重难点05 抽象函数及其应用9考点（期中真题汇编，广东专用）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

专题05 抽象函数及其应用 9大高频考点概览 考点01抽象函数的定义域和值域 考点02求抽象函数的值 考点03抽象函数的单调性 考点04抽象函数的奇偶性 考点05抽象函数的周期性 考点06抽象函数的对称性 考点07解抽象不等式 考点08抽象函数比较大小 考点09抽象函数的最值问题 地 城 考点01 抽象函数的定义域和值域 1．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】定义域是的范围，分清定义域是关键；或简化为括号内取值范围一样. 【详解】已知函数的定义域为， 所以对有， 所以， 故选：A. 2．（22-23高一上·广东东莞·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式的解集即为所求函数的定义域． 【解答】函数的定义域为，函数中，，解得， 函数的定义域为． 故选：D 3．（24-25高一上·广东·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数定义域的定义计算得出的取值范围，由于法则相同，取值范围相同，所以函数中和函数中范围一致，从而计算得出答案. 【详解】由函数的定义域为，得； ，函数中和函数中范围相同， ，解得，所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域求解方法，结合函数解析式，求解即可. 【详解】根据题意，，且，解得，故定义域为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B．函数与是同一函数 C．函数的单调递增区间是 D．已知的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【分析】求出函数的值域可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；根据复合函数的单调性可判断C；求出函数的定义域可判断D. 【详解】对于A，函数的的定义域为，且的单调递增函数， 所以，可得值域为，故A正确； 对于B，函数的定义域为， 由得，解得或，所以 的定义域为，两个函数的定义域不一样， 所以不是同一函数，故B错误； 对于C，由解得或，， 因为在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是，故C错误； 对于D，由，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：AD. 6．（24-25高一上·广东广州·期中）下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的值域为 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， D．已知，则函数 【答案】ABC 【分析】根据指数函数与二次函数性质求值域判断A，把为一个整体，求出的范围得的定义域判断B，由奇函数的定义求解析式判断C，用换元法求解析式判断D． 【详解】A选项，，∴，A正确； B选项，函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，B正确； C选项，时，，又是奇函数， 所以，C正确； D选项，设，则，， 所以，D错； 故选：ABC． 7．（22-23高一上·广东汕头·期中）函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据复合函数的定义域和值域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即，即函数的定义域. 因为函数的定义域为，值域为，又， 所以函数的值域为. 故选：C 地 城 考点02 求抽象函数的值 8．（21-22高一上·广东珠海·期中）已知函数满足，则等于（    ） A．－3 B．3 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】用代入原式中，再与原式联立求解出的解析式，将1代入计算即可. 【详解】解：由           ①， 用代入得    ②， 由②×2－①得，， 所以， 故选：A. 9．（24-25高一上·广东广州·期中）若，且，则 . 【答案】2018 【分析】令，得到，然后根据规律求解即可. 【详解】，且， ，. 故答案为：2018 10．（24-25高一上·广东汕头·期中）的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件得到，，当时，都有，，故，求出. 【详解】函数在上为非减函数，①；由③得， ，令，得， ， 又③，令，有， 令，有， ，，， ，， 又， ，， ，，， 当时，都有，， ， . 故选：C. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 11．（24-25高一上·广东·期中）定义在上的函数满足，且. (1)求； (2)证明：； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，令求解； （2）法一：由（1）知当时，，再根据时，判断时即可；法二：由，再排除不存在使即可； （3）令，方法，再结合（2）的结论，令，将问题转化为对任意，恒成立求解. 【详解】（1）解：由，令，得， 因为不恒为0，所以. （2）法一：由（1）知当时，； 又由题意，当时，； 而当时，，， 令，可得，所以. 综上所述，，. 法二：， 若存在使，则有，这与题设矛盾， 所以，. （3）在条件式中令，可得， 又由（2）知，，所以. 令，则对任意，，即恒成立. 记，，取时，有最大值1， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题第三问基本思路是先得到，再令，将问题转化为对任意，恒成立，令，求得其最大值而得解. 12．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. (1)求的值； (2)求函数在区间上的值域； (3)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合特殊值，进行合理赋值，即可求解； （2）根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，求得函数是上的减函数和奇函数，得到在上单调递减，进而求得函数的最值； （3）根据题意，求得，令，得到，转化为，令，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 令，可得，解得， 令，可得， 令，可得. （2）任取，且， 因为，即， 令，则，可得， 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数， 所以在上单调递减，所以， 又因为， 令，代入，可得， 所以，可得函数为奇函数， 所以， 所以，函数在区间上的值域为. （3）由（2）可知函数为奇函数， 可得，即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即， 令， 则函数的图象，如图所示， 结合图象，可得：当时，函数有4个零点， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：根据函数为奇函数可得，令，又由函数的单调性得到，转化为，令，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 地 城 考点03 抽象函数的单调性 13．（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 14．（24-25高一上·广东江门·期中）（多选）定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．函数在上是增函数 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，分别令和求解；对于B，由，利用赋值法求解；对于C，易得为偶函数，再利用函数单调性定义判断；对于D，由C函数在上是增函数，再由结合求解. 【详解】对于A，令，则，则 ， 令，则，则，A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，由于函数定义域为，取，则， 即为偶函数； 任取且，则， 因为，故，则，则， 故函数在上是减函数，C错误； 对于D，由C的分析可知函数在上是增函数， 故由结合可得，且， 解得，且，即的解集为，D正确 故选：ABD 15．（24-25高一上·广东广州·期中）已知定义在的函数满足，①对，，；②当时，；③. (1)判断并证明的单调性； (2)若，使得，对成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)详见解析； (2)或 (3)详见解析 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明； （2）由（1）得到的最小值为，将，使得成立，转化为，对成立求解； （3）令，得，即，再利用赋值法得到，然后将，转化为，利用是R上的减函数求解. 【详解】（1）解：任取，且， 则， 因为当时，， 所以， 所以是R上的减函数； （2）由（1）知：的最小值为， 因为，使得成立， 所以，对成立， ，对成立， 则，解得或； （3）令，得，即，则， 所以，， 因为，所以， 即，则， 因为是R上的减函数， 所以，即，即， 当时，，则或； 当时，则； 当时，，则或； 当时，则； 当时，则； 综上：当时，不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时， 不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 16．（24-25高一上·广东·期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. (1)证明：对任意实数，，； (2)求证：是上的增函数； (3)若命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据题目中的等式，利用特殊值研究新的等式，可得答案； （2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法，可得答案； （3）根据题目中的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）因为对任意实数，，， 所以，所以，在中， 令得，， 所以， 在中，用替换得，， 因为，所以， 所以，对任意实数，，成立. （2）任意取，，且，则，因为当时，，所以， 所以，即，所以是上的增函数. （3）命题，为假命题， 等价于，为真命题. 在中，令得，， 所以 由（2）的结论得，， 即， 令， 因为，成立，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 17．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． (1)求，； (2)判断并证明的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用赋值法即可求，的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明； （3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式. 【详解】（1）令，则，， 令，则， 又，； （2）任取，且， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 所以在上单调递增． （3）由， 即， 也就是， 即，因为在上是增函数， 所以， 可得不等式解集为或. 【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式. 地 城 考点04 抽象函数的奇偶性 18．（24-25高一上·广东·期中）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，. (1)求； (2)判断函数的奇偶性； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）利用赋值法求得， （2）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性． （3）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集． 【详解】（1）函数对任意的，，都有， 令，得，， （2）是奇函数，证明如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数． （3）任取，则 故， 由于，所以， 所以，即， 所以在上单调递增． 由可得， 由于在上单调递增， 所以，解得或， 所以不等式的解集是． 19．（24-25高一上·广东惠州·期中）若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数. (1)求证：（i）函数为奇函数； （ii）函数在定义域上单调递增； (2)若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 (2),； 【分析】（1）（i）通过赋值，利用奇函数定义易证；（ii）利用题设条件，结合函数的单调性定义即可证得； （2）先由函数和的奇偶性，列出方程组，即可求得和在上的解析式，再根据题设条件求出两函数在区间上的解析式. 【详解】（1）（i）对于，，令，可得， 再令，可得，即， 故函数为奇函数. （ii）任取，且，则，， 由 ， 可得， 故函数在定义域上单调递增. （2）因是定义在上的偶函数，则时，. 由时，①， 可得②， 由，可得，即得：； 由，可得，即得：； 因时，，则当时，， 由可得； 当时，，故. 综上，可知当时，都有. 又因时，，且在上的图象关于点对称， 则当时，，； 又是定义在上的偶函数， 故时，，. 综上，可知当时， 20．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可； （2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可. 21．（21-22高一上·广东汕头·期中）已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1)，； (2)是奇函数，证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法求解即可； （2）令可得，然后可判断. 【详解】（1）因为函数对一切实数都有成立，， 所以当时，即， 令可得，所以，即 （2）令可得，所以， 所以，即，， 所以函数是奇函数. 22．（23-24高一上·广东·期中）（多选）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或1 C．函数为非奇非偶函数 D．对任意实数满足 【答案】ACD 【分析】对于A，由函数单调性定义可判断正误； 对于B，令，可判断正误； 对于C，由A，B选项分析可判断正误； 对于D，利用做差法及可判断正误. 【详解】对于B，令，，得， 由题意知，所以，故B错误； 对于A，当时，，则， 又，则当时，，即对任意，. 取任意且，则，得， 则 即，所以是上的增函数，故A正确； 对于C，由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确； 对于D，注意到， 同理，则， 又，且，则 ，即， 故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点05 抽象函数的周期性 23．（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足，当时，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】推导出函数为周期函数，结合对数函数的单调性可得出，结合题中条件、对数恒等式以及指数的运算性质可求得结果. 【详解】因为定义在上的函数满足，则， 所以，， 所以，函数为周期，且为该函数的一个周期， 因为，则，， 所以， . 故答案为：. 24．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据对称性求出的周期，再利用奇函数的性质以及周期性即可求得. 【详解】因为奇函数，则， 又，则， 于是，即4是函数的一个周期， 而，则，， 则， 又当时，，则， 所以． 故选：A 25．（24-25高一上·广东东莞·期中）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而得函数为周期函数，再根据周期函数的性质结合黎曼函数的定义求解即可. 【详解】∵是定义在R上的奇函数，且， ∴，∴， ∴函数是以为周期的周期函数， 则 ， ， ∴. 故选：B. 26．（23-24高一上·广东深圳·期中）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数在定义域上是减函数. C．定义在上的奇函数满足，则函数的周期为4 D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为. 【答案】ABD 【分析】由已知化，令，则，根据对勾函数的性质即可得出最小值，判断A；由函数单调性的定义赋值或通过反比例函数图象判断B；通过函数奇偶性的定义对已知化简，再结合函数周期性的公式判断C；利用函数单调性结合函数定义域列出不等式，解出解集判断D. 【详解】对于A，， 令，则， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 故，则的最小值不是2，故A说法不正确； 对于B，当时，，当时，，即， 则根据函数单调性的定义，函数在定义域上不是减函数，故B说法不正确； 对于C，是定义在上的奇函数，则 化为，即， 则， 则， 则，故函数的周期为4，故C说法正确； 对于D，函数是定义在上的增函数， 则由得，解得， 则实数的取值范围为，故D说法不正确； 故选：ABD. 地 城 考点06 抽象函数的对称性 27．（2025·广东·期中）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析得的周期为4，的图象关于点对称，当时，，结合即可求解. 【详解】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 28．（24-25高一上·广东广州·期中）已知定义在上的偶函数满足：，当时，则当时（   ） A．单调递减，且 B．单调递增，且 C．单调递减，且 D．单调递增，且 【答案】A 【分析】利用抽象函数的对称性与周期性计算即可. 【详解】由可知的图象关于轴对称， 且为偶函数，即，即， 所以是的一个周期， 因为当时，此时函数单调递减，故当时，函数仍递减； 又，所以A正确. 故选：A 29．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出的值，结合对称性可求，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D. 【详解】由于函数的定义域为为偶函数， 则，即，则的图象关于直线对称，A正确； 又为奇函数，则，即， 故的图象关于点对称，B正确； 由于，令，则， 又的图象关于直线对称，故，C错误； 又，，则， 故，即，则， 即的一个周期为8，D正确， 故选：ABD 30．（24-25高一上·广东深圳·期中）（多选）定义在上的函数满足，且在上是增函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上是减函数 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【分析】利用赋值法可判断A，利用抽象函数的对称性与单调性可判断B，利用抽象函数的对称性的判定可判断C，利用反例排除D，从而得解. 【详解】对于A，由得， 又，则，A正确， 对于B，由于故是奇函数， 由在上是增函数可得在上也是增函数 由，因此关于对称， 故在上是减函数，B正确， 对于C，由， 则， 故关于对称， 结合为奇函数，故的图象关于对称，故C正确， 对于D，因为，所以， 又在上是减函数，所以， 故，即，则不是的对称轴，故D错误. 故选：ABC. 31．（23-24高一上·广东广州·期中）（多选）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（    ） A． B．图像关于点对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对称性可判断A；由，，可推出，从而判断B；由已知条件得，利用赋值法可得到，从而判断C；从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到，进而可判断D. 【详解】对于A，因为的图象关于直线对称， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为， 联立得， 所以图像关于点对称，故B正确； 对于C，因为，所以， 即， 因为，代入得， 即， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，由B选项可知， 因为，所以. 因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算及变形能力，关键在于根据题中函数的对称性，得到求解所需变形即可. 32．（23-24高一上·广东江门·期中）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的图象关于直线成轴对称 C．在区间上，为减函数 D． 【答案】ABC 【分析】根据条件先判断函数的对称轴和周期，然后结合函数的单调性进行转化比较即可. 【详解】因为，所以函数的图象关于对称，故选项B正确； 因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称； 结合函数的图象关于对称，所以函数的图象关于点中心对称， 故选项A正确； 又在区间上，有，所以在上单调递增， 结合函数的图象关于对称及关于点成中心对称， 所以在上单调递减，故选项C正确； 由奇函数性质知，所以，即， 所以，所以函数是周期函数，且， 又在上单调递增，所以，故选项D错误. 故选：ABC 地 城 考点07 解抽象不等式 33．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 34．（24-25高一上·广东江门·期中）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知可得函数在上单调递减，由为偶函数，可得在上单调递增，进而可得，然后利用单调性即可求解不等式． 【详解】 由对任意的，，可知函数在上单调递减， 因为为偶函数， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以当或时，，当时，， 因为， 所以或， 所以或，即． 故选：D． 35．（21-22高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由区间关于0对称求得，然后利用偶函数的定义变形不等式，再根据单调性化简后，即可求解． 【详解】由题意，， 是偶函数，则不等式化为， 又在是单调递减， 所以，解得， 故选：D． 36．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【分析】依题意，结合偶函数特征和单调性逐选项判断即可. 【详解】因为定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，， 所以区间上单调递增，， 对于A，区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，若，则或，解得或，故B正确； 对于C，若，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当，，当，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，， 故D正确； 故选：ABD. 37．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【详解】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 地 城 考点08 抽象函数比较大小 38．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定函数图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得. 【详解】由函数满足，得函数的图象关于直线对称， 显然，，而，在上是增函数， 因此，所以. 故选：B 39．（23-24高一上·广东茂名·期中）（多选）定义在上的偶函数满足：对任意的、，，有，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】已知不等关系说明函数在上是减函数，再由偶函数得，然后由单调性可得大小关系． 【详解】因为对任意的、，，有， 设，则，可得， 所以，函数在上是减函数，所以，， 又因为函数是偶函数，则，则，故D是正确的． 故选：ABC. 40．（24-25高一下·广东广州·期中）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得，然后结合指数函数单调性及对数函数的性质得，最后利用的单调性比较大小即可. 【详解】由于为偶函数，则， 因为和为R上的减函数，为上的增函数， 所以， 又，所以， 由于在上单调递增，所以， 即. 故选：D 41．（23-24高一上·广东深圳·期中）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，判断函数在上的单调性，利用指数、对数、幂大小比较结合偶函数的性质，比较大小作答. 【详解】因为对任意的，总有， 所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增， 对于A，因为在上单调递增，所以，所以，正确； 对于B，因为在上单调递减，所以， 所以，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以，正确； 对于D，因为在上单调递增，所以，所以， 又，所以，错误. 故选：ABC 地 城 考点09 抽象函数的最值问题 42．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，可得，利用基本不等式求解. 【详解】由题意可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为9. 故选：D. 43．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数对于任意实数，恒有且当时，，又 (1)判断的奇偶性并证明； (2)利用单调性求在区间上的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用赋值法以及函数奇偶性的定义来进行证明. （2）利用函数的单调性和奇偶性来求得最值. 【详解】（1）为奇函数，现由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得， 所以对任意恒成立，所以为奇函数. （2）任取且，则 因为当时，，所以 ， 即，所以在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为，令，得， 令，得， 在区间的最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抽象函数及其应用 9大高频考点概览 考点01抽象函数的定义域和值域 考点02求抽象函数的值 考点03抽象函数的单调性 考点04抽象函数的奇偶性 考点05抽象函数的周期性 考点06抽象函数的对称性 考点07解抽象不等式 考点08抽象函数比较大小 考点09抽象函数的最值问题 地 城 考点01 抽象函数的定义域和值域 1．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·广东东莞·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 4．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 5．（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B．函数与是同一函数 C．函数的单调递增区间是 D．已知的定义域为，则函数的定义域为 6．（24-25高一上·广东广州·期中）下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的值域为 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， D．已知，则函数 7．（22-23高一上·广东汕头·期中）函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 地 城 考点02 求抽象函数的值 8．（21-22高一上·广东珠海·期中）已知函数满足，则等于（    ） A．－3 B．3 C．－1 D．1 9．（24-25高一上·广东广州·期中）若，且，则 . 10．（24-25高一上·广东汕头·期中）的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·广东·期中）定义在上的函数满足，且. (1)求； (2)证明：； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. (1)求的值； (2)求函数在区间上的值域； (3)设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 地 城 考点03 抽象函数的单调性 13．（24-25高一上·广东广州·期中）（多选）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 14．（24-25高一上·广东江门·期中）（多选）定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．函数在上是增函数 D．不等式的解集为 15．（24-25高一上·广东广州·期中）已知定义在的函数满足，①对，，；②当时，；③. (1)判断并证明的单调性； (2)若，使得，对成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 16．（24-25高一上·广东·期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，. (1)证明：对任意实数，，； (2)求证：是上的增函数； (3)若命题，为假命题，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． (1)求，； (2)判断并证明的单调性； (3)解不等式：． 地 城 考点04 抽象函数的奇偶性 18．（24-25高一上·广东·期中）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，. (1)求； (2)判断函数的奇偶性； (3)解不等式. 19．（24-25高一上·广东惠州·期中）若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数. (1)求证：（i）函数为奇函数； （ii）函数在定义域上单调递增； (2)若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 20．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 21．（21-22高一上·广东汕头·期中）已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 22．（23-24高一上·广东·期中）（多选）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或1 C．函数为非奇非偶函数 D．对任意实数满足 地 城 考点05 抽象函数的周期性 23．（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足，当时，，则的值为 . 24．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·广东东莞·期中）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·广东深圳·期中）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数在定义域上是减函数. C．定义在上的奇函数满足，则函数的周期为4 D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为. 地 城 考点06 抽象函数的对称性 27．（2025·广东·期中）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·广东广州·期中）已知定义在上的偶函数满足：，当时，则当时（   ） A．单调递减，且 B．单调递增，且 C．单调递减，且 D．单调递增，且 29．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 30．（24-25高一上·广东深圳·期中）（多选）定义在上的函数满足，且在上是增函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上是减函数 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 31．（23-24高一上·广东广州·期中）（多选）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（    ） A． B．图像关于点对称 C． D． 32．（23-24高一上·广东江门·期中）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的图象关于直线成轴对称 C．在区间上，为减函数 D． 地 城 考点07 解抽象不等式 33．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·广东江门·期中）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 35．（21-22高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 37．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 地 城 考点08 抽象函数比较大小 38．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·广东茂名·期中）（多选）定义在上的偶函数满足：对任意的、，，有，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·广东广州·期中）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·广东深圳·期中）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点09 抽象函数的最值问题 42．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D．9 43．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数对于任意实数，恒有且当时，，又 (1)判断的奇偶性并证明； (2)利用单调性求在区间上的最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $