第一章 集合与常用逻辑用语（单元测试·培优卷）数学人教A版2019必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元测验卷 第1章 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设命题：，，则：（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 3．已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 5．若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 6．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 8．已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 10．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 11．已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 13．已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合 ， ． 14．定义集合的“长度”是，其中a，R.已知集合，，且M，N都是集合的子集，若集合的“长度”大于，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． (1)若为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 16．（15分）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 17．（15分）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（17分）已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 19．（17分）设为正整数，集合. 对于集合中的任意元素和，记. (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，若，，求的最大值； (3)给定不小于2的，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有. 求集合中元素个数的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元测验卷 第1章 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设命题：，，则：（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 3．已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 5．若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 6．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 8．已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 10．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 11．已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 13．已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合 ， ． 14．定义集合的“长度”是，其中a，R.已知集合，，且M，N都是集合的子集，若集合的“长度”大于，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． (1)若为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 16．（15分）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 17．（15分）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（17分）已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 19．（17分）设为正整数，集合. 对于集合中的任意元素和，记. (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，若，，求的最大值； (3)给定不小于2的，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有. 求集合中元素个数的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元测验卷 第1章 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设命题：，，则：（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由全称量词命题的否定为特称量词命题得到. 【详解】因命题：，，所以：，. 故选：A. 2．已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 3．已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】通过集合间的子集关系，借助数轴分析可得命题中，再由简易逻辑知识得到命题的等价性. 【详解】当命题为真时，由，得， 当命题为真时，，因此. 故选：C 4．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 5．若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 6．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 7．已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【分析】根据可得，可得，再根据可得，分和两种情况来讨论即可得解. 【详解】由得，所以， ，所以， （1）若，由，所以， 所以，， 所以，即， 从而， 所以，所以， 即或，与矛盾； （2）若， 则，从而， 所以，即， 从而， 所以，， 所以或，又， 所以，， 又， 所以， 由代入可得： ，所以或（舍）， 所以， 故选：A 8．已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得至少有 个元素，至多有个元素，由，由补集的定义即可求解. 【详解】集合中有10个元素，中有6个元素，因为， 至少有 个元素，至多有个元素， 所以至多有个元素，至少有个 元素， 集合有个元素，则且为正整数. 即的取值范围是， 故选：. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【分析】对于A，解方程求解集即可；对于B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C，化简，得在，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于D，结合6的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误； 对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确； 对于C，由于，且在，，中， 当时，，当时，，当时，， 三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误， 故选：BC． 10．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 11．已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 【答案】BCD 【分析】利用定义易判断A，利用定义计算可判断BC；设奇数，利用构造法证明即可判断D. 【详解】对于A，因为均只有一个元素，即元素之和为1，2，3，4， 互不相等，故A错误； 对于B，若为奇数，那么2k能被4整除，因为能被4整除， 所以2k必须能被4整除，因此为偶数，故B正确； 对于C，若为偶数，那么能被整除，于是必然是整数， 这与为偶数矛盾，所以不为“可分集”，故C正确； 对于D，对于显然成立，不妨设奇数，下面给出一种构造： 由于，则前组为 ， ， 后组为 ，因此对于任意的奇数均为“可分集”，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，根据是成立的充分不必要条件求出集合与的关系，列不等式组求解. 【详解】设，， 是成立的充分不必要条件， 真包含，则或， 解得，的取值范围是． 故答案为：. 13．已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合 ， ． 【答案】 【分析】解法一：分析出，，，且，再讨论剩余元素11和13，得到，且，，且．得到答案； 解法二：利用韦恩图进行求解. 【详解】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， 14．定义集合的“长度”是，其中a，R.已知集合，，且M，N都是集合的子集，若集合的“长度”大于，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据区间长度定义得到关于的范围，再根据并集的区间长度大于，分类讨论得到关于的不等式，解出即可. 【详解】因为都是集合的子集， 所以，解得， 又，可知集合M的“长度”为，， 要使集合的“长度”大于， 若，则，所以， 又，所以； 若，则，所以， 又，所以； 则的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． (1)若为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意为真命题，则有即可求解； （2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意有：为假命题，所以为真命题， 又由方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以实数m的取值范围为；（6分） （2）由（1）有为真命题，则， 因为p，q中一真一假， 所以当真，假时，有， 当假，真时，有， 综上所述，， 所以实数m的取值范围为.（13分） 16．（15分）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故（4分） （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．（9分） （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或（15分） 17．（15分）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入算出，根据并集概念计算即可； （2）根据交集概念，结合空集条件，由此列不等式来求得取值范围. （3）根据充分不必要条件转化为集合与集合的关系，由此列不等式来求得取值范围. 【详解】（1）当时，由得，， （4分） （2），. 又.实数的取值范围.（9分） （3）“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， ，. . 实数的取值范围是.（15分） 18．（17分）已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系证明即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式集合元素个数的范围，最后求出最大值即可． 【详解】（1）由题意得，；（3分） （2）∵，，且， ∴集合也有四个元素，且都为非负数，∵， 又∵，∴且， ∴集合中其他元素为，，， 即， 剩下的， ∵， ∴，， 即，故；（10分） （3）设表示集合A中的元素个数， 设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ∴， ， 实际当满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为.（17分） 19．（17分）设为正整数，集合. 对于集合中的任意元素和，记. (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，若，，求的最大值； (3)给定不小于2的，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有. 求集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题中定义可求得和的值； （2）设，，对、的取值进行分类讨论，可得出的值为0或，分析可知和中共有8个，8个0，设中有个，中有个，于是得出，然后对、的取值进行分类讨论，由此可得出的最大值； （3）记表示中的最小值，由（2）中的结论得出，根据，可得出，于是得出，设，设，，，对、与关系进行讨论，进行逻辑推理，由此可证得结论成立. 【详解】（1）， .（3分） （2）设，，其中. 当时，. 当或时，. 当时，. 所以的值为0或.   因为，， 所以和中共有8个，8个0. 设中有个，中有个， 其中为不大于8的非负整数，且. 当或时，. 当或时，. 当或时，. 当或时，. 当时，（当时等号成立）    所以的最大值为.（10分） （3）记表示中的最小值， 由（2）知的值为0或，则 . 因为，所以. 又因为，所以，       所以. 设， ， ， ， ， 则，且两两交集为. 设，，. 当时，则 ， 所以，不符合题意. 同理，当时，，不符合题意.       当时，，不符合题意.              当时，，不符合题意. 所以中的任意两个元素不可能同时在集合中， 所以集合中元素个数不超过.       取，且， 令，则集合元素个数为，符合题意. 综上，集合中元素个数的最大值为.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元测验卷 第1章 集合与常用逻辑用语 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C C C B A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意有：为假命题，所以为真命题， 又由方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以实数m的取值范围为；（6分） （2）由（1）有为真命题，则， 因为p，q中一真一假， 所以当真，假时，有， 当假，真时，有， 综上所述，， 所以实数m的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故（4分） （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．（9分） （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或（15分） 17．（15分） 【详解】（1）当时，由得，， （4分） （2），. 又.实数的取值范围.（9分） （3）“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， ，. . 实数的取值范围是.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意得，；（3分） （2）∵，，且， ∴集合也有四个元素，且都为非负数，∵， 又∵，∴且， ∴集合中其他元素为，，， 即， 剩下的， ∵， ∴，， 即，故；（10分） （3）设表示集合A中的元素个数， 设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ∴， ， 实际当满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）， .（3分） （2）设，，其中. 当时，. 当或时，. 当时，. 所以的值为0或.   因为，， 所以和中共有8个，8个0. 设中有个，中有个， 其中为不大于8的非负整数，且. 当或时，. 当或时，. 当或时，. 当或时，. 当时，（当时等号成立）    所以的最大值为.（10分） （3）记表示中的最小值， 由（2）知的值为0或，则 . 因为，所以. 又因为，所以，       所以. 设， ， ， ， ， 则，且两两交集为. 设，，. 当时，则 ， 所以，不符合题意. 同理，当时，，不符合题意.       当时，，不符合题意.              当时，，不符合题意. 所以中的任意两个元素不可能同时在集合中， 所以集合中元素个数不超过.       取，且， 令，则集合元素个数为，符合题意. 综上，集合中元素个数的最大值为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $