（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． (1) °（直接写出结果不写解答过程） (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的面积． (3)如图（2），在中，，高，，则的长度是 　　（直接写出结果不写解答过程）． 【答案】(1)45 (2)①见解析；②15 (3)2.8 【思路引导】（1）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）①过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可求证； ②证明得，同理得，设，得，又由可得， 得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解； （3）如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，同理（2）即可求解； 【规范解答】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：45； （2）①证明：过点作于， 平分，，， ， 同理可得， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ； （3）解：如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由折叠可得，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：2.8． 【考点剖析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 易错考点20：角平分线的判定定理 39．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析 【思路引导】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【规范解答】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3）结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 40．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，，易得，即可判断结论①；根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可判断结论②；根据角平分线的定义和平行线的性质可得，即可证明，即可判断结论④；首先证明，再根据三角形内角和定理可得，结合，即可得，即可判断结论③． 【规范解答】解：如下图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，且点在内部， ∴点在的平分线上，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∵，， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∴， 即，故结论③错误． 综上所述，结论错误的是③，共计1个． 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 易错考点21：角平分线性质的实际应用 41．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：    (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【思路引导】（1）利用线段垂直平分线的性质和画法得出即可； （2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出两个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点（作一个点即可）． 【规范解答】（1）如图1所示：M点即为所求．    （2）如图2所示（答案不唯一）．    【考点剖析】此题考查了线段垂直平分线的性质与画法，角平分线的性质的应用，熟练掌握相关性质是解题关键． 42．如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析 ② 【思路引导】在上取一点，使得，连接，证≌，得，再证≌，得，进而得出结论； 在的延长线上取一点，使得，连接，先证≌，得，，再证明≌，得，即可得出结论； 由可知，，，则，设，则，得，，则，再由三角形面积关系即可得出结论． 【规范解答】（1）解：在上取一点，使得，连接，如图所示： ， ． 平分， ， ， ≌， ，． ，， ． ， ≌， ． ，， ， 故答案为：； （2）解：①若中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系为：，理由如下： 在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ，． ， ． ， ． ， ， ， ≌， ，． ，， ≌， ， ； 由可知：，， ， ， ． ，， 设，则，， ， ， ， ． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 易错考点22：等腰三角形的性质和判定 43．如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，见解析 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）作交的延长线于，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线， ∴． （3）解：仍成立，证明如下： 作交的延长线于，连接，如图． ∴． 在与中， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线，． 44．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接，可证得，即，请根据小颖的方法思考下列问题．    (1)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． (2)如图3，在中，若是的中线，是上一点，连接并延长交边于点，且，求证：． (3)如图4，在中，是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，试探索与之间的数量与位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、等角对等边、等腰直角三角形的性质等知识，是重要考点，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键． （1）证明，利用全等三角形对应边相等的性质得到，再结合三角形三边关系解题即可； （2）延长到点，使，连接，先证明，根据全等三角形的性质解得，，由等边对等角性质解得，继而得到，最后根据等角对等边解题； （3）延长至点，使，连接，先证明，再由全等三角形的性质得到，，继而证明，结合等腰直角三角形性质证明，解得，，及，延长交于点，最后证明即可解题 【规范解答】（1）解：如图，延长到点E，使，连接， 在与中， 在中， 故答案为：；    （2）证明：如图，延长到点，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长至点，使，连接，   ， ∴，， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错考点23：等边三角形的判定和性质 45．已知，点B为线段上的一个动点，与都为等边三角形，点D与点E在直线的两侧，连接交的延长线于点P，连接． (1)如图1，当点B为线段的中点时，求证：． (2)如图2，当点B不为线段的中点时，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，分别过点C、E作、，垂足分别为点F、G，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3) 【思路引导】（1）根据等边三角形的性质得到，，证得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，，推出，根据全等三角形的性质得到，，进而可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，证明，得到，，以为边作，另一边交于M，证得，根据全等三角形的性质得到，于是得到为等边三角形，由等边三角形的性质得到，再由求得，证明得到，即可得到结论； （3）由（2）知为等边三角形，根据，和已知条件得到，于是得到，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：∵为等边三角形，点B为线段的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵与为等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，则， ∴， ∴； （2）解：成立，证明如下： ∵与为等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴，， 以为边作，另一边交于M， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：以为边作，另一边交于M，连接， 由（2）知为等边三角形， ∵， ∴， ∵，由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 46．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． (1)如图1，若，分别平分和，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质等． （1）由，分别平分和，求出，，进而得出，由，得出，代入计算即可得到结果； （2）在上取一点，使，连接，证明，再证明，，代入计算即可求得结果； （3）在上截取，连接，先证明，均为等边三角形，再证明，即可得到． 【规范解答】（1）解：平分， ， 同理，， ， ， ， ； （2）如图1，在上取一点，使，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图2，   ，， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 易错考点24：含30度角的直角三角形 47．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）【基础巩固】（1）如图1，在等腰和等腰中，，，，连结，．求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，延长交于点F，连接． 求证： ①平分 ②． 【拓展提高】（3）如图3，已知中，，，，点D是直线上一动点，以为边作等边（点E在的左侧），连结，直接写出的最小值是： ． 【答案】（1）见详解（2）①见详解②见详解；（3） 【思路引导】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）①根据，得出，再证明，则，即平分 ②根据，，由①得，得，则； （3）取的中点，连接，根据，，，得，，因为点是的中点，，结合等边三角形的性质，证明，故，分析得的最小值是，则在中，，即可作答． 【规范解答】解：（1）， ∴， ， 在和中， ， ∴； （2）①由（1）得， 得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ②由（1）得； ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点，连接， ∵，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 过点作 ∵点D是直线上一动点， ∴的最小值是， 则在中，， ∴的最小值是． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，度所对的直角边是斜边的一半，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 48．在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【思路引导】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【规范解答】（1）解：之间的数量关系．理由如下： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形． 易错考点25：斜边的中线等于斜边的—半 49．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（   ） A．α B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出，，求出，，即可得出答案． 【规范解答】解：，是斜边的中点， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 50．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)∠ (3)见解析 【思路引导】（1）依据题意，，，又，，可得，进而可以判断得解； （2）过点D作，交于点H，则，即．证明，得到，即可证明，从而； （3）依据题意，延长交于点T，连接，，先证，再证，得，，即可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得到答案即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作，交于点H， 则， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：延长交于点T，连接，，如图： ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． ∵， ∴ ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理． 易错考点26：直角三角形的两个锐角互余 51．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，连接、，且于点F，与交于点G， ①求证：； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；② 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）由（1）可得：，，由全等三角形的性质可得，，，，再由梯形和三角形的面积公式计算即可得解； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，由（1）可得，，由全等三角形的性质可得，，从而可得， 再证明，即可得证；②由①可得，，从而可得出，结合题意可得，由①可得，由全等三角形的性质可得，求出，再由三角形的面积公式计算即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）可得：，， ∴，，，， ∴实线所围成的图形的面积； （3）①证明：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）可得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 52．（24-25八年级上·全国·期末）【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，，见解析 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形． 问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到； 问题2，延长到点G．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论； 问题3，在上取一点G．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论． 【规范解答】解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 故他得到的正确结论是：； 问题2，问题1中结论仍然成立，如图2， 理由：延长到点G．使．连接， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ； 即； 问题3．不成立，结论：，理由如下： 如图3，在上取一点G．使．连接， ∵ ，， ∴，即 ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴． 即． 易错考点27：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 53．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2； （1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． （2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析 【思路引导】（1）由已知得，连接CF，BE，证明得CD=BE，再证明为直角三角形，由勾股定理可得结论； （2）连接CF，BE，证明得CD=BE，再证明为直角三角形，由勾股定理可得结论． 【规范解答】解：（1）CD2+DB2=2DF2 证明：∵DF=EF，∠DFE＝90°， ∴ ∴ 连接CF，BE，如图 ∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点 ∴ ，即 ∴， 又 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴CD2+DB2=2DF2 ； （2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接CF、BE ∵CF=BF，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90° ∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC≌△EFB        ∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°   ∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90° 在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2 ∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 54．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $