专题 1.9 两次全等证一结论：三角形证明综合训练（精选精练）- 基础知识专项突破讲练 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题 1.9 两次全等证一结论：三角形证明综合训练（精选精练） 专项练习 一、填空题 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，平分，，若，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·江西新余·期中）如图，在四边形中，，平分，作于点．，，则 ． 二、解答题 5．（20-21八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知（如图）：点D，E分别在，上，，交于O，且，． 求证： 6．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，∥，平分线段，过点任作一条线段交于，交于，求证：． 7．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，、相交于点E，，．求证． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．下图所示的是一个燕尾风筝的平面示意图．已知横骨于点F，于点E，交于点D，中骨平分，求证：两翼． 9．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，点为的中点，，，且，．求证：． 10．（24-25七年级下·全国·期末）根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图所示，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：． 证明：因为， 所以（ ）， 在与中， 所以（ ）， 所以（ ）， 又因为， 所以 ， 所以， 在与中， 所以（ ）， 所以 ， 所以（ ）． 11．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，平分，且，试说明∶ （1）； （2）． 12．（20-21八年级下·山西太原·阶段练习）如图，，，点是上一点，于，于，，求证：． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①，在中，是的中点，，分别为垂足．求证：． 证明：如图②，连接． 是的中点， ______． ， ______（______）， ． ， ． （1）将上面的证明过程补充完整； （2）用不同的方法证明：． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． 求证：． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知在四边形中，平分． 求证： （1）； （2）． 16．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知：如图，，相交于点，，，，为上两点，且．猜想和的关系并说明理由． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，，分别平分，． （1）求：度数． （2）判断：、、之间关系，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.9两次全等证一结论：三角形证明综合训练（精选精练) 专项练习 一、填空题 1.(24-25八年级下.黑龙江哈尔滨开学考试)如图，在△ACD中，∠ACD=90°，点B在CD上， 满足BC=AC,过点A作EA⊥AD,且EA=DA,连接AB,EB,过E点作EG∥CD交AC的延长线 于点G,4G与EB交于点F,若CF=C,则BD AF 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设CF=x,则BC=AC=3x,AF=4x,证明 △ACD≌△EGA(AAS),得出AC=EG=3x,CD=AG,再证明△BCF≌△EGF(AAS),得出 FG=CF=x,求出BD=2x,即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 解：设CF=x,则BC=3x, .BC=AC=3x,AF=AC+CF=4x, :EG∥CD,EA⊥AD, .∠ACD=LAGE=90°， ∠DAC+∠D=90°=∠DAC+∠EAG, .∠D=∠EAG, ∴.△ACD≌△EGA(AAS), .AC=EG=3x,CD=AG, .BC=EG, ∠EFG=∠CFB,∠BCF=∠G, △BCF≌△EGFAAS), :.FG=CF=x, ..AG=5x, .CD=AG=5x, 1/20 .BD =2x, BD 1 AF2 故答案为：号 2.(24-25七年级下山西晋中.期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,AB=15,AD平 分∠BAC交BC于点D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,点P是DE上的动点，点Q是BD上的 动点，则BP+PQ的最小值为 A E 、P B D 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作DH⊥AB 于H,并延长DH,先判断出△ADH≌△ADC(AAS),再判断出∠BDE=∠HDE,在DH上取一点Q, 使DQ'=DQ,连接PQ,BQ',进而判断出△QDP≌△Q'DP(SAS),得出PQ=PQ',即可判断出 BQ⊥DH时，BP+PQ最小，即可求出答案， 解：如图，过点D作DH⊥AB于H,并延长DH, P/ ∴.∠AHD=90°=∠C, :AD是∠BAC的平分线， .∠DAH=∠DAC, AD=AD, .△ADH≌△ADC(AAS), .∠ADH=∠ADC,AH=AC=5, ∴.BH=AB-AC=15-5=10, DE⊥AD, ∠ADE=90°， .∠ADC+∠BDE=90°=LADH+∠EDH, 2/20 .∠BDE=∠HDE, 在DH上取一点Q,使DQ'=DQ,连接PQ',BQ', DP=DP, .△QDP≌△Q'DP(SAS, ∴PQ=PQ', :BP+PQ=BP+PQ'≥BQ'(假设点Q是定点，点B,P,Q'共线时，取最小BO), “点Q是动点， 当BQ⊥DH时，即点Q与点H重合，BP+PQ的最小值为BH=10, 故答案为：10. 3.(24-25八年级上江苏宿迁期中)如图，在ABC中，AC=BC,∠C=90°，BD平分∠ABC, AD⊥BD,若BE=5,则AD的长为 A E B 【) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识， 由△ADE和△BCE间角的关系可得∠DAE=∠EBC,延长AD,BC交于点F,由ASA证得 △ACF≌△BCE,求出AF=BE=5,再由ASA证得△ABD≌AFBD,得到AD=FD=!AF,从而即可求出 AD的长，熟练掌握其性质并能正确延长AD,BC构造全等三角形是解决此题的关键。 解：如图，延长AD,BC交于点F, D E B ∠ACB=90°，AD⊥BD, ∠ADE=∠BDF=∠BCE=90°， 3/20 :∠AED=∠BEC, 90°-∠AED=90°-∠BEC,即∠DAE=∠EBC, 在△ACF和△BCE中 [∠ACF=∠BCE AC=BC ∠FAC=∠EBC ∴△ACF≌△BCE(ASA), :AF =BE=5 BD平分∠ABC, ∠ABD=∠FBD, 在△ABD和△FBD中， ∠ABD=∠FBD BD=BD ∠BDA=∠BDF △ABD≌△FBD(ASA, AD=FD=74F-7 1 5 故答案为：2 4.(24-25八年级上江西新余期中)如图，在四边形ABCD中，AD=CD,BD平分∠ABC,作 DH⊥BC于点H.BC=9,AB=5,则HC= B H 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等 三角形解决问题。 过点D作DE⊥BA交BA延长线于E,证明△DBE≌△DBH(AAS),得到DE=DH,BE=BH,再 证明Rt△ADE≌Rt△CDH(HL),得到AE=CH,然后根据线段的和差关系求解即可. 解：如图所示，过点D作DE⊥BA交BA延长线于E, 4/20 H :DH⊥BC, :∠DEB=∠DHC=∠DBH=90°， :BD平分∠ABC, :∠DBE=∠DBH, 在△DBE和△DBH中， ∠E=∠DHB=90° ∠DBE=∠DBH, BD=BD .△DBE≌△DBH(AAS), :DE DH BE BH' 又：AD=CD, .Rt△ADE≌Rt△CDH(HL), AE =CH, BC =BH +CH=BE+CH, :BC AB+AE+CH=AB+2CH, :BC=9,AB=5, .CH=2. 故答案为：2. 二、解答题 5.(20-21八年级上江苏镇江阶段练习)已知（如图）：点D,E分别在AB,AC上，BE,CD交 于O,且AB=AC,∠B=∠C. 求证：△BOD≌△COE(AAS 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键。 5/20 证明：在△ABE和△ACD中 [∠A=∠A AB=AC ∠B=∠C △ABE≌△ACD(ASA), .AD AE. 又：AB=AC, AB-AD=AC-AE,即BD=CE, 在△BOD和△COE中 ∠B=∠C ∠BOD=∠COE BD=CE .△BOD≌△COE(AAS. 6.(24-25九年级下·湖北宜昌阶段练习)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AB‖CD,BD平分线段AC,过点O任作一条线段EF交AB于E,交CD于F,求证：BE=DF. D B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识点，能求出△BEO≌△DFO是解此题的关键。 根据AAS推出△ABO≌△CDO,由全等三角形的性质可得OB=OD,根据ASA推出△BEO≌△DFO, 由全等三角形的性质即可得出答案. 解：证明：：AB∥CD, :∠AB0=∠CD0, BD平分线段AC, 0A=0C, 在AABO和△CDO中， 「∠ABO=∠CDO ∠AOB=∠COD OA=OC .△AB0≌△CDO(AAS）, 6/20 0B=0D, 在△BEO和△DFO中， I∠EBO=∠FDO OB=OD ∠BOE=∠DOF △BEO≌△DFOCASA), :BE DF. 7.(24-25八年级上·江苏南京阶段练习)如图，AC、BD相交于点E,DE=EC,∠D=∠C·求 证△ABD≌△BAC. D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键.先根 据ASA定理证出△AED≌△BEC,根据全等三角形的性质可得AD=BC,AE=BE,则可得 BD=AC,再根据SAS定理即可得证. 解：证明：在△AED和BEC中， 「∠D=∠C ∠AED=∠BEC, DE=CE .△AED≌△BEC(ASA, ∴AD=BC,AE=BE, 又：DE=EC, ∴.BE+DE=AE+EC,即BD=AC, 在△ABD和△BAC中， BD=AC ∠D=∠C, AD=BC ,△ABD≌△BAC(SAS). 8.（25-26八年级上·全国课后作业)相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝 起源.下图所示的是一个燕尾风筝的平面示意图.己知横骨BF L AC于点F,CE⊥AB于点E,EC 7/20 交BF于点D,中骨AD平分∠BAC,求证：两翼AB=AC. 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，邻补角的含义，先证明△AFD≌△AED,再利用邻 补角的含义求解即可 根据BF⊥AC,CE⊥AB,AD平分∠BAC,证明△AFD≌△4ED(AAS),△BAF≌△CAE(ASA);一 题多解法，证明△AFD≌△AED(AAS),△DFC≌△DEB(ASA), 解：证明：：BF⊥AC,CE⊥AB, .∠AFD=∠AED=90°， :AD平分∠BAC, .∠FAD=LEAD. 在△AFD和△AED中， '∠AFD=∠AED, ∠FAD=∠EAD, AD=AD. △AFD≌△AED(AAS), .AF=AE. 在△BAF和△CAE中， 「∠FAB=∠EAC, AF=AE, ∠AFB=∠AEC, △BAF≌△CAE(ASA, :AB=AC. 一题多解： BF⊥AC,CE⊥AB, .∠AFD=∠AED=90°. :AD平分∠BAC, 8/20 .∠FAD=∠EAD. 在△AFD和△AED中， [∠AFD=∠AED, ∠FAD=∠EAD】 AD=AD, △AFD≌△4ED(AAS), :AF AE,DF =DE. :∠AFD=∠AED=90°， .∠DFC=∠DEB=900. 在△DFC和ADEB中， I∠FDC=∠EDB, DF=DE, ∠DFC=∠DEB, △DFC≌△DEB(ASA, .FC=EB, :AE EB=AF FC, 即AB=AC, 9.(23-24八年级上河南安阳·期中)如图，点F为BC的中点，EA⊥AB,AD1AC,且AD=AC, A=AB.求证：AF=DE. F 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，三角形内角和定理，延长AF至N,使 FN=AF,连接BN,可证明△AFC兰△NFB(SAS),则AC=NB，LACF=∠NBF，由 ∠EAD+∠BAC=360°-90°×2=180°，∠ACF+∠ABF+∠BAC=180°，则有LEAD=LABN,然后证 明△ABN≌AEAD(SAS),所以DE=AN,因为AF=FN,所以MN=2AF,从而可证AP=DE, 2 掌握知识点的应用是解题的关键. 解：证明：延长AF至N,使FN=AF,连接BN, 9/20 :点F为BC的中点， :CF=BF, 在△AFC和△NFB中 (AF=NF ∠AFC=∠NFB CF=BF ·.△AFC≌△NFB(SAS), ∴.AC=NB,∠ACF=∠NBF, :AB⊥AE,AD⊥AC, .∠EAB=∠DAC=90°， .∠EAD+∠BAC=360°-90°x2=180°， ∠BAC=180-∠EAD, :∠ACF+∠ABF+∠BAC=180°， ∠BAC=180°-（∠ACF+∠ABF), ∠EAD=∠ACF+∠ABF=∠NBF+∠ABF=∠ABN, 在△EAD和△ABN中， (AE=BA ∠EAD=∠ABN, AD=BN .△ABN≌△EAD (SAS, .DE AN, AF =FN, .AN =2AF, .AF=IDE. 2 10.(24-25七年级下.全国期末)根据要求，填空完成下面的证明过程. 10/20