极值点偏移问题讲义-2026届高三数学一轮复习

极值点偏移问题

一、判定方法

1.极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且.

（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；

（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；

（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏.

2.极值点偏移的判定定理：

【判定定理1】对于可导函数，在区间上只有一个极大值点（或极小值点），方程的解分别为，且，

（1）若，则，即函数在区间上极大值点（或极小值点）右（左）偏；

（2）若，则，即函数在区间上极大值点（或极小值点）左（右）偏.

【判定定理2】对于可导函数，在区间上只有一个极大值点（或极小值点），方程的解分别为，且，

（1）若，则，即函数在区间上极大值点（或极小值点）右（左）偏；

（2）若，则，即函数在区间上极大值点（或极小值点）左（右）偏.

若函数的极值点为，则极值点的偏移问题的图示以及函数值

的大小关系如下表所示：

极值点偏移情况		极值点	函数值的大小关系	图示
极值点不偏移
极值点偏移	左移		开口向上
			开口向下
	右移		开口向上
			开口向下

 

二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1.方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定的大小关系.

2.答题模型

答题模板：若已知函数满足，为的极值点，求证.

（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；

假设此处在上单调递减，在上单调递增

（2）构造；注意此处根据题意需要还可以构造成

（3）通过求导谈论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；

假设此处在上单调递增，那么我们便可以得出，从而得到时，.

（4）不妨假设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；

接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.

（5）若要证明还需要进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；

此处只需要继续证明：因为，所以，由于在上单调递减，因此.

此处需要说明：（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时需细心！（2）此类题目若题目难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与或者与的大小关系；若题目难度较大，则直接给出形如或者的结论，让你给出证明，此时自己应该主动把该小问分解为三问逐步解题.