第1章三角形 自主达标测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《第1章三角形》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分30分） 1．生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．   B．     C．   D．      2．若一个三角形的两边长为 ，则第三边长不可以是（   ） A． B． C． D． 3．利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 5．如图，在中，点O在的平分线上，连接，作于点D．若，，则的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．20 6．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．20 D．26 7．如图所示，已知，点E在上，，，则下列结论不成立的是（   ） A．平分 B． C． D． 8．如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 9．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（满分24分） 11．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 12．已知的三边分别为a，b，c，化简： ． 13．如图，中，，，，则 ． 14．如图，，是平分线上一点， 交于，于，若，则 ． 15．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是 ． 16．如图，在中，，分别是边，的中点，连接，，若的面积为，则的面积是 ． 17．如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ． 18．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点F，现有下列结论正确的是 ． ①；②；③平分；④；⑤． 三、解答题（满分66分） 19．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 20．已知：如图，锐角的两条高，相交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 21．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 22．如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 23．如图，点是等边内一点，是外的一点，已知，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 24．在中，，，P为直线上一点，过A作于D，交直线于Q． (1)如图1，当P在线段上时，求证：． (2)当P在线段的延长线上时，请在图2中画出图形，并求． (3)如图3，当P在线段的延长线上时， 等于多少时，． 参考答案 1．C 【分析】根据三角形的稳定性结合实际问题进行解答． 【详解】解：屋顶支撑架，自行车脚架，旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性， 伸缩门是利用了四边形的不稳定性， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形． 2．D 【分析】本题考查了三角形三边关系(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边)，解题的关键是根据已知两边长度求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 设三角形第三边长为，根据三角形三边关系，用已知两边长和计算出x的取值范围，即；再逐一判断各选项是否在该范围内，不在范围内的即为答案． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系： 任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，得，即． 只有D选项不满足，不能构成三角形，此选项符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键． 根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作法错误，不符合题意； B、作法错误，不符合题意； C、作法错误，不符合题意； D、作法正确，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等， ∴超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D 5．C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点O作于点H，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点H， ∵点O在的平分线上， ∴平分， ∵，，，， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据三角形周长计算公式得到的值，再由线段垂直平分线的性质得到以及的长，进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的周长为22， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用全等三角形的判定证明，得出，，推出平分，再根据直角三角形的性质得到，则有，结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 由题意无法证明， 结合选项可知，选项A、B、C结论成立，不符合题意；选项D结论不成立，符合题意； 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定及性质，垂线定义．由直角三角形的性质得，由作图知平分，，进而证明，得，，从而得． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．B 【分析】连接， ，过A作于E，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到．本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【详解】解：如图，连接，，过A作于E， ∵点关于的对称点恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形中， ， ∴， ∴ 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． ①先证明，进而依据“”判定和全等得可判断①；②根据得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此得，继而得周长为可判断②；③设的延长线交于点H，证明和是等腰直角三角形得，由此得是等腰直角三角形，则可判断③；④假设，根据得，再根据得，进而得是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾，由此得假设是错误的，据此可判断④． 【详解】解：①∵在中，分别为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即结论①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长为：， 故结论②正确； ③如图所示：设的延长线交于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾， ∴假设是错误的，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：B． 11．11或13 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得m与n的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 若三边是5，5，3，周长为：； 若三边是5，3，3，周长为：；； ∴的周长为11或13； 故答案为：11或13． 12． 【分析】本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 13．/24度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质． 根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可求． 【详解】解：， ， ， ， ， 是角平分线， ． 故答案为：． 14． 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，然后根据等角对等边可得． 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 是平分线上一点，， ， ， ， ， 是平分线上一点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 16．4 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：是边的中点， ， 是边的中点， ， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，通过证明三角形全等得到对应角相等，再根据直角三角形的性质以及角之间的关系求出的度数即可. 【详解】解：， 是直角三角形 在和中 又 故答案为： ． 18．①②④ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，由直角三角形的性质可证，由可证，可得，，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示：连接、． 平分，，， ，故①符合题意； ，平分， ， ， ， ，， ， 同理：， ，故②符合题意； 由题意可知：， 假设平分，则， 又， ． ． 是否等于不知道， 不能判定平分，故③不符合题意； 在和中， ， ∴， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ∴， ，故⑤不符合题意； ，故④符合题意； 故答案为：①②④． 19．(1)见解析 (2)6，7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）证明，即可推出结论； （2）根据三角形外角的性质推出，再根据含角的直角三角形的性质推出的长即可推出结果． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6，7． 20．(1)证明见解析； (2)是在的平分线上，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，又是两条高，所以，证明，根据性质可得，然后通过等角对等边即可求证； （）连接，由，得，通过线段和差可得，又，，然后通过角平分线判定定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：是在的平分线上，理由， 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上． 21．(1)的长是，的度数是 (2)的长是 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答． （1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题． 【详解】（1）解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． ∴，，，， ∴，，， ∴，， 即的长是，的度数是； （2）解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ， ∴， ∴， 即的长是． 22．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 23．(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）先利用全等三角形的性质得出，再根据证得结论成立； （2）先等边三角形的性质得出，再求出，然后利用全等三角形的性质求得，从而可求得，进而求得； （3）先利用等腰三角形的性质求得，从而可求得，，进而求得，再分、、三种情况，分别求得． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ． ． ， ， ， ； （3）是等边三角形， ． ， ， ， ． ①当时，， ． ②当时，， ． ③当时，， ． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 24．(1)见详解 (2)画图见详解， (3)当时 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形性质和三角形内角和定理等知识，根据题意得出全等三角形是解题关键． （1）首先根据内角和定理得出，进而得出即可得出答案； （2）首先证明，进而得出，利用等腰三角形的性质得出即可； （3）首先证明，进而得出，即可得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， 在和中 ， ， ． （2）解：如图2所示： ， ， 在和中 ， ∴， ， ， ． （3）解：当时；   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故当时． 学科网（北京）股份有限公司 $