专题01 因式分解6考点（期中真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期湘教版2024

专题01 因式分解 6大高频考点概览 考点01 多项式的因式分解 考点02 提公因式法 考点03 公式法 考点04 因式分解在有理数简算中的应用 考点05 十字相乘法 考点06 分组分解法 地 城 考点01 多项式的因式分解 1．(23-24七下·湖南株洲攸县片区·期中)的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是提公因式的方法，掌握公因式的确定方法成为解题的关键． 确定公因式的方法“找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数”据此即可解答. 【详解】解： 每一项的公共因式为：． 故选：D． 2．(23-24七上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知其定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式即可． 【详解】解：A：选项左边是二项式的平方，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B：选项右边为，仍为多项式与常数的差，未形成积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； C：选项左边为，右边分解为，验证乘积展开后等于左边，符合因式分解的定义，故该选项符合题意； D：选项左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．(23-24七下·湖南娄底第一中学·期中)下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的定义，正确掌握因式分解的定义及平方差公式是解题的关键． 将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义判断即可． 【详解】解：A、等号右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； C、，不符合题意； D、符合将多项式分解成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意． 故选：D． 4．(23-24七下·湖南永州蓝山县·期中)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分解因式的定义．正确把握分解因式的定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A．，是整式式的乘法运算，故此选项不符合题意； B．，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； C．，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； D．，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．(23-24七下·湖南株洲攸县片区·期中)下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是解题的关键．因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，据此逐项作出判断即可． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合题意； B. ，是因式分解，符合题意； C. ，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； D. ，原分解错误，不符合题意； 故选：B． 6．(23-24七下·湖南永州新田县·期中)下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：A、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； B、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； C、，属于因式分解，符合题意； D、，分解不完全，不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 7．(23-24七下·湖南岳阳六校联考·期中)与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是提公因式，解题关键是熟练掌握提公因式法．对和进行因式分解，完全找到公共因式后即可得到答案． 【详解】解：， ， 与的公因式是． 故答案为：． 8．(23-24七下·湖南怀化沅陵县思源实验学校·期中)已知因式分解的结果为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．将展开，然后利用待定系数法即可求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 故答案为：． 9．(23-24七下·湖南永州柳子中学·期中)已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，设多项式的一个因式为，则，再根据多项式乘多项式法则展开合并，即可作答． 【详解】解：设多项式的一个因式为， ∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴ 则 ∴ 则 故答案为：． 10．(23-24七下·湖南岳阳弘毅新华中学·期中)若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 地 城 考点02 提公因式法 1．(23-24七上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 2．(23-24七下·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校·期中)已知，，则代数式的值为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法，代数式求值，利用提取公因式法，分解因式，将已知条件代入求值． 【详解】解：，， ， 故选：C． 3．(23-24七下·湖南怀化溆浦城区·期中)如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为12，面积为8，则的值为(　　) A．24 B．48 C．64 D．96 【答案】B 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，直接利用矩形周长和面积公式得出，，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．正确分解因式是解题关键． 【详解】∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6， ∴，， 则， 故 ． 故选：B． 4．(23-24七下·湖南怀化通道县·期中)若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（    ） A．14 B．16 C．20 D．30 【答案】D 【分析】本题考查整式的运用．根据题意可得，进而代入进行运算即可求值． 【详解】解：长和宽分别为的长方形的周长为10，面积为6， ． 故选：D． 5．(23-24七下·湖南永州柳子中学·期中)若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的值与提公因式，由，得，然后整体代入即可求解，熟练掌握利用整体代入进行求解代数式的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题 6．(23-24七下·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校·期中)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确找出公因式． 【详解】解：， 故答案为：． 7．(23-24九下·湖南永州道县·期中)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，直接利用提公因式法求解即可．掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 8．(23-24七下·湖南株洲天元区白鹤学校·期中)整式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用提取公因式法即可解决问题． 【详解】解：原式， 故答案为：． 9．(23-24七下·湖南怀化沅陵县思源实验学校·期中)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握用提取公因式法分解因式． 对原式变形，提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为： 10．(24-25九下·湖南长沙明德教育集团·期中)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，提公因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．(23-24七下·湖南株洲攸县片区·期中)若，则 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解答的关键是掌握因式分解常见方法． 利用因式分解得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：， 将代入得，原式． 故答案为：． 12．(23-24七下·湖南岳阳弘毅新华中学·期中)若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，首先把化为，然后把，代入，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：，， 故答案为： ． 13．(23-24八上·湖南衡阳八中教育集团·期中)已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查用整体代入求代数式的值．将因式分解，再将已知代入即可． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 14．(23-24七下·湖南张家界永定区·期中)把下列各式分解因式： (1)； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法因式分解； （1）直接提取公因式进行因式分解； （2）先变形，再提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）； （2）． 地 城 考点03 公式法 1．(23-24七下·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校·期中)下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的平方差公式，根据平方差公式的结构特点逐个分析得结论． 【详解】解：A、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意； B、，可以用平方差公式进行因式分解，符合题意； C、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，用完全平方公式因式分解，不符合题意； 故选：B 2．(23-24七上·湖南湘乡东台中学·期中)下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用完全平方公式因式分解， 有三项，且符合公式即可． 本题考查了因式分解，熟练运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：A.，是先提取公因式，后用完全平方公式， 故本选项正确． B.，是先提取公因式，后用完全平方公式， 故本选项正确． C.，是完全平方公式分解．故本选项正确． D.无法用公式因式分解．故本选项错误． 故选：ABC． 3．(24-25七下·湖南株洲石峰区株洲田心中学·期中)下列选项中的式子能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，，据此判断求解即可． 【详解】解：A、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； B、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； C、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； D、能用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 4．(24-25九下·湖南衡阳八中教育集团·期中)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式进行分解因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．(24-25八上·湖南衡阳耒阳·期中)因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，先根据整式的乘法展开，然后利用完全平方公式进行分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 6．(24-25七下·湖南郴州宜章县两校联考·期中)已知：，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，因式分解的应用，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 7．(24-25七·湖南郴州部分学校·期中)若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解的应用，由得，然后把的左边因式分解即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：3． 8．(24-25八上·湖南衡阳蒸湘区联合考试·期中)已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，代数式求值，由，通过配方得，再根据非负数的性质求出的值，然后代入求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．(23-24七下·湖南娄底第一中学·期中)因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2） ． 10．(23-24七上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）首先利用平方差公式分解，然后提公因式2即可． 【详解】（1） ； （2） ． 11．(23-24七下·湖南岳阳第七中学·期中)在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________； (2)请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”）． 【答案】(1) (2) (3)，小． 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式，最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）结合材料，用换元法进行分解因式； （3）利用还原法把原式变形分解，由即可得解． 【详解】（1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 12．(24-25八上·湖南衡阳蒸湘区联合考试·期中)我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． (1)图可以解释的代数恒等式是______； (2)现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试在下面的虚线方框中画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为，并利用你所画的图形面积对进行因式分解． 【答案】(1) (2)，画图见解析 【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形的应用，因式分解，主要考查学生的画图能力，计算能力． （1）看图即可得出所求的式子； （2）通过画图能更好的理解题意，从而得出结果．由于构成的是长方形，它的面积等于所给图片的面积之和，从而画出图形，进一步进行因式分解． 【详解】（1）图可以解释的代数恒等式是：； （2）根据题意，可以画出相应的图形，如图所示 ， 因式分解为：． 13．(24-25七上·湖南永州冷水滩区李达中学·期中)【阅读材料】：如图（1），有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型是边长为m的正方形，B型是长为m、宽为n的长方形，C型是边长为n的正方形．由图（2）中四块纸板拼成的正方形的面积关系可以说明成立． 【解决问题】：如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形． ①A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________平方厘米； ②从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________厘米； ③从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【答案】①；②；③拿掉2块类型的纸板，大正方形面积为： 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用： ①由于1块型的面积为，1块型的面积为，1块型的面积为所以型2块，型4块，型4块的总面积为； ②把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； ③把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长与面积，所以从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板满足要求，据此求出正方形边长，进而求出其面积即可． 【详解】解：①1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为， ∴型2块，型4块，型4块的总面积为； 故答案为： ②从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下纸板的总面积为， ∵剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，且 ∴此正方形的边长为； 故答案为：； ③从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为， ∴大正方形面积为：． 地 城 考点04 因式分解在有理数简算中的应用 1．(23-24八上·湖南衡阳第三中学·期中)计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式及因式分解的应用，解题的关键是先利用平方差公式将原式进行因式分解，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．(22-23七下·湖南永州道县·期中)利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 地 城 考点05 十字相乘法 1．(23-24七下·湖南永州新田县·期中)已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解与多项式相乘的关系，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故选：A． 二、填空题 2．(23-24七下·湖南岳阳岳阳县·期中)在对多项式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 【答案】 6 9 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 分别根据甲乙因式分解的结果确定出与的值，即可作答． 【详解】解：依题意，由甲的结果得：， 由乙的结果得：， 可得，， 故答案为：． 三、解答题 3．(22-23七下·湖南沅陵县思源实验学校·期中)提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． （1）把拆成即可；把拆成即可；把拆成即可； （2）把拆成，把拆成即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．(23-24七下·湖南岳阳岳阳县·期中)如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 地 城 考点06 分组分解法 1．(20-21七下·湖南常德汉寿县·期中)分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y． 【答案】（x﹣y）（3x+2y﹣1） 【分析】先对代数式进行分解，然后十字相乘进行因式分解，再提取公因式即可． 【详解】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y） ＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y） ＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键． 2．(23-24八上·湖南衡阳外国语学校·期中)阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)填空： 解：原式（ ） （ ）（ ） = ． (2)因式分解；． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，通过观察进行正确的分组是解题关键． （1）按照题目提示分组，分别提取公因式即可求解； （2）将原式按照“三一分组”：，即可利用公式法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 故答案为： （2）解：原式 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01因式分解 ☆6大高频烤点概览 考点01多项式的因式分解 考点02提公因式法 考点03公式法 考点04因式分解在有理数简算中的应用 考点05十字相乘法 考点06分组分解法 目目 考点01 多项式的因式分解 1.(23-24七下·湖南株洲攸县片区·期中)6yz+3xy2的公因式是() A.3x B.3xz C.3yz D.3xy 2.(23-24七上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的 是() A.(2x+1)2=4x2+4x+1 B.x2+3x-16=x(x+3)-16 C.x2+x-6=(x+3)(x-2) D.(x+1)(x-1)=x2-1 3.(23-24七下·湖南娄底第一中学期中)下列等式从左到右的变形是因式分解的是() A.x2-x+2=xx-1)+2 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.2+y2=(x+y2 D.x2+8x+16=(x+42 4.(23-24七下·湖南永州蓝山县·期中下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.m(x-y)=mx-my B.4a2-4b2=(2a+2b)(2a-2b) C.x2+3x+5=x(x+3)+5 D.(x+4)(x+1)=x2+5x+4 5.(23-24七下·湖南株洲攸县片区期中下列从左到右的变形，其中是因式分解的是() A.2(a+b)=2a+2b B.m2-1=(m+1)(m-1) C.x2-2x+1=x(x-2)+1 D.x2-2xy-x=x(x-2y) 6.(23-24七下·湖南永州新田县期中)下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（) A.-12x3y=-3x3.4y B.a(m+n)=am+an C.10x2-5x=5x(2x-1) D.a2+2a-1=a(a+2)-1 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(23-24七下湖南岳阳六校联考期中)18ab2(a-b)2与12b(a-b)的公因式是 8.(23-24七下·湖南怀化沅陵县思源实验学校期中)已知x2一4x+n因式分解的结果为(x+2)(x+m), 则n=一 9.(23-24七下·湖南永州柳子中学期中)已知多项式x2一x+m因式分解后有一个因式为x十2，则m的值 为一 10.(23-24七下·湖南岳阳弘毅新华中学·期中)若关于x,y的二元二次式 2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 目目 考点02 提公因式法 1.(23-24七上湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)分解因式b2(x-3)+b(x-3)的正确结果 是() A.(x-3)(b2+b) B.b(x-3)(b+1)C.(x-3)(b2-b)D. b(x-3)(b-1) 2.(23-24七下·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校·期中)己知ab=3,a+2b=5,则代数式 a2b十2ab2+ab的值为() A.12 B.15 C.18 D.21 3.(23-24七下·湖南怀化溆浦城区·期中)如图，矩形的长、宽分别为α、b,周长为12，面积为8，则 a2b+ab2的值为() A.24 B.48 C.64 D.96 4.(23-24七下湖南怀化通道县期中)若长和宽分别是a,b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab的 值为() A.14 B.16 C.20 D.30 5.(23-24七下·湖南永州柳子中学期中)若x2+x一3=0，则代数式x3+2x2-2x+2的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(23-24七下·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校·期中)因式分解：x2+2xy= 7.(23-24九下.湖南永州道县.期中)因式分解：4a-12ay= 8.(23-24七下·湖南株洲天元区白鹤学校期中整式2x2-8xy分解因式的结果是 9.(23-24七下·湖南怀化沅陵县思源实验学校期中)因式分解：a(b一c)-3(c一b)= 10.(24-25九下湖南长沙明德教育集团期中)因式分解：18a26+12ab2= 11.(23-24七下·湖南株洲攸县片区·期中)若xy=3x+y=-4,则x2y+y2= 12.(23-24七下·湖南岳阳弘毅新华中学期中)若ab=6,a-2b=一3，则a2b-2ab2的值为 13.(23-24八上·湖南衡阳八中教育集团期中)已知x-y=2,xy=-3,则x2y-xy2的值是 三、解答题 14.(23-24七下·湖南张家界永定区·期中)把下列各式分解因式： (1)24a26-18ab2 (2)m(a-3)+2m2(3-a), 目目 考点03 公式法 1.(23-24七下·湖南益阳赫山区箴言龙光桥学校期中)下列各式能用平方差公式进行因式分解的是() A.-x2-2y2 B.-x2+1 C.x2+1 D.x2+4x+4 2.(23-24七上·湖南湘乡东台中学期中)下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（) A.-x2+2xy-y2 B.x4-2x3y+x2y2C.a2b2-2ab+1 D. x2-Xy+12y2 3.(24-25七下·湖南株洲石峰区株洲田心中学期中)下列选项中的式子能用完全平方公式进行因式分解的是 () A.x2+1 B.x2+2x-1C.x2+x+1 D.x2-2x+1 4.(24-25九下湖南衡阳八中教有集团期中)因式分解：3ax2-3a=一， 5.(2425八上潮南衡阳耒阳期中)因式分解：(x+y)2-4xy=一· 6.(24-25七下.湖南郴州宜章县两校联考期中)已知：a2-b2=18,a+b=9,则a-b= 7.(24-25七湖南郴州部分学校期中)若2x+2y=4,2-y2=6,则x-y= 8.(24-25八上湖南衡阳蒸湘区联合考试期中)已知a2-2a+b2+6b+10=0,则ab的值为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(23-24七下·湖南娄底第一中学期中)因式分解： (1)8y2-2x2y; (2)3m2-6mn+3n2. 10.(23-24七上湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)因式分解： (1)4x2y-8xy+4y. (2)(x+2y)2-x2. 11.(23-24七下湖南岳阳第七中学期中在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字 母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何 进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(2-4x+7)+9进行因式分解的过程. 解：设x2-4x=y 原式=(y+1y+7)+9(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2(第四步) 请根据上述材料回答下列问题： ()老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： (2)请你用换元法对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解： (3)当x= 时，多项式(x2-2x)(2-2x+2)+2025存在最 值（填“大”或“小”）. 12.(24-25八上·湖南衡阳蒸湘区联合考试期中)我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来 解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=(a+b)2,实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对 某些二次三项式进行因式分解， a b ab a b2 3 b bab b a 图A 图B 图C (1)图B可以解释的代数恒等式是 (2)现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C),试在下面的虚线方框中画出一个用若干张1号卡片、2号卡 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使 该矩形的面积为a2+5ab+4b2,并利用你所画的图形面积对a2+5ab+4b2进行因式分解. ! 13.(24-25七上湖南永州冷水滩区李达中学.期中)【阅读材料】：如图(1)，有A型、B型、C型三种不 同的纸板，其中A型是边长为m的正方形，B型是长为m、宽为n的长方形，C型是边长为n的正方形.由 图(2)中四块纸板拼成的正方形的面积关系可以说明(m十n)2=m2+2mn+n2成立. B B (1) (2) 【解决问题】：如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为α厘米的正方形；B型：长 为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形. ①A型2块，B型4块，C型4块.此时纸板的总面积为 平方厘米； ②从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形.这 个大正方形的边长为 厘米： ③从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同 形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） a a A型纸片 B型纸片 C型纸片 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 因式分解在有理数简算中的应用 1.(23-24八上·湖南衡阳第三中学·期中)计算552-452=（) A.1000 B.100 C.1100 D.110 2.(22-23七下·湖南永州道县期中)利用因式分解计算： (1)20182-20172 (2)1022+102×196+982 目目 考点05 十字相乘法 1.(23-24七下湖南永州新田县期中)已知(x-3)(x+5)是x2+px+q因式分解的结果，则p、q的值为 () A.P=2,9=-15 B.P=-2,q=15C.P=8,9=-15D. P=-8,q=15 二、填空题 2.(23-24七下·湖南岳阳岳阳县期中)在对多项式x2+ax+b进行因式分解时，M同学看错了b,分解为 (x+2)(x+4);N同学看错了a,分解为(x-1)(x-9).(两人后面因式分解没有错误)，则 a=,b= 三、解答题 3.(22-23七下湖南沅陵县思源实验学校期中)提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设a,b为常数，由面积相等可得： x十ax+b)=x2+ax十bx十ab=x2+(a+b)x十ab,将该式从右到左使用，就可以对形如 x2+(a+bx+ab的多项式进行进行因式分解即x2+(a+b)x十ab=(x十ax+b).观察多项式 x2+(a+b)x十ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和. 解决问题：x2+5x+6=x2+(2+3x+2×3=(x+3x+2) 运用结论： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x ←x←b ax ab 2x (-5)X2x+3X2x=-4x bx (父叉相乘再相加等于一次项) 图1 图2 (1)基础运用：把多项式进行因式分解。 ①x2-5x-24;②x2+8x+12;③x2-X-12 (2)知识迁移：对于多项式4x2一4x一15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成图2中的两个 2x的积，再将常数项-15分解成-5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为-4x,就是 4x2-4x一15的一次项，所以有4x2-4x-15=(2x-5(2x+3).这种分解因式的方法叫做“十字相乘 法”.请用十字相乘法进行因式分解：3x2一19x一14 4.(23-24七下·湖南岳阳岳阳县·期中)如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的. px x pq pr 9 p 观察猜想：请根据此图填空：2+(p十q)x+Pq=2+Px十qx+Pq=(）×(） 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x()+q( (提示：提公因式)=()×()· 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解。 尝试运用：例题：把多项式x2+5x+6因式分解. x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3= x2+2x+3x+2×3=(x2+2x)+(3x+2×3)=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3) 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)x2+7x+12; (2)(y2+y)2-5(y2+y)+6. / 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 分组分解法 1.(20-21七下·湖南常德汉寿县·期中)分解因式：3x2-xy-2y2-x+y. 2.(23-24八上·湖南衡阳外国语学校期中)阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多 项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解. 例1：“两两分组”： ax+ay+bx+by 解：原式=(ax+ay)+(bx+by) =ax+y)+b(x+y) =(a+bx+y). 例2：“三一分组”： 2xy+x2-1+y2 解：原式=x2+2xy+y2-1 =(x+y)2-1 =(x+y+1x+y-1): 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅 读材料的启发下，解答下列问题： (1)填空：x2-xy+5x-5y 解：原式=(2-y)+(5x-_) =x(_)+5(_) (2)因式分解；x2-2x+1-y2.