专题3.2 函数的表示方法与分段函数（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题3.2 函数的表示方法与分段函数 教学目标 知识与技能目标 1.学生能够准确说出函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的定义，清楚每种表示方法的含义. 2.熟练掌握三种表示方法各自的优缺点，能根据具体问题情境，合理选择合适的函数表示方法. 3.深入理解分段函数的概念，明确分段函数是一个函数而非多个函数，能正确书写分段函数，准确确定分段函数的定义域和值域. 4.掌握分段函数图象的绘制方法，能根据分段函数的表达式画出其图象，并且能根据分段函数的图象分析函数的性质. 过程与方法目标 1.通过对函数不同表示方法的探究、比较，培养学生的分析、归纳和总结能力，提高学生的逻辑思维能力. 2.在学习分段函数的过程中，让学生经历从实际问题或数学问题中抽象出分段函数模型的过程，提升学生的数学抽象素养. 3.通过绘制分段函数图象等实践活动，培养学生的动手操作能力和数形结合的思想方法. 情感态度与价值观目标 1.让学生体会到数学知识在实际生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣和热情. 2.在小组合作学习、交流讨论的过程中，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的沟通能力. 教学重难点 教学重点 1.函数三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的定义、优缺点及应用，尤其是能根据实际情况选择恰当的表示方法. 2.分段函数的概念、定义域、值域的确定以及分段函数图象的绘制. 教学难点 1.理解并非所有函数都能使用解析法表示，以及图象法、列表法在应用上的局限性，能清晰阐述不同表示方法的适用场景. 2.准确绘制分段函数的图象，特别是处理好各段图象的端点（空心点与实心点）问题，以及根据分段函数的图象分析函数的性质. 3.利用分段函数解决实际问题，包括从实际问题中抽象出分段函数模型，并运用分段函数的知识解决问题. 知识点1 函数的表示法 表示法 含义 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 三种函数表示法优缺点比较表 表示法 优点 缺点 解析法 ①简明、全面地概括了变量间的关系； ②利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式 列表法 不用计算，看表可知函数值 只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系 图象法 能形象直观地表示函数值变化的趋势，有利于研究函数的某些性质 只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 (1)并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段. (2)函数图象的形状可以是一些点、一些线段、一段曲线等，但并不是任何一个图形都是函数图象.像下图所示就不是函数图象，因为对于某些的值，可能有两个或多个值与之对应，这不符合函数的定义. 用描点法作函数图象的步骤表 步骤 操作内容 注意事项 列表 先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示出来. - 描点 从表中得到一系列的点，在坐标平面上描出这些点. - 连线 用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来. 若图象是“点”，则不需要“连线”这一步骤. 知识点2 分段函数 1.分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 要点 内容 函数本质 分段函数是一个函数，处理问题时要先确定自变量取值区间以选取对应关系 书写形式 用大括号把各段函数合并写成一个函数形式，必须指明各段自变量取值范围 定义域 是自变量所有取值区间的并集，各段自变量取值范围交集为空集 值域 是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集 2. 分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象. (1)分段函数是一个函数，作图时要将各段函数图象画在同一直角坐标系中. (2)在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出图象，再用实线保留在该段定义区间内的相应图象即可，即“分段作图”.但要注意区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点表示；若端点不包含在内，则用空心点表示. 知识点3 函数的图像变换 1.平移变换 的图象： ①沿轴向左平移个单位长度得到的图象； ②沿轴向右平移个单位长度得到的图象； ③沿轴向上平移个单位长度得到的图象； ④沿轴向下平移个单位长度得到的图象. （其中），简记为“左加右减，上加下减”.） 2. 对称变换 的图象与的图象关于轴对称； 的图象与的图象关于轴对称； 的图象与的图象关于原点对称. 3. 翻折变换 的图象去掉轴左侧图象，将右侧图象沿轴翻折到左侧得到的图象. 的图象将轴下方的图象沿轴翻折到轴上方得到的图象. 题型一、函数的解析式 例1．若函数，则 ． 变式1-1若，则函数 ． 变式1-2一次函数满足：，则的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 变式1-3已知，求的解析式． 题型二、已知函数类型求解析式 例2已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 变式2-2（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，则 . 变式2-3（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 题型三、已知f（g（x））求解析式 例3已知，则的值为 . 变式3-1若函数，则 ． 变式3-2已知定义域为的函数满足，则的解析式为 ． 变式3-3若函数满足，则的解析式为 ． 题型四、求抽象函数的解析式 例4已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 变式4-1设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 变式4-2已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 . 变式4-3（1）已知函数，求的解析式；     （2）已知，求的解析式． 题型五、相等函数 例5下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 变式5-1下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 变式5-2（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 变式5-3以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 变式5-4（24-25高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 题型六、图象法表示函数 例6如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式6-1 下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2下列不可以表示函数图象的是（   ） A． B． C． D． 题型七、列表法表示函数 例7根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 变式7-1已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 变式7-2（23-24高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 变式7-3已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 变式7-4已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3    题型八、解析法表示函数 例8（24-25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1（22-23高一上·山西运城·期中）若函数满足，则 . 变式8-2设，则 . 变式8-3（24-25高一上·河北邯郸·期末）设函数，，且，，，，，，写出符合条件的函数的解析式 ． 题型九、分段函数 例9（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 变式9-1设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 变式9-2已知函数且，则 ． 变式9-3对实数，用表示“不大于的最大整数”，用表示“不小于的最小整数”．变式如． (1)若，求的值． (2)若，求的取值范围． (3)记，是否存在实数，使得？若存在，求的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 题型十、求分段函数解析式或求函数的值 例10已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 变式10-1设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式10-2（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 变式10-3（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 题型十一、分段函数的定义域 例11（多选）（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．存在是无理数， 变式11-1（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 变式11-2（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 变式11-3在边长为4的正方形的边上有动点，从点开始沿折线向点运动，设点移动的距离为，的面积为.求函数的解析式，定义域，值域以及的值.      题型十二、分段函数的性质及应用 例12将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 变式12-1（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”.已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是 . 变式12-2（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，，记，若与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 题型十三、已知分段函数的值求参数或自变量 例13已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式13-1（24-25高一上·安徽·阶段练习）设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 变式13-2（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，则 . 变式13-3（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，若，则 ． 1（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）． 其中“有界函数”个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25高一上·北京丰台·期末）已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 3（23-24高一上·北京怀柔·期末）设A、B是非空集合，定义：．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·浙江杭州·期中）若函数的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知函数，则（     ） A．2 B．0 C．1 D．3 6（24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（     ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 7已知函数满足，则 . 8欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，变式如，则 . 9已知，则 . 10对于任意实数表示不超过的最大整数，如，若，则A中所有元素之和为 . 11已知函数，若，则 ． 12定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是 . 13（24-25高一上·福建福州·期中）已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 14 2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数的表示方法与分段函数 教学目标 知识与技能目标 1.学生能够准确说出函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的定义，清楚每种表示方法的含义. 2.熟练掌握三种表示方法各自的优缺点，能根据具体问题情境，合理选择合适的函数表示方法. 3.深入理解分段函数的概念，明确分段函数是一个函数而非多个函数，能正确书写分段函数，准确确定分段函数的定义域和值域. 4.掌握分段函数图象的绘制方法，能根据分段函数的表达式画出其图象，并且能根据分段函数的图象分析函数的性质. 过程与方法目标 1.通过对函数不同表示方法的探究、比较，培养学生的分析、归纳和总结能力，提高学生的逻辑思维能力. 2.在学习分段函数的过程中，让学生经历从实际问题或数学问题中抽象出分段函数模型的过程，提升学生的数学抽象素养. 3.通过绘制分段函数图象等实践活动，培养学生的动手操作能力和数形结合的思想方法. 情感态度与价值观目标 1.让学生体会到数学知识在实际生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣和热情. 2.在小组合作学习、交流讨论的过程中，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的沟通能力. 教学重难点 教学重点 1.函数三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的定义、优缺点及应用，尤其是能根据实际情况选择恰当的表示方法. 2.分段函数的概念、定义域、值域的确定以及分段函数图象的绘制. 教学难点 1.理解并非所有函数都能使用解析法表示，以及图象法、列表法在应用上的局限性，能清晰阐述不同表示方法的适用场景. 2.准确绘制分段函数的图象，特别是处理好各段图象的端点（空心点与实心点）问题，以及根据分段函数的图象分析函数的性质. 3.利用分段函数解决实际问题，包括从实际问题中抽象出分段函数模型，并运用分段函数的知识解决问题. 知识点1 函数的表示法 表示法 含义 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 三种函数表示法优缺点比较表 表示法 优点 缺点 解析法 ①简明、全面地概括了变量间的关系； ②利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式 列表法 不用计算，看表可知函数值 只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系 图象法 能形象直观地表示函数值变化的趋势，有利于研究函数的某些性质 只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 (1)并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段. (2)函数图象的形状可以是一些点、一些线段、一段曲线等，但并不是任何一个图形都是函数图象.像下图所示就不是函数图象，因为对于某些的值，可能有两个或多个值与之对应，这不符合函数的定义. 用描点法作函数图象的步骤表 步骤 操作内容 注意事项 列表 先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示出来. - 描点 从表中得到一系列的点，在坐标平面上描出这些点. - 连线 用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来. 若图象是“点”，则不需要“连线”这一步骤. 知识点2 分段函数 1.分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 要点 内容 函数本质 分段函数是一个函数，处理问题时要先确定自变量取值区间以选取对应关系 书写形式 用大括号把各段函数合并写成一个函数形式，必须指明各段自变量取值范围 定义域 是自变量所有取值区间的并集，各段自变量取值范围交集为空集 值域 是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集 2. 分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象. (1)分段函数是一个函数，作图时要将各段函数图象画在同一直角坐标系中. (2)在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出图象，再用实线保留在该段定义区间内的相应图象即可，即“分段作图”.但要注意区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点表示；若端点不包含在内，则用空心点表示. 知识点3 函数的图像变换 1.平移变换 的图象： ①沿轴向左平移个单位长度得到的图象； ②沿轴向右平移个单位长度得到的图象； ③沿轴向上平移个单位长度得到的图象； ④沿轴向下平移个单位长度得到的图象. （其中），简记为“左加右减，上加下减”.） 2. 对称变换 的图象与的图象关于轴对称； 的图象与的图象关于轴对称； 的图象与的图象关于原点对称. 3. 翻折变换 的图象去掉轴左侧图象，将右侧图象沿轴翻折到左侧得到的图象. 的图象将轴下方的图象沿轴翻折到轴上方得到的图象. 题型一、函数的解析式 例1．若函数，则 ． 【答案】 【分析】令，则，换元法求函数解析式. 【详解】令，则，所以，故． 故答案为：. 变式1-1若，则函数 ． 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【详解】函数，又的值域为. 所以， 故答案为：. 变式1-2一次函数满足：，则的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 【答案】（或） 【分析】利用待定系数法可求得函数解析式. 【详解】设， 则， 所以，解得或，即或． 故答案为：（或）. 变式1-3已知，求的解析式． 【答案】， 【分析】用代换，构造新方程，与原方程联立，即可解得的解析式； 【详解】由题意可知， 令，所以，其中， 代入可得，， 即，， 联立方程组，可得， 所以， 题型二、已知函数类型求解析式 例2已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得6， 因此，解得，所以． 故选：A 变式2-1（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 变式2-2（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，则 . 【答案】. 【分析】将代入原解析式整理化简可得. 【详解】由题设. 故答案为： 变式2-3（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 【答案】 【分析】由函数为一次函数可设，再结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】因为是一次函数， 可设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以的解析式是． 题型三、已知f（g（x））求解析式 例3已知，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据题干条件求出的表达式，直接代入计算即可得到答案. 【详解】令，则，进一步可得， ， ， 故答案为：3. 变式3-1若函数，则 ． 【答案】或 【分析】根据函数的性质，令，解出相应的值，把原函数变形为，代入相应的值求解. 【详解】令，解得或， 又， 所以： 当时，； 当时，． 故答案为：或. 变式3-2已知定义域为的函数满足，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 代入，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 变式3-3若函数满足，则的解析式为 ． 【答案】（且） 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 由题意可知且，所以且， 将代入，得， 所以的解析式为（且）． 故答案为：（且）. 题型四、求抽象函数的解析式 例4已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 变式4-1设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： 变式4-2已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 . 【答案】（不唯一） 【分析】根据所给条件，利用累乘法及换元法即可得解. 【详解】由题意，， 累乘可得，即， 令，则， 所以， 故答案为：（不唯一） 变式4-3（1）已知函数，求的解析式；     （2）已知，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接对所求式子进行变形即可得解； （2）由方程组法对所求式子进行变形即可求解. 【详解】（1）； （2）. 题型五、相等函数 例5下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 变式5-1下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数． 故选：A 变式5-2（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误； 故选：C. 变式5-3以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 变式5-4（24-25高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误； 对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确； 对于D，由，解得，故的定义域为， 由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误. 故选：C 题型六、图象法表示函数 例6如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器特征可分析燃料燃烧时剩余燃料高度的变化规律，根据所给图象的变化情况可得高度变化的规律. 【详解】图中容器中间细，上下渐粗，且上长下短。燃料燃烧时以均匀的速度消耗，但燃料高度下降不是匀速变化，所以C、D错误. 因为容器上半部分先粗后细，所以开始燃烧后，剩余燃料高度下降得越来越快，当燃料液面到达容器最细处时，剩余燃料高度下降速度达到最快，然后又因为容器逐渐变粗，且高度较上部短，所以燃料高度下降速度又越来越慢，且高度变化到零用时较上部短.A选项图象随时间的增大而减小的速度先由慢到快，再由快到慢，且第二段用时较第一段短.所以A选项较为合适． B选项显示的变化规律正好与A选项变化规律相反.所以B选项错误. 故选：A. 变式6-1 下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 变式6-2下列不可以表示函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义判断即可. 【详解】B项不满足每一个自变量仅对应一个因变量，ACD都满足每一个自变量仅对应一个因变量. 故选:B． 题型七、列表法表示函数 例7根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【详解】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 变式7-1已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 变式7-2（23-24高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题可先根据表格求出的值，再求出的值. 【详解】由表格可知，当时，. 所以. 故选：B. 变式7-3已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 【答案】 1 3 【分析】根据函数和表格中的数据中的对应关系，即可求解. 【详解】根据函数和表格中的数据，可得： 由和，可得，所以； 又由，所以. 故答案为：；. 变式7-4已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3    【答案】4 【分析】首先由图读出，再结合函数的对应关系表，即可得解． 【详解】由图可知，所以． 故答案为：4. 题型八、解析法表示函数 例8（24-25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次计算，可归纳出为周期函数． 【详解】依题意，则， ，，， ∴是周期函数，且周期为4， ∴． 故选：A． 变式8-1（22-23高一上·山西运城·期中）若函数满足，则 . 【答案】/1.5 【分析】令，代入求解即可得答案 【详解】令，得， 所以， 故答案为： 变式8-2设，则 . 【答案】 【分析】代入即可求出答案. 【详解】. 故答案为： 变式8-3（24-25高一上·河北邯郸·期末）设函数，，且，，，，，，写出符合条件的函数的解析式 ． 【答案】 【分析】通过式子相乘，化简即可求得，然后利用换元法即可求得. 【详解】因为，，，，， 相乘得，， 令，则，所以. 故答案为： 题型九、分段函数 例9（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 变式9-1设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 变式9-2已知函数且，则 ． 【答案】2或 【分析】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意. 【详解】当时，，解得， 因为，故. 当时，，解得， 因为，故. 验证：当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故答案为：2或. 变式9-3对实数，用表示“不大于的最大整数”，用表示“不小于的最小整数”．变式如． (1)若，求的值． (2)若，求的取值范围． (3)记，是否存在实数，使得？若存在，求的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）分类讨论是否为整数，结合题意运算求解即可； （2）分类讨论是否为整数，结合题意运算求解即可； （3）分类讨论是否为整数，整理可得，结合整数的奇偶性分析可知可知中只有1个整数，且整数只能或，进而讨论求解即可. 【详解】（1）若，则， 可得，解得； 若，则， 可得，解得，不合题意； 综上所述：. （2）若，则， 可得，解得，不合题意； 若，则， 可得，解得，可得； 综上所述：的取值范围为. （3）若，则，可得； 若，则， 可得； 综上所述：. 可知当且仅当时，为偶数，否则为奇数， 且2025为奇数，可知中只有1个整数或只有3个整数， 若为整数，则均为整数； 若为整数，则必为整数； 在不为整数的前提下，不可能同时为整数，不可能同时为整数； 据此可知中只有1个整数，且整数只能或， 可设， （i）若为整数，则， ①若，则，，， 可得， 解得，不合题意； ②若，则，，， 可得， 解得，不合题意； （ⅱ）若为整数，则， ①若，则，，， 可得，解得； ②若，则，，， 可得， 解得，不合题意； 综上所述：，， 所以存在实数，使得，此时. 题型十、求分段函数解析式或求函数的值 例10已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【详解】由题意， . 故选：B. 变式10-1设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出的解析式，再分别求函数值即可得正确选项. 【详解】因为，，所以， 列表解析： 选项 正误 原因 A √ ，． B × ，． C √ ，． D √ ，． 故选：ACD. 变式10-2（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 变式10-3（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 【答案】(1)0； (2)或或 (3)图像见解析 【分析】（1）由函数解析式即可求解； （2）由解析式分类讨论求解即可； （3）由解析式即可直接作图； 【详解】（1）， （2）， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上的值为：或或 （3） 题型十一、分段函数的定义域 例11（多选）（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．存在是无理数， 【答案】BCD 【分析】根据函数解析式即可得值域、定义域，即可判断AB；可知，代入运算即可判断C；举反变式判断D即可. 【详解】因为函数， 所以的定义域为，值城为，故A错误；B正确； 因为，所以，故C正确； 变式如取，则，故D正确； 故选：BCD. 变式11-1（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 【答案】BC 【分析】根据分段函数的定义域、值域、不等式等知识求得正确答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故C正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 因此的解集为，故D错误. 故选：BC 变式11-2（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 【答案】BCD 【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值. 【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误； 对B：当时，；当时，； 则的值域为，故B正确； 对C：当时，，故C正确； 对D：当时，，解得，不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 综上所述：若，则的值是2，故D正确； 故选：BCD． 变式11-3在边长为4的正方形的边上有动点，从点开始沿折线向点运动，设点移动的距离为，的面积为.求函数的解析式，定义域，值域以及的值.      【答案】，定义域是，值域是， 【分析】分类讨论，当时，当时，当时，分别求出，再把表示成分段函数的形式，即可求得函数的解析式，从而可求得函数的定义域和值域；先求出的值，再把的值代入运算即可得解． 【详解】依据题意得：当时，， 当时，， 当时，， ， 定义域是， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，， 值域是, ，， . 题型十二、分段函数的性质及应用 例12将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【详解】，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 变式12-1（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”.已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，则，根据“完美旋转点”的定义知在有解，转化为求最值的问题，利用基本不等式求解即可. 【详解】设，则，，， 若函数的图象存在“完美旋转点”， 则根据“完美旋转点”的定义知在有解， 即在有解， 将上式整理得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式12-2（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，，记，若与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数，作出函数的图象，结合图象求出的范围. 【详解】由，即，则或， 解得或，由，解得或， 令，则， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    观察图象知，当或时，直线与函数的图象有2个交点， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：. 题型十三、已知分段函数的值求参数或自变量 例13已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知分且，或者且两种情况讨论，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】因为和同属于和时，都不可能有， 所以且，或者且. ①当且时，则，所以且. 若存在非零实数，使得成立， 则， 由得，所以； ②当且时，则，所以且. 若存在非零实数，使得成立， 则， 由得，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 变式13-1（24-25高一上·安徽·阶段练习）设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，，可得，进而求解，判断选项. 【详解】根据题意，, 由，得，则， 从而，解得. 故选:B． 变式13-2（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】分类讨论，求解方程即可. 【详解】当时,令，得.不满足这个条件，舍去. 当时,令,可得.由于，所以舍去，保留. 当时,令，可得.不满足的条件，所以这个解不符合要求，舍去. 综上所述，满足的的值为. 故答案为：. 变式13-3（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，若，则 ． 【答案】0或 【分析】由分段函数的值域结合已知求解即可； 【详解】当时，的值域为； 当时，的值域为， 由得，且，解得或（舍去）， 则，或，解得或． 故答案为：0或. 1（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）． 其中“有界函数”个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别求四个函数的值域，对照“有界函数”的概念即可判断． 【详解】对（1）：， 故不是“有界函数”； 对（2）：，故对任意，都有成立， 故函数是定义域为上的“有界函数”； 对（3）令，当时， 函数有最小值，即， 所以，所以， 故函数为有界函数； （4）令，则，即，， 当时，，无最小值，即， 此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数． 故选：B. 2（24-25高一上·北京丰台·期末）已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】A 【分析】根据题设可得时，恒成立，故可求参数的取值范围. 【详解】因为时，，故需时，恒成立， 故即，所以的最大值是， 故选：A. 3（23-24高一上·北京怀柔·期末）设A、B是非空集合，定义：．已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次函数的值域、基本不等式分别求出集合A，B，然后结合集合的基本运算求得和，再根据已知定义即可求解． 【详解】因为，所以， 因为时，，当且仅当，即时取等号， 所以，，，则 故选：B． 【点睛】思路点睛：新定义问题求解 本题中给出新定义，则需要求出和，再根据定义求得答案，实际上考查了集合的基本运算. 4（24-25高一上·浙江杭州·期中）若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，可得， 又易知，可得， 即，所以. 故选：D 5（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据分段函数特点逐步代入即可. 【详解】. 故选：A. 6（24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 【答案】C 【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，由图像可知，当时，取得最大值， 所以由得（舍去）或， 即当时，函数有最大值，无最小值. 故选：C 7已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 8欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，变式如，则 . 【答案】 【分析】根据函数的新定义计算得出函数值即可. 【详解】在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个， 所以. 故答案为：. 9已知，则 . 【答案】 【分析】由已知得，又，则将所求分组为，即可求解. 【详解】因为， 所以，又， 所以 . 故答案为：. 10对于任意实数表示不超过的最大整数，如，若，则A中所有元素之和为 . 【答案】 【分析】设，其中，对讨论可得当时，所以函数值的和为，再分析即可. 【详解】设，其中， 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 综上所述：当时，所以函数值的和为， 又因为，此时，且当时，， 所有函数值的和为，即A中所有元素之和为28. 故答案为：28. 11已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可. 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 12定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】利用不等式放缩消元，可得，这样就化为同变量的取值分析，从而先研究出，再分析出最大值，即可. 【详解】均为正实数，， 当，即时，，即， ， 当时，取到最大值； 当时，； 综上所述，的最大值为. 13（24-25高一上·福建福州·期中）已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）代入给定条件建立方程组，利用待定系数法求解解析式即可. （2）利用待定系数法求出解析式，再结合题意建立不等式组确定的范围，再求解的解析式即可. 【详解】（1）因为， 所以，，解得，， 则，故的函数解析式为. （2）由题意得是一次函数，设， 因为，所以，， 解得，则，令， 解得，令，解得， 而用表示和的最大者， 故. 14 2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $