精品解析：辽宁省盘锦市双台子区第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

双区一中2025—2026第一学期九年级期初反馈测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（ ） A. 击剑 B. 田径 C. 马术 D. 赛艇 2. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个黄球，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕顶点逆时针旋转至，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 6. 若正六边形的边长为，则下列说法中正确的是（ ） A. 中心角是 B. 半径为 C. 边心距为 D. 面积为 7. 如图，在半径为2的中，半径垂直弦，为上的点，，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 3 8. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点内 D. 无法确定 9. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 10. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．下列说法错误的是（ ） A. S与x的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 不论a为何值，S的最大值均为1250 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 _______________． 12. 如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 13. 如图，是弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则_________________． 14. 抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②；③；④方程的根为；正确的有______(填序号) 15. 如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕点逆时针旋转后的，并求出点旋转到的轨迹的长； （3）在轴上存在一点，使的值最小，则点的坐标为__________． 18. 国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为____； （2）补全图1条形统计图； （3）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技人数共多少人？ （4）该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 19. 银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 20. 如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，使得，过点A作垂直于交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？ 22. 如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． （1）如图2，当，且点D在线段上时，证明：； （2）如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； （3）当，，时，画出图形并求出长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的对称轴是直线，且经过点，点和点在该抛物线上，横坐标分别为和． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，，若时，，求点坐标． （3）若点，点分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，求的取值范围． （4）将此抛物线上两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当图象的最大值和最小值之差为5时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双区一中2025—2026第一学期九年级期初反馈测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（ ） A. 击剑 B. 田径 C. 马术 D. 赛艇 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可得到答案，熟练掌握中心对称图形的概念并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ； 故选：B． 2. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个黄球，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有3个白球和2个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为． 故选：A． 3. 已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或， ∴， 则的值为． 故选：D． 4. 如图，将绕顶点逆时针旋转至，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理； 根据旋转的性质可得，，求出，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由旋转得：，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 6. 若正六边形的边长为，则下列说法中正确的是（ ） A. 中心角是 B. 半径为 C. 边心距为 D. 面积为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是解题的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系分别计算出，，以及正六边形的面积即可． 【详解】解：连接、，过点作，垂足为， 中心角，因此选项A不符合题意； ，， 是正三角形， ，， 因此半径，选项B符合题意； 在中，，， ，即边心距为，因此选项C不符合题意； ， 因此选项D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在半径为2的中，半径垂直弦，为上的点，，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 由垂径定理知，，利用圆周角定理得出，最后根据进行求解． 【详解】解：如图，设交点， ∵半径垂直弦，， ∴由垂径定理知，，， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， 故选：C． 8. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 详解】解：由题意，得， 解得， ∴，则点在外， 故选：． 9. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】D 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 10. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．下列说法错误的是（ ） A. S与x的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 不论a为何值，S的最大值均为1250 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，根据“矩形的面积=长×宽”即可得出S与x的关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设，则，故选项A正确，不符合题意； （2）设，则， 根据题意得， 解得， 当时，符合题意； 当时，不符合题意；， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴S有最大值，即当时，S的最大值为1250，故C正确，不符合题意； 当时，则，S随x的增大而增大， 当时，S的最大值为； 当时，S的最大值为1250． 综上所述，当a在0和50之间的时候，矩形菜园面积的最大值为1250平方米，故选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 _______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，对原抛物线进行向右平移个单位和向上平移个单位的操作，从而得到新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移个单位， 根据“左加右减”原则，变为，得到； 再向上平移个单位， 根据“上加下减”原则，在式子后面加，得到． 故答案为： 12. 如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 13. 如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②；③；④方程的根为；正确的有______(填序号) 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据图象得出二次函数的性质，再推断即可． 【详解】解：①开口向下，故a<0，与y轴交点在原点上方，故c>0， ∴ac<0，故①错误． ②由图可知，抛物线的对称轴是直线， ∴，故②正确． ③∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∴，故③错误． ④∵抛物线的对称轴是直线x=1，且图象经过点， ∴根据对称性图象经过点． ∴方程的根为，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 15. 如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕点逆时针旋转后的，并求出点旋转到的轨迹的长； （3）在轴上存在一点，使的值最小，则点的坐标为__________． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换和中心对称，轴对称最短问题，弧长公式，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可； （）分别作出三顶点绕点逆时针旋转的点，然后顺次连接，再利用弧长公式即可求解； （）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，然后求出直线解析式即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 由题意得，， ∴点旋转到的轨迹的长为； 【小问3详解】 解：如图，作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 18. 国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为____； （2）补全图1条形统计图； （3）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？ （4）该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3）828人 （4） 【解析】 【分析】（1）由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数，再由乘以“关注”的人数所占的百分比； （2）求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校共有人数乘以该校“关注”，“比较关注”，“非常关注”航天科技的人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50，． 【小问2详解】 解：“非常关注”的人数为：（人），补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：由题意可得：（人）， 答：估计该校“关注”，“比较关注”，“非常关注”航天科技的人数共828人． 小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果为2种， 所以恰好抽到A、B两位同学的概率为． 【点睛】本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识，正确画出树状图是解决问题的问题． 19. 银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价m元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m的一元二次方程求解，根据“尽可能让顾客得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价m元， 由题意得， 整理得， 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌头盔每个应涨价5元． 20. 如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，使得，过点A作垂直于交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）长为6 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，因为，所以，由是的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）由，证明与相切于点A，而于相切于点C，则，然后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接． ， ． 又， ． 是的直径， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：是的半径，， 是的切线， 又也是的切线， ． 设， 在中，， 即，解得， 所以长为6． 【点睛】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 21. 湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？ 【答案】（1）； （2）C处距桥墩的距离至少为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，审清题意、掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，然后用代入消元法即可解答； （2）令可得，然后解二元一次方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米， ∴抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：，解得． ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：在中，令可得： ， 解得：（舍去）或， ∴C处距桥墩的距离至少为米． 22. 如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． （1）如图2，当，且点D在线段上时，证明：； （2）如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； （3）当，，时，画出图形并求出的长． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3）见解析，或 【解析】 【分析】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）将线段绕点A逆时针旋转得到线段，根据题意证明，即可得到结论； （2）证明，根据勾股定理即可得到结论； （3）由勾股定理求出，分当D在线段上时和当D在延长线上时两种情况进行分类讨论． 【小问1详解】 证明：，理由如下：如图： 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ． 在与中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：线段、、之间的数量关系为， 证明如下：如图： ，， ， 同（1）可证， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵，， ， ①当D在线段上时，如图： ， ， 由（2）知， ， ②当D在延长线上时，如图： ， ， ． 综上所述，DE的长度为或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的对称轴是直线，且经过点，点和点在该抛物线上，横坐标分别为和． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，，若时，，求点坐标． （3）若点，点分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，求的取值范围． （4）将此抛物线上两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当图象的最大值和最小值之差为5时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线（是常数）的对称轴是直线，且经过点，得出，再解得的值，即可作答． （2）因为抛物线的解析式为，点和点在该抛物线上，横坐标分别为和．则，，结合，，得出，再解得，即可作答． （3）结合，对称轴是直线，得开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，因为点，点分别在抛物线对称轴两侧的图象上且，得，解得，因为，故； （4）因为抛物线的对称轴是直线，且经过点，得点A关于对称轴直线对称的点为，因为开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，得，结合图象的最大值和最小值之差为5，，进行分类讨论，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线（是常数）的对称轴是直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为； ∵点和点在该抛物线上，横坐标分别为和． ∴，， 即， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 则， 解得， 故， ∴点坐标为； 【小问3详解】 解：∵，对称轴是直线， ∴开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵点，点分别在抛物线对称轴两侧图象上， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问4详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴点A关于对称轴直线对称的点为 ∵，对称轴是直线， ∴开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵点在该抛物线上，横坐标为． ∴ ∵将此抛物线上两点之间的部分（包括、两点）记为图象，图象的最大值和最小值之差为5， ∴当时，则 ∴ ∴， 解得（舍去） ∴当时，则 ∴ ∴ 此方程无解； 把代入，得 即顶点坐标为 ∴当时，则 ∴ ∴ 解得（舍去） 综上：满足题意的的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $