第21章 二次根式 同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第21章 二次根式同步练习 一、单选题 1．下列二次根式中，最简二次根式是（    ）． A． B． C． D． 2．要使二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知等腰三角形的两边长分别为3和，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 4．化简的结果是（      ） A． B． C． D． 5．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 6．设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 7．已知，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 8．设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 9．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 10．若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．计算： ． 12．已知a、b、c为互不相同的有理数，且满足，则符合条件的a、b、c的组数共有 组． 13．用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么 ． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 15．一块正方形木板采用如下图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 三、解答题 16．计算： (1) (2) (3) (4) 17．有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： (1)上面三张卡片上的二次根式能合并的是________和________； (2)计算：． 18．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 19．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 20．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A B A D D A B 1．A 【分析】本题考查最简二次根式． 根据最简二次根式的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，选项A符合题意， B．被开方数含分母，不是最简二次根式，选项B不符合题意， C．被开方数含分母，不是最简二次根式，选项C不符合题意， D．被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项D不符合题意． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了二次根式的加法，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 【详解】解：当三边是3，3，时，，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三边是时，符合三角形的三边关系，此时周长是， ∴这个三角形的周长是， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，正确运用运算律及公式是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解：原式， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 7．D 【分析】本题主要考查二次根式的运算及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关键；由完全平方公式可知，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 8．D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 9．A 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 10．B 【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时，，故结论①正确； ②， 当，则 当则．故结论②正确； ③， 当时，， 当时，，故结论③错误； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故结论④错误． 综上所述：正确结论有①②，共2个， 故选：B． 11．1 【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 12．0 【分析】此题主要考查了二次根式的综合应用，首先整理，得出，再分析得出无理数的系数相等，有理项也相等，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， 因为a、b、c为有理数， 所以无理数的系数部分相等，有理数部分也相等，即①，②， 将②代入①得：， 整理得， 得，与a、b、c为互不相同的有理数矛盾， 所以符合条件的a、b、c共有0组． 故答案为：0． 13． 【分析】本题考查了定义新运算， 二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据定义，代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简．观察数轴可知：，，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算化简即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次根式的化简和乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．首先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，然后列式求解即可． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴剩余木板的面积为：． 故答案为：． 16．(1)1 (2) (3)12 (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行计算即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行计算即可； （3）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行计算即可； （4）将括号内二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的除法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 17．(1)①，② (2) 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的乘除法，正确计算是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可； （2）先根据完全平方公式计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：，， 能合并的是①和②， 故答案为：①，②； （2）解：． 18．(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可； （2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19．(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （2）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （3）根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 【详解】（1）解：小亮的解法中：， 当时，， ∴小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. （2）解：由（1）知，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：. （3）解：∵， ∴，， ∴原式 ． 20．(1)的值为； (2)天气晴朗时站在山之巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，算术平方根的应用． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以天气晴朗时站在山之巅能看到大海． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $