21.4 二次函数的应用复习题2025-2026学年沪科版数学九年级上册

专题：二次函数的应用 考点一 二次函数的实际应用 ◎角度(一)　抛物线模型问题 【例1】如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米． A． B． C． D． ◎角度(二)　几何图形的面积问题 【例2】为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤岸堤足够长为一边，用总长为 的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则矩形区域的最大面积为 【答案】解：设，， ， 由题意可得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是． ◎角度(三)　经济活动中的利润问题 【例3】某公司销售一种成本为元件的产品，若销售价格不高于元件，则一个月可售出万件；销售价格在元件的基础上每上涨元件，月销售量就减少万件．其中销售价格不低于成本．设销售价格为元件，月销售量为万件． 直接写出与之间的函数解析式和自变量的取值范围； 当售价是多少元件时，月销售最大利润是多少万元？ 为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向山区捐款元．已知该公司捐款当月的销售价格不高于元件，月销售最大利润是万元，求的值． 【答案】(1)  (2)设月销售利润为z万元， 当40≤x≤50时，z＝5(x﹣40)＝5x﹣200， 此时z的最大值为5×50﹣200＝50. 当50 所以当x＝70时，z取最大值，为90. 综上，当月销售单价是70元时，月销售利润最大是90万元. (3)设该公司捐款后的利润为w万元， 由题意，得 ＝(x﹣40﹣a) 400﹣10a, 易知抛物线 的开口向下， 对称轴为直线 则当x＝70时，捐款后月销售利润w最大， 即(70﹣40﹣a)×(10﹣0.1×70)＝78，解得a＝4. 考点二 二次函数的综合应用 ◎角度(一)　动点轨迹的函数图像判定 【例4】如图，正方形的边长为，点，点同时从点 出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间 之间函数关系的大致图象是(    C   ) A． B． C． D． ◎角度(二)　 二次函数图像与性质综合应用 【例5】已知二次函数． 当时，函数的最大值为，则 ； 点，在函数图象上，若，时，总有则的取值范围是 ． 【答案】解： ． 抛物线上两点，， 对于，都有， 点，不关于对称轴对称， ． 或． ，， ． 又或， 或，或．  ◎角度(三)　 二次函数与一次函数交汇 【例6】已知：抛物线与轴交于点、点在轴正半轴，且， 此抛物线的顶点坐标为 ； 若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度 随的增大而增大，则的取值范围是      ． 解：； 点为抛物线上一动点，， 轴，交一次函数的图象于点， ， 当时，的长度随的增大而增大， ， ，当时，的值随的增大而增大， ，， ◎角度(四)　 二次函数与几何图形交汇 【例7】如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，在对称轴上找一点Q，连接，． (1)当的周长最小时，点Q的坐标是 ； (2)设点P是抛物线上点，之间的一点，当点P到线段的距离最大时， P点的横坐标是 【答案】(1) (2) ※课后练习 1．某产品进货单价为元，按元一件出售时，每天能售出 件若每件每涨价元，每天的销售量就减少件，则销售该产品每天能获得的最大利润为(    C   ) A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 2．已知点，在抛物线上．若，，则下列关系正确的是(    C   ) A． B． C． D． 3．如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方 的处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为下列判断正确的是(    D   ) A． 球运行的最大高度是 B． 球不会过球网 C． 球会过球网且不会出界 D． 球会过球网且会出界 4．如图，在中，，正方形的边长为，且边在线段上，点，，在同一条直线上，将正方形沿射线方向平移，当点与点重合时停止运动，设点平移的距离为，平移过程中两图重叠部分的面积为，则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是(   A   ) A． B． C． D． 5．已知点在直线上， 在抛物线上，若且，则的取值范围是(   A   ) A． B． C． D． 6．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式是，飞机着陆后滑行   才能停下来． 7．已知抛物线的顶点在直线上，且该抛物线与轴的交点的纵坐标为，则的最大值为          ． 8．已知抛物线上有且只有三个点到轴的距离等于，点在抛物线上，且点到轴的距离小于             ． 的取值范围是          ． 9．已知抛物线． 若，有最大值为，则的值为 ； 已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】  或 ，  或  10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． 填空：该抛物线的函数解析式为 ； 若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求 的最大值． 在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请直接写出点的坐 标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．  (2)∵A（0，－2），B（4，0），∴直线AB的解析式为， 设， 则， ∴ ． ∵，∴当时，有最大值，最大值为．  (3)点M的坐标为（1，6）或（1，－4）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：二次函数的应用 考点一 二次函数的实际应用 ◎角度(一)　抛物线模型问题 【例1】如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少(      )米． A． B． C． D． ◎角度(二)　几何图形的面积问题 【例2】为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤岸堤足够长为一边，用总长为 的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则矩形区域的最大面积为 ◎角度(三)　经济活动中的利润问题 【例3】某公司销售一种成本为元件的产品，若销售价格不高于元件，则一个月可售出万件；销售价格在元件的基础上每上涨元件，月销售量就减少万件．其中销售价格不低于成本．设销售价格为元件，月销售量为万件． 直接写出与之间的函数解析式和自变量的取值范围； 当售价是多少元件时，月销售最大利润是多少万元？ 为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向山区捐款元．已知该公司捐款当月的销售价格不高于元件，月销售最大利润是万元，求的值． 考点二 二次函数的综合应用 ◎角度(一)　动点轨迹的函数图像判定 【例4】如图，正方形的边长为，点，点同时从点 出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间 之间函数关系的大致图象是(      ) A． B． C． D． ◎角度(二)　 二次函数图像与性质综合应用 【例5】已知二次函数． 当时，函数的最大值为，则 ； 点，在函数图象上，若，时，总有则的取值范围是 ． ◎角度(三)　 二次函数与一次函数交汇 【例6】已知：抛物线与轴交于点、点在轴正半轴，且， 此抛物线的顶点坐标为 ； 若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度 随的增大而增大，则的取值范围是      ． ◎角度(四)　 二次函数与几何图形交汇 【例7】如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，在对称轴上找一点Q，连接，． (1)当的周长最小时，点Q的坐标是 ； (2)设点P是抛物线上点，之间的一点，当点P到线段的距离最大时， P点的横坐标是 ※课后练习 1．某产品进货单价为元，按元一件出售时，每天能售出 件若每件每涨价元，每天的销售量就减少件，则销售该产品每天能获得的最大利润为(      ) A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 2．已知点，在抛物线上．若，，则下列关系正确的是(      ) A． B． C． D． 3．如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方 的处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为下列判断正确的是(      ) A． 球运行的最大高度是 B． 球不会过球网 C． 球会过球网且不会出界 D． 球会过球网且会出界 4．如图，在中，，正方形的边长为，且边在线段上，点，，在同一条直线上，将正方形沿射线方向平移，当点与点重合时停止运动，设点平移的距离为，平移过程中两图重叠部分的面积为，则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是(      ) A． B． C． D． 5．已知点在直线上， 在抛物线上，若且，则的取值范围是(      ) A． B． C． D． 6．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式是，飞机着陆后滑行   才能停下来． 7．已知抛物线的顶点在直线上，且该抛物线与轴的交点的纵坐标为，则的最大值为          ． 8．已知抛物线上有且只有三个点到轴的距离等于，点在抛物线上，且点到轴的距离小于            ； 的取值范围是          ． 9．已知抛物线． 若，有最大值为，则的值为 ； 已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． 填空：该抛物线的函数解析式为 ； 若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求 的最大值． 在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请直接写出点的坐 标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $专题：二次函数的应用 考点一二次函数的实际应用 ©角度（一）抛物线模型问题 【例1】如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛 物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的 水平距离为1.6米，灯柱AB为1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下 方，则茶几到灯柱的距离AE为多少( )米. A.3.2 B.0.32 C.2.5 2.5m 1.5 D.1.6 ©角度（二）几何图形的面积问题 【例2】为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足 够长)为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示 的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则 矩形区域ABCD的最大面积为 m2. D 岸 区域① 区域 H G ③ 区域② A E B ○角度（三）经济活动中的利润问题 【例3】某公司销售一种成本为40元/件的产品，若销售价格不 高于50元/件，则一个月可售出5万件：销售价格在50元/件的 基础上每上涨1元/件，月销售量就减少0.1万件.其中销售价格 不低于成本.设销售价格为x元/件，月销售量为y万件. (1)直接写出y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围： (2)当售价是多少元/件时，月销售最大利润是多少万元？ (3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件 产品便向山区捐款α元.已知该公司捐款当月的销售价格不高于 70元/件，月销售最大利润是78万元，求α的值. 考点二二次函数的综合应用 ○角度（一）动点轨迹的函数图像判定 【例4】如图，正方形ABCD的边长为2m,点P,点Q同时从点 A出发，速度均2cm/s,点P沿A-D-C向点C运动，点Q沿 A一B一C向点C运动，则△APQ的面积S(cm2)与运动时间 t(s)之间函数关系的大致图象是( B S(cm S(cm2 2 A B. 2't(s) 21 S(cm3 c☑ D 26) ◎角度（二）二次函数图像与性质综合应用 【例5】己知二次函数y=ax2-2ax-2(a>0). (1)当-2≤x≤2时，函数y的最大值为14，则a= (2)点M(x1,y),N(x2,y2)在函数图象上，若t<x1<t+1, t+2<x<t+3时，总有y≠y2.则t的取值范围是 ©角度（三）二次函数与一次函数交汇 【例6】已知：抛物线y=x2一2ax与x轴交于点A、B(点B在x轴 正半轴)，且AB=4, (1)此抛物线的顶点坐标为 ； (2)若点P(m,n)为抛物线上一动点，作PQ1x轴，交一次函数 y=kx-4(k>0)的图象于点Q,当1<m<4时，PQ的长度 随m的增大而增大，则k的取值范围是 ©角度（四）二次函数与几何图形交汇 【例7】如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B,与 y轴交于点C,在对称轴上找一点Q,连接AQ,CQ. (1)当△ACQ的周长最小时，点Q的坐标是」 (2)设点P是抛物线上点B,C之间的一点，当点P到线段BC的 距离最大时，P点的横坐标是 ※课后练习 1.某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，每天能售出50 件，若每件每涨价1元，每天的销售量就减少10件，则销售该 产品每天能获得的最大利润为() A.50元 B.80元 C.90元 D.100元 2.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=-(x-4)2+m 上.若x1<4<x2,x1+x2>8,则下列关系正确的是( A.y1>y2>m B.y2>y>m C.m>y1>y2 D.m>y2>y1 3.如图，排球运动员站在点0处练习发球，球从点0正上方2m 的A处发出，其运行的高度y(m)与水平距离x(m)满足关系式 y=-0(-6)2+26.已知球网与点0的水平距离为9m,高 度为2.43m,球场的边界距点0的水平距离为18m.下列判断正 确的是( ↑y/m A.球运行的最大高度是2.43m B.球不会过球网 C.球会过球网且不会出界 球网边界 D.球会过球网且会出界 69 18x/m 4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4,正方形BDEF的边长 为2，且边BD在线段AB上，点F,B,C在同一条直线上，将正 方形BDEF沿射线FC方向平移，当点F与点C重合时停止运动， 设点F平移的距离为x,平移过程中两图重叠部分的面积为y, 则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( A B 0123456 0123456x C D 17 0123456x 01234569 5.已知点A(x1,y1)在直线y=3x+19上，B(x2,y2),Cx3,y3) 在抛物线y=x2+4x-1上，若y1=y2=y3且x1<x2<x3: 则x1十x2十x3的取值范围是( ) A.-12<+x2+x3<-9 B.-8<为+x2+x3<-6 C.-9<x+x2+x3<0 D.-6<x1+x2+x3<1 6.飞机着陆后滑行的距离s()关于滑行的时间t(s)的函数解析 式是s=60t-1.5t2,飞机着陆后滑行m才能停下来. 7.己知抛物线y=-x2+bx-c的顶点在直线y=2x+1上， 且该抛物线与y轴的交点的纵坐标为n,则n的最大值为 8.己知抛物线y=x2-2x-3上有且只有三个点到x轴的距离 等于p,点A(m,n)在抛物线上，且点A到y轴的距离小于2. (1)p= (2)n的取值范围是」 9.己知抛物线y=ax2-3ax+1. (1)若-1≤x≤3，y有最大值为3，则a的值为 (2)已知点P(0,2)、Q(a+2,1),若线段PQ与抛物线只有一 个公共点，则a的取值范围是 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴交于B(4,0),C(-2,0)两点，与y轴交于点A(0,-2). (①)填空：该抛物线的函数解析式为 (2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行 线交AB于点K,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PK+ PD的最大值. (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△MAB是以AB 为一条直角边的直角三角形；若存在，请直接写出点M的坐 标，若不存在，请说明理由，