21.5 反比例函数 导学案2025-2026学年沪科版数学九年级上册

专题：反比例函数 考点一 反比例函数y=0)的图像及性质 图象 象限 增减性 在每个象限内，y随x的 k>0 增大而」 在每个象限内，y随x k<0 的增大而」 注意：反比例函数图像的对称性： ①关于直线 轴对称； ②关于中心对称； 【例1】1.若点x1y、(22)和cgy⅓)均在双曲线y=-是 上，且x1<x2<0<x3,则下列判断中正确的是( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y1<y2 C.y2<y⅓<h D.y3<y2<y1 2.设函数y=堂2=-k>0),当2≤x≤3时，函数的4最 大值是a,函数y2的最小值是a-4,则ak=() A.4 B.6 C.8 D.10 3.若点Ax1y),B(x2,y2)在反比例函数y=3m的图象上，且 满足当x1>x2>0时y1<y2,则m的取值范围为 4.若点(2，-3)在反比例函数y=的图象上，则当y>-3时， x的取值范围为 考点二反比例系数k的几何意义 若点PKo,o)在函数y=的图像上，过点Pxo,yo)作x、y轴 的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为，即S形=· 注意：樾大，双曲线离」 越远 【例2】1.如图1，点A是反比例函数y=c>0)的图象上任 意一点，AB/x轴交反比例函数y=一三的图象于点B,以AB为 边作□ABCD,其中C、D在x轴上，则S ABCD为( A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图2，点A是反比例函数y-(x<0)的图象上的一点，过 点A作AB⊥x轴，垂足为点B,C为y轴上一点，连接AC,BC, 若△ABC的面积为3，则k的值为() A.3 B.-3 C.6 D.-6 图1 图2 3.如图3，平行于x轴的直线与双曲线y=x>0),y= (k>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点，点A在点B的右侧 C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为2.则k= 4.如图4，反比例函数y=《(x<O)的图象上有两点A和B,横 坐标分别是a和b,且b=2a,过点A作y轴平行线，过点B作x轴 平行线交于点C,连接0C,若△OBC面积为2，则k=_ VA 图3 图4 考点三反比例函数与一次函数交汇问题 【例3】1.如图5，已知直线4=ax+b与双曲线y2=是相交 于A、B两点，且A(1,m),B(-3,n),则下列结论： ①a=1,b=2; ②若y1<y2,则x<-3或0<x<1; ③SAA0B=4; 其中正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 图5 2.在平面直角坐标系中，函数y=(x>0)与y=x-1的图象 交于点P(ab),则代数式号-的值为( B c.- D. 3.已知一次函数y1=一x+b的图象与反比例函数y2=的图 象交于A(1,4),B两点. (1)当y2>时，x的取值范围是」 (2)将直线AB向下平移m个单位长度，直线AB与反比例函数的 图象只有一个交点，则m= 考点四反比例函数与几何图形交汇问题 【例4】1.如图6，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标 为(-3,4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y=c<0)的图象 经过顶点B,则k的值为() A.-12 B.-27 C.-32 D.-36 2.如图7，正方形ABCD的顶点A,B在y轴上，双曲线y= 的图象经过点C和AD的中点E,若AB=2,则k= 0 图6 图7 3.如图8，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠AC0= ∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B, 则△OAC与△BAD的面积之差S&OAC-S△BAD= 图8 ※课后练习 1.己知点A(&,y),B(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上， 若y1<y2<0,则下列结论正确的是( ) A.x1<x2<0 B.x2<x1<0 C.0<x1<x2 D.0<x2<X1 2.如图1，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的 图象交于点A(2,3),B(m,-2),则ax+b>的解集是() A.-3<x<0或x>2 B.x<-3或0<x<2 C.-2<x<0或x>2 D.-3<x<0或x>3 3.如图2，矩形0ABC与反比例函数=生化1≠0，x>0) 的图象交于点M,N,与反比例函数y2-(化2≠0，x>0)的 图象交于点B,连接OM,ON.若四边形OMBN的面积为3，则 k2-k1=() A.3 B.-3 C. D.6 图1 图2 4.方程x2+2x-1=0的根可视为直线y=x+2与双曲线 y-交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x-2=0的实 根xo所在的范围是( A.0<x0<1 B.1<x0<2 C.2<x0<3 D.3<x0<4 5.如图3，A是双曲线y=(x>0)上的一点，点C是0A中点， 过点C作y轴的垂线，垂足为D,交双曲线于点B,且△ABD的面 积是4，则k=() A.4 B.6 C.8 D.10 6.如图4，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，点 B,C分别为反比例函数M=x>0),y2=c<0)的图象上 的点，且BC/x轴，已知△ABC的面积为3，则k= A 图3 图4 7.已知点P(m,n)是函数y=三和y=3x+4图象的一个交点， 则mn+n-3m的值为. 8.饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开 始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系）， 当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中， 水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至20℃时， 饮水机又自动开始加热，…如此循环下去（如图5所示）.那么 开机后56分钟时，水的温度是 ℃ Ax('c) 1007---- 20 08 t （分 图5 9.如图6所示，己知Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A 在反比例函数y=-2c<0)的图象上，连接0A,若AB=AC, 则0C2-0A2= BO* 图6 10.如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在 直线上取点A(2,a),过点A作反比例函数y=华(x>0)的图象. (1)k= (2)点P为双曲线上一点，若SAPOB=2SAA0B,求点P坐标； (3)在x轴上是否存在点Q,使得∠B0A=∠0AQ,若存在请直 接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 y /y=2x+2 A y C 专题：反比例函数 考点一 反比例函数(k≠0)的图像及性质 k 图象 象限 增减性 k>0 在每个象限内，y随x的增大而 k<0 在每个象限内，y随x 的增大而 注意：反比例函数图像的对称性： ①关于直线 轴对称； ②关于 中心对称； 【例1】1．若点，、，和，均在双曲线 上，且，则下列判断中正确的是(       ) A．          B．               C．               D． 2．设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则 A． B． C． D． 3．若点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则的取值范围为 ． 4．若点在反比例函数的图象上，则当时， 的取值范围为           ． 考点二 反比例系数k的几何意义 若点P(x0，y0)在函数的图像上，过点P(x0，y0) 作x、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，即S矩形= ． 注意：|k|越大，双曲线离 越远． 【例2】1．如图1，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为(       ) A． B． C． D． 2．如图2，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，， 若的面积为，则的值为(       ) A． B． C． D． 图1 图2 3．如图3，平行于轴的直线与双曲线， 的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，若的面积为则 ． 4．如图4，反比例函数的图象上有两点和，横坐标分别是和，且，过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，连接，若面积为，则        ． 图3 图4 考点三 反比例函数与一次函数交汇问题 【例3】1．如图5，已知直线与双曲线相交于、两点，且，，则下列结论： ，； 若，则或； ； 其中正确的结论是(       ) A． B． C． D． 图5 2．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为(       ) A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象与反比例函数的图 象交于，两点 当时，的取值范围是 ； 将直线向下平移个单位长度，直线与反比例函数的图象只有一个交点，则 ． 考点四 反比例函数与几何图形交汇问题 【例4】1．如图6，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点，则的值为(       ) A． B． C． D． 2．如图7，正方形的顶点，在轴上，双曲线 的图象经过点和的中点，若，则 ． 图6 图7 3．如图8，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差         ． 图8 ※课后练习 1．已知点，在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是(       ) A． B． C． D． 2．如图1，一次函数的图象与反比例函数的 图象交于点，则的解集是(       ) A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 3．如图2，矩形与反比例函数， 的图象交于点，，与反比例函数，的图象交于点，连接若四边形的面积为，则(       ) A． B． C． D． 图1 图2 4．方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是(       ) A． B． C． D． 5．如图3，是双曲线上的一点，点是中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，且的面积是，则(       ) A． B． C． D． 6．如图4，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点 ，分别为反比例函数，的图象上 的点，且轴，已知的面积为，则          ． 图3 图4 7．已知点是函数和图象的一个交点， 则的值为            ． 8．饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降此过程中，水温与开机时间分成反比例函数关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，如此循环下去如图5所示那么开机后分钟时，水的温度是          图5 9．如图6所示，已知的斜边在轴上，直角顶点 在反比例函数的图象上，连接，若，则            ． 图6 10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象． ； 点为双曲线上一点，若，求点坐标； 在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：反比例函数 考点一 反比例函数(k≠0)的图像及性质 k 图象 象限 增减性 k>0 在每个象限内，y随x的增大而 减小 k<0 在每个象限内，y随x 的增大而 增大 注意：反比例函数图像的对称性： ①关于直线 轴对称； ②关于 中心对称； 【例1】1．若点，、，和，均在双曲线 上，且，则下列判断中正确的是(    B   ) A．          B．               C．               D． 2．设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则   C   A． B． C． D． 3．若点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则的取值范围为 ． 4．若点在反比例函数的图象上，则当时， 的取值范围为          ． 【答案】或  考点二 反比例系数k的几何意义 若点P(x0，y0)在函数的图像上，过点P(x0，y0) 作x、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，即S矩形= ． 注意：|k|越大，双曲线离 原点 越远． 【例2】1．如图1，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为(   D   ) A． B． C． D． 2．如图2，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，， 若的面积为，则的值为(    D   ) A． B． C． D． 图1 图2 3．如图3，平行于轴的直线与双曲线， 的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，若的面积为则 ． 4．如图4，反比例函数的图象上有两点和，横坐标分别是和，且，过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，连接，若面积为，则       ． 图3 图4 考点三 反比例函数与一次函数交汇问题 【例3】1．如图5，已知直线与双曲线相交于、两点，且，，则下列结论： ，； 若，则或； ； 其中正确的结论是(    D  ) A． B． C． D． 图5 2．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为(   C   ) A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象与反比例函数的图 象交于，两点 当时，的取值范围是 或 ； 将直线向下平移个单位长度，直线与反比例函数的图象只有一个交点，则 或 ． 考点四 反比例函数与几何图形交汇问题 【例4】1．如图6，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点，则的值为(  C    ) A． B． C． D． 2．如图7，正方形的顶点，在轴上，双曲线 的图象经过点和的中点，若，则 ． 图6 图7 3．如图8，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差        ． 图8 ※课后练习 1．已知点，在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是(   C    ) A． B． C． D． 2．如图1，一次函数的图象与反比例函数的 图象交于点，则的解集是(  A   ) A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 3．如图2，矩形与反比例函数， 的图象交于点，，与反比例函数，的图象交于点，连接若四边形的面积为，则(    A   ) A． B． C． D． 图1 图2 4．方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是(   A   ) A． B． C． D． 5．如图3，是双曲线上的一点，点是中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，且的面积是，则(    C  ) A． B． C． D． 6．如图4，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点 ，分别为反比例函数，的图象上 的点，且轴，已知的面积为，则         ． 图3 图4 7．已知点是函数和图象的一个交点， 则的值为           ． 8．饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降此过程中，水温与开机时间分成反比例函数关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，如此循环下去如图5所示那么开机后分钟时，水的温度是          图5 9．如图6所示，已知的斜边在轴上，直角顶点 在反比例函数的图象上，连接，若，则             ． 图6 10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象． ； 点为双曲线上一点，若，求点坐标； 在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】解：把代入得， ，， 把代入，得， 反比例函数的函数表达式为； 当时，， ，， ， ， 又 ，解得：， ，点坐标为； 存在；理由如下： 当点在轴正半轴上时，点； 当点在轴负半轴上时， 如上图，设与轴交于点， ，， 则， 解得：，，直线的表达式为， 当时，，即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或．  学科网（北京）股份有限公司 $