专题03 待定系数法确定二次函数表达式（6大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题03待定系数法确定二次函数表达式 目录 A题型建模·专项突破 题型一、一点一参数代入求二次函数的表达式。 题型二、两点两参数代入求二次函数的表达式 .5 题型三、三点三参数代入求二次函数的表达式… 7 题型四、一点一对称轴求二次函数的表达式… .11 题型五、已知顶点式求二次函数的表达式… 17 题型六、已知交点式求二次函数的表达式…20 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、一点一参数代入求二次函数的表达式 例题：如图，己知抛物线y=-x2+mx+3经过点M-2,3). M O (1)求出此抛物线的解析式； (2)当0≤x≤1时，直接写出y的取值范围. 【变式训练】 1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2-2ax(a≠0)的图象经过点A(-1,3). (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数y=2x+b的图象经过点A,点(m,y)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数 的图象上，若y<2,求m的取值范围 2.如图，抛物线y=ax2-2ax+3与y轴交于点B,与x轴交于点A,C(-1,0)(点A在点C的右边). yA 1/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求抛物线的表达式： (2)P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点P,若点P关于原点O的对称点恰好落在 抛物线上，求此时点P的坐标； (3)将抛物线y=ax2-2ax+3向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L,若点(-1，y),（5,y2)均在抛物线L 上，且y,≥y2，求的取值范围， 3.己知二次函数y=x2-2ax-3(a为常数). (1)若该二次函数的图象经过点(2，-3)： ①求a的值. ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点A(m,0),B(n,0),C(m+1,p),D(n+1,q)均在该二次函数的图象上，求证：p+9=2. 题型二、两点两参数代入求二次函数的表达式 例题：抛物线L:y=ax2+bx+3经过点B(1,0)和3，-12)，与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称 轴为直线1，求该抛物线的表达式. 【变式训练】 1.己知二次函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A0,4),B(6,-4). (1)求函数表达式. (2)判断点C(2,5)是否在这个二次函数图象上，并说明理由 2.已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(-1,0)，(3,0). (1)求这个二次函数的解析式： (2)求当-2≤x≤2时，y的最大值与最小值 3.如图所示，抛物线y=-x2+bx+c经过A-1,0),B(3,0)两点，交y轴于点C,D为抛物线的顶点，连接 BD,H为BD的中点.请在y轴上找一点P,使PD+PH的值最小，并求PD+PH的最小值. H 题型三、三点三参数代入求二次函数的表达式 例题：二次函数y=ax2+b.x+c的变量x与变量y的部分对应值如下表： 2/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -3 -1 0 1 y 0 -5 -X (1)求此二次函数的解析式： (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴， 【变式训练】 1.已知抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，经过点D(-2,-3,求抛物线的 函数解析式： 2.抛物线y=ax2+bx+c经过-1，-22)，(0，-8)，（2,8)三点，求抛物线的解析式. 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A-1,0)、B4,0)、C(0,2三点，点D(x,y)为抛物线上第一象限内的 一个动点. (1)求抛物线所对应的函数表达式： (2)当△BCD的面积为4时，求点D的坐标： (3)过点D作DE⊥BC,垂足为点E,是否存在点D,使得∠DCE=2∠ABC?若存在，求出点D的坐标： 若不存在，请说明理由。 题型四、一点一对称轴求二次函数的表达式 例题：如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2,与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且A 点坐标为(-1,0) (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点M(a,0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求a的值 【变式训练】 3/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.己知抛物线y=x2+bx+c交x轴于C,D两点，其中点C的坐标为(-1,0)，对称轴为x=1.点A,B为 坐标平面内两点，其坐标为A B(4,-5) (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接AB,若抛物线y=x2+bx+c向下平移k(k>0)个单位时，与线段AB只有一个公共点，求k的取值 范围. 2.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点A的坐标为-3,0)，点C的坐标为(0，-3)，对 称轴为直线x=-1. (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且S△Poc=4S△oc,求点P的坐标； (3)设点Q是线段AC上的动点，作QD∥y轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值 3,已知抛物线y=x+br+c的对称轴为直线x二，且经过点A0 (I)求该二次函数图象与x轴的另一交点B的坐标及其函数表达式， (2)记图象与y轴交于点C，,过点C作CD∥x轴，交图象于另一点D.将抛物线向上平移m(m>0)个单位长度 后，与x轴交于点B点(B'为右侧的交点).若CD=AB,求m的值. 题型五、已知顶点式求二次函数的表达式 例题：已知某二次函数图象的顶点坐标为3，-4)，且图象经过点(0,5). (1)求该二次函数的解析式： (2)若当2≤x≤t时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点M(2,m),N(5,-4),若该函数图象与线段MN只有一个公共点，请直接写出m的取值范围 【变式训练】 1.己知二次函数的图象顶点是(-2,3)，且过点(-1,5)，求这个二次函数的解析式. 2.己知抛物线的顶点坐标为-2，-3)，与y轴的交点坐标为0,5)，求此抛物线对应的函数表达式. 3.已知二次函数图象的顶点坐标是(-1-4)，且经过点1,0). 4/9 可学科网·上好课 上好每一堂课 (1)求这个二次函数的表达式： (2)当-5<x<0时，y的取值范围为 (3)该二次函数图象关于x轴对称的图象所对应的函数表达式为 题型六、已知交点式求二次函数的表达式 例题：己知一个抛物线经过点(3,0)，（-1,0)和2，-6). (1)求这个二次函数的解析式： (2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴： 【变式训练】 1.已知抛物线经过点A(-1,0),B(5,0),C(0,5),求该抛物线的函数关系式 2.己知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如下表： -2 -1 0 2 3 0 -3 -3 0 (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，抛物线与x轴交于A、B两点，若S。P4B=12,求出此时点P的坐标. 3.设二次函数y=(x-a)(x+a-2)(a为实数，且a≠0). (1)若该函数图象经过点(2,0)，求二次函数表达式. (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含α的代数式表示）. (3)若该函数图象经过点(3，m,且满足m≥4，求a的值. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2025九年级上·浙江·专题练习)一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4)，且过另一点(0，-4)，则这个二次 函数的解析式为() A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4 C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4 2425九年级上：山东济南阶段练习)一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=一)产+4红-5相同，顶 为-3,2)，则此抛物线的解析式为() 5/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 A.y=-2x-3y+2 B.y= 2x+3)2+2 C.y=-2-3y-2 D.y=-2+30-2 二、填空题 3.(2025九年级上浙江.专题练习)二次函数y=ax2+bx+ca≠0)中的x和y的部分对应值如表所示： 0 2 3 0 -1 0 则这个二次函数的表达式为 4.(2025九年级上浙江·专题练习)如图，已知抛物线过A,B,C三点，点A的坐标为-3,0)，点B的坐 标为(9,0)，且3AB=40C,则此抛物线的表达式为 三、解答题 5.(25-26九年级上全国·课后作业)已知一个二次函数的图象经过(1,10)，(-1,4)，(-2,7)三点，求这个二次函 数的表达式。 6.(24-25九年级下·全国随堂练习)已知二次函数图像的顶点坐标为(2，-3)，且与y轴交点的纵坐标为1. (1)求出二次函数的表达式. (2)若此抛物线经过点(-2，y，（32),试比较y,y的大小. 7.(2025九年级上全国.专题练习)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D 614 5’-5 经过点C(0,-1),且 与x轴交于A、B两点(A在B的左侧). B D (1)求抛物线的解析式： 6/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)P为抛物线上一点，连CP交线段OD于点2，若S.coe=S.Pe,求P点的横坐标； 8.(23-24九年级上河南许昌阶段练习)已知抛物线y=ax2-bx+3经过点A1,2),B(2,3). (1)求此抛物线的函数解析式。 (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写 出平移后得到的二次函数的解析式_， 9.(24-25九年级下·江西九江·阶段练习)如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A-2,0)、B(4,0)两点. (①)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当3<x<5时，求y的取值范围： (3)点P为抛物线上一点，若S。P4B=30,求出此时点P的坐标. 10.(2022贵州铜仁一模)如图，抛物线y=a(x-2)2+3(a为常数且a≠0)与y轴交于点A0, 5 4(0, (1)求该抛物线的解析式； ②判断直线y=:+k≠0与抛物线的交点个数，并说明理由。 ③)当-4K≤m时，y有最大值智，求m的值 11.(24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习)在平面直角坐标系中，己知二次函数y,=(x-2)(x-Q-1, (1)若此二次函数的图象经过1,3)，求a的值： (2)若此二次函数的图象经过(-2，m)、（4,n),且有m>n,求a的取值范围； (3)若一次函数y2=3x-6,对于x>3时y2<y,恒成立，求a的取值范围. 12.(2025九年级上·全国.专题练习)已知抛物线y=x2+bx+c经过点1,0)和点0,3). (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足-1≤x≤3时，求y的取值范围： 7/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足1≤x<5时，y的最小值为5，求m的值， 13.(2025浙江·模拟预测)已知关于x的二次函数y=ax2+bx-3a. (1)若函数图象过点(0，-3)，（2,5， ()求二次函数的解析式： ()当-2≤x≤1时，求函数的最小值与最大值； 2)当-4≤x≤0时函数值y有最小值-2，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求α的值. 14.(25-26九年级上浙江宁波·开学考试)设二次函数y=-x2+2ax-a+3(a是实数). (I)若函数的对称轴为直线x=1,求函数的表达式； (2)当x≥a+1时，函数的最大值为4，求a的值； (3)已知M(x,y)和N(3a,y2)是函数图象上的两点，当2≤x≤3时，都有y<y2,求a的取值范围. 15.(2025河南驻马店模拟预测)如图①，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 己知抛物线的对称轴为直线x=-1,且0A=0C. B B ① 备用图 (1)求抛物线的表达式 (2)已知点P(x,y),Q2,y2)是抛物线上的两点，且点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧，若满足 x+x>-2,请比较y与的大小 (3)将抛物线平移，使得其顶点P落在直线y=x-1上，设平移后的抛物线与y轴的交点为D,求点D的纵坐 标yo的取值范围. 16.(24-25九年级上四川泸州期末)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B2,0),与y轴 交于点C. A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； 8/9 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图1，若点D在抛物线的对称轴上，当CD平分∠AC0时，求点D的坐标： (3)如图2，平行于x轴的动直线1从x轴出发向上平移，直线1与抛物线交于点M,N(点M在点N左侧)， 若在x轴上存在点P使△PMN是等腰直角三角形，求点M的坐标. 17.(25-26九年级上·全国·课后作业)如下图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=x2与抛物线 C2:y=-x2+bx+c(b,c为常数)相交于点A,B,点A,B的横坐标分别为-2和1.过点A作AC∥x轴， 与地物线C相交于点C,分别以4C,4C的长为边长向4C上方作矩形4CDE. 0 (1)求抛物线C,的函数表达式. (2)将矩形ACDE先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A'CD'E',点C的对应点 C在抛物线C上.求n关于m的函数表达式，并直接写出自变量m的取值范围. 18.(24-25八年级下·湖南长沙阶段练习)已知抛物线y=(x-m+2-n(m,n为实数) (1)当该抛物线顶点坐标为(2,9)时，求抛物线解析式 (2)如图（一）在(1)问条件下，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为5,0)，点 P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标 (3)当二次函数y=(x-m+2-n满足m=3n时，若平面内一点Q(2,y)，将Q点左移k个单位长度，或者 将Q点向右平移2k个单位长度，或者将Q点向上平移4k个单位长度，平移后三个对应点都在二次函数图像 上，试求k和%· 9/9 专题03 待定系数法确定二次函数表达式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一点一参数代入求二次函数的表达式 1 题型二、两点两参数代入求二次函数的表达式 5 题型三、三点三参数代入求二次函数的表达式 7 题型四、一点一对称轴求二次函数的表达式 11 题型五、已知顶点式求二次函数的表达式 17 题型六、已知交点式求二次函数的表达式 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一点一参数代入求二次函数的表达式 例题：如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 图象顶点的坐标为． （2）解：一次函数的图象经过点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ． 点在二次函数的图象上， ， ， ，即， 令， 当时，， 解得：，， 抛物线与轴交点为和， 抛物线开口向上， 的解为：或， 的取值范围是或． 2．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．    (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数的平移、点的平移、关于原点对称的点的坐标特征等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得a的值即可解答； （2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出t的值即可确定P点坐标； （3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：将代入中可得，，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，则将点P向上平移2个单位长度得到点， ∴， ∵关于原点对称的点的坐标为， ∴，解得， 或． （3）解：∵ ∴平移后的抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，解得， ， ． 3．已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入，计算求解即可；②由题意知，，则图象开口向上，对称轴为直线，进而可得当时，y随x的增大而增大； （2）由点在二次函数的图象上，可得，将点代入得，进而可得． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴a的值为； ②解：由题意知，， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大； （2）证明：∵点在二次函数的图象上， ∴， 将点代入得， ∴． 题型二、两点两参数代入求二次函数的表达式 例题：抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数待定系数法，将和代入解出即可求出． 【详解】解：将和代入，得：， 解得：， 抛物线的表达式为． 【变式训练】 1．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求函数表达式． (2)判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 2．已知关于的二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据题意将代入即可得到答案； （2）根据对称轴得到函数增减性即可计算． 【详解】（1）解：将代入 ，解得 ； （2）解：对称轴， 时， ， ，故时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 当时， ． 3．如图所示，抛物线经过两点，交轴于点C，D为抛物线的顶点，连接，为的中点．请在轴上找一点，使的值最小，并求的最小值． 【答案】点位置见解析图中； 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的顶点坐标、求中点坐标、利用对称的性质、两点之间线段最短以及勾股定理等知识点求一个动点到两个定点的最小距离，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出顶点、中点的坐标，最后根据对称的性质作关于轴的对称点，依据勾股定理和两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】解：抛物线经过点，， ，解得， 抛物线的解析式为， ， 顶点的坐标为， ，， 中点的坐标为，其关于轴的对称点坐标为， 连接与轴交于点，则最小，且最小值为． 题型三、三点三参数代入求二次函数的表达式 例题：二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式训练】 1．已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据待定系数法求解析式方法即可求解，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为．      ∵抛物线经过点， 则， 解得，    ∴抛物线的函数解析式为． 2．抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 3．如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为； (3)存在点D，使得，点D的坐标为 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标； （3）取点，连接，则，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4， ， 则， ， 点， 直线的解析式为， 的解析式为， 联立抛物线解析式， 解得：， 点D的坐标为； （3）存在， 取点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， 点， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得： ， 解得：（舍去），， 点D的坐标为， 综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为． 题型四、一点一对称轴求二次函数的表达式 例题：如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，即可求出b的值，再将点A的坐标代入，求出c的值，即可得出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得出点D坐标； （2）作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，此时的值最小，求出所在直线的表达式，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴点D的坐标为． （2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M， 把代入得：， ∴， ∴， 设所在直线为， 把，代入得： ，解得： ， ∴所在直线的表达式为：为， 把代入得：， 解得：， ∴，．    【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 【变式训练】 1．已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，， 解得，此时抛物线与只有1个交点； ②当抛物线经过点时，， 解得， 当抛物线经过时，， 解得，    根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点， ∴时，满足题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算． 2．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标； （3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为，设点，再根据两点间的距离可表示，然后利用二次函数的最值即可得出答案． 【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线， 可设抛物线的表达式为， 将点，点代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）由（1）知抛物线表达式为， 令，解得或， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴，， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ∴ ∵， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，， ∴满足条件的点P有两个，分别为，； （3）如解图，设直线AC的解析式为，    将点，代入， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为， 由于点Q在AC上，可设点， 则点，其中， ∴ ∴当时，DQ长度有最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式． (2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标； （2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 抛物线解析式为； 令，则， 解得，， ； （2）令，则， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线向上平移个单位长度后的解析式为， ，， ， 把代入得： ， 解得． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式． 题型五、已知顶点式求二次函数的表达式 例题：已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点 解得 该二次函数的解析式为； （2）①当时，最小值为，最大值为 此时方程无实数解， ②当时， 的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9 当时，该二次函数最大值为 时， 时， 解得（舍去）或， 即当时，二次函数最大值与最小值的差是9； （3）如图，此函数大致图象如下 由，当时，，此时点为 由图知时，交点只有一个， 当时，图中也符合只有一个交点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 【变式训练】 1．已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为，.顶点坐标为，对称轴方程为，极值为当时，来求出相应的数． 【详解】设二次函数解析式为，图象顶点是， ∴， 依题意得：， 解得， ∴. 2．已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式和待定系数法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标为，可设二次函数的顶点式为，再用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线对应的函数表达式为， 把代入上式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 即． 故此抛物线对应的函数表达式为． 3．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_______． (3)该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式为_______． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，以及关于轴对称的函数图象的特征，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及关于轴对称的函数图象的特征是解题的关键． （1）设二次函数的表达式为，根据顶点坐标求出，，再将点代入解析式即可求得； （2）求出当和时的函数值，再结合函数的最值，进行比较即可求出当时，函数值的范围； （3）根据关于轴对称函数的图象的特征是：当自变量取相同时，对应的函数值互为相反数，即可求解； 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 顶点坐标是， ，， 二次函数解析式为， 又点在二次函数图象上，将点代入，即， 解得， 二次函数解析式为 （2）解：当时，， 当时，， 二次函数对称轴为，开口向上， 当，随的增大而减小；当，随的增大而增大； 在，取得最小值为， 当时，． （3）解： 关于轴对称的函数图象的特征是：当自变量取相同时，对应的函数值互为相反数， 二次函数关于轴对称的图象所对应的函数表达式为． 题型六、已知交点式求二次函数的表达式 例题：已知一个抛物线经过点，和． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 【答案】(1) (2)顶点坐标为；对称轴为直线 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据顶点坐标公式求解即可． 【详解】（1）设 将代入，则 ∴ （2）∵， ∴顶点坐标为；对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是 ． 【变式训练】 1．已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式 【答案】 【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为，将点代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，，， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入得：，解得：， ∴． ∴该抛物线的函数关系式为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式． 2．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在． 【详解】（1）解：∵当和时，， ∴设二次函数， ∵时，， ∴代入得：，即， 解得：， ∴二次函数解析式为，即， ∴，， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和， ∴， ∵， ∴点到的距离， ∴点的纵坐标为或， ∵点为抛物线上一点， ∴当点的纵坐标为时，，即， 解得：， ∴点的坐标为或； ∵二次函数解析式为，顶点坐标为， 当点的纵坐标为时的情况不存在； 综上所述，点的坐标为或． 3．设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 【答案】(1) (2)该函数图象的对称轴：直线，最小值 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）把已知点的坐标代入中求出的值，从而得到二次函数解析式； （2）把化为顶点式即可． （3）把代入解析式得，且满足，即可求出a的值. 【详解】（1）解：因为函数图象经过点，所以可得：， 解得：，， 因为，所以， 所以． （2） ， 该函数图象的对称轴：直线，最小值． （3）∵函数图象经过点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出再结合顶点为即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为． 该抛物线的解析式为∶ ． 故选∶B 二、填空题 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法的一般步骤是解题的关键．解题时利用待定系数法解答，将表格中的x，y的对应值分别代入得到三元一次方程组，解三元一次方程组即可得出结论． 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．先得到，，则，再利用得到，可得到C点坐标为，设二次函数的解析式为，把C点坐标代入可求出a的值为，代入求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴C点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的表达式． 设这个二次函数的表达式为，把代入计算即可. 【详解】解：设这个二次函数的表达式为． 把代入，得解得 ∴这个二次函数的表达式为． 6．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知二次函数图像的顶点坐标为，且与y轴交点的纵坐标为1． (1)求出二次函数的表达式． (2)若此抛物线经过点，，试比较，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把代入，求出a得到抛物线的解析式为； （2）分别计算自变量为和3时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 所以二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 当时，， 所以． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点为，经过点，且与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）． (1)求抛物线的解析式： (2)P为抛物线上一点，连交线段于点Q，若，求P点的横坐标； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， 设抛物线的顶点式为， 把代入，得，解得． ∴抛物线的解析式为． 即：． （2）解：连，由，得，则． 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线为． 根据平移得：直线的解析式为． 联立方程得：， 解得：，（舍去）． 所以，点P的横坐标为． 8．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求得二次函数解析式是解题的关键． （1）将点，代入抛物线解析式，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解答； （2）先将化为顶点式，再根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，将点，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． （1）由、可得，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式，求出当、时相应的的值即可； （3）求出的长为6，要使，则其高为10，再在抛物线上找一点使其纵坐标的绝对值等于10即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴抛物线的解析式为，即， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为，即对称轴为，，开口向上， ∴当时，函数的值随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）解：由题意得：， ， ， 点在抛物线上，抛物线的顶点为， ， 在中，当时，， 解得：，， 点的坐标为或． 10．（2022·贵州铜仁·一模）如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由． (3)当时，有最大值，求的值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)直线与抛物线有两个交点，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根的判别式，二次函数的最大值． （1）把点的坐标代入，可得，从而可得抛物线的解析式； （2）联立直线和抛物线的方程，由根的判别式判断方程的解的个数，从而可得交点的个数； （3）根据与对称轴的关系，进行分类讨论，根据取最大值的情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：直线与抛物线有两个交点，理由： 由得， 整理得， ∴， ∴方程两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 根据题意可得或， 解得或， ∴的值为或． 11．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数， (1)若此二次函数的图象经过，求a的值； (2)若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围； (3)若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质， （1）把已知点代入解析式求出a的值； （2）求出函数值m和n，然后根据题意列不等式求出a的取值范围即可； （3）求出的关系式，根据当时，，即可得到，根据题意得到，求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：∵二次函数的图象经过、， ∴， ， ∵， ∴， 解得：； （3）解：， ， ， 当时，， ∵， ， 即， 解得， ∵时恒成立， ∴， 解得． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线经过点和点． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足时，求y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 【答案】(1)解析式为：；顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等． （1）将点和点代入中求出的值，即可计算出本题答案； （2）利用二次函数顶点式可得当时取得最小值，再求出和时对应的函数值即可得到本题答案； （3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：将点和点代入中得， ，解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴二次函数对称轴为：， ∵， ∴此时函数有最小值， ∵自变量x满足时， 当时，， 当时，， ∴自变量x满足时，y的取值范围为：； （3）解： ①设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为（）， 对称轴为 当，即时，当时，y有最小值，不合题意； 当，即时，当自变量满足时，y随x的增大而减小， 由可知y无最小值，不合题意； ②设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为（）， 对称轴为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即， 解得：（舍去）， 综上所述：的值为． 13．（2025·浙江·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若函数图象过点，， 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最小值与最大值； (2)当时函数值y有最小值，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为；ⅱ， (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式、最值即函数平移相关知识．熟练掌握二次函数的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 利用函数过的两个点，代入坐标列方程组，可求出二次函数的系数，进而得到解析式； ⅱ先将函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，再结合给定区间，判断最值的位置； 根据函数平移规律确定原函数过的点，代入得到系数关系，再结合对称轴和给定区间的最小值，分情况讨论a的取值． 【详解】（1）已知函数图象过点，， 将代入函数得：，即，解得， 将，代入函数得：， 即，，解得， 二次函数的解析式为； 根据知，二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图象开口向上， 当时，y取得最小值，， 比较和到对称轴直线的距离，，， 离对称轴更远． 当时，， （2）函数图象向右平移3个单位过坐标原点，根据函数平移规律“左加右减”，则原函数过点 将代入得： ，即，，化简得， 二次函数的解析式为，其对称轴为， 时函数值y有最小值，分情况讨论： 当时，函数图象开口向上，对称轴直线在范围内， 当时，y取得最小值 将，代入函数得：，即，，解得， 当时，函数图象开口向下，在范围内，函数在端点处取得最小值． 比较和时的函数值： 当时， ； 当时，， ， ， 则当时，y取得最小值，解得， 当时，时，，符合时在端点处取得最小值的情况． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·开学考试）设二次函数（是实数）． (1)若函数的对称轴为直线，求函数的表达式； (2)当时，函数的最大值为4，求的值； (3)已知和是函数图象上的两点，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）函数对称轴为直线，据此求出，即可得到答案； （2）根据函数的最值得到，解得或，即可得到答案； （3）根据a的取值范围分三种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：∵该函数对称轴为直线， ∴， 解得， ∴函数的表达式为； （2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，函数的最大值为4， ∴， 解得或， 故的值为或； （3）∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数随着的增大而减小， ①当时，， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴ ∴ ③当时，函数为，， 即点N的坐标为，即， 当时，则， ∴ ∴符合题意； 综上可知，的取值范围是． 15．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小． (3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)； (3)点的纵坐标． 【分析】（1）依题得出点坐标后可推得点坐标，结合抛物线对称轴可知点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可得解； （2）由推出，即可判断点比点距离对称轴更近，结合二次函数的图象与性质即可得解； （3）设平移后顶点，平移后抛物线解析式为，令，可得点的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：依题得：当时，， 即， ， 则， 抛物线的对称轴为直线，，两点关于对称轴对称， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 抛物线的表达式为； （2）解：， ， 即点比点距离对称轴更近， 由（1）得，，抛物线开口向下，有最大值， ； （3）解：设平移后顶点，则平移后抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴的交点为， 令，则点的纵坐标， 对于任意都有， ， 点的纵坐标． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质、二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题． 16．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， ∴． （2）解：当时，， ∴， 设与轴交于点，过点作于点，   平分，， ∴，， ∴， ∴ ， ， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 抛物线的对称轴为直线， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 当时，解得：或， ∴，， ∴， 当，时，， 解得：或（舍）， ∴； 当时，， 解得或（舍， ∴； 当，时，， ∴， 解得：或舍， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和1．过点A作轴，与抛物线相交于点C，分别以AC，的长为边长向上方作矩形． (1)求抛物线的函数表达式． (2)将矩形先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上．求n关于m的函数表达式，并直接写出自变量m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及求二次函数表达式、图形平移及函数关系，解题的关键是利用交点坐标求函数表达式，结合平移规律和抛物线性质建立函数关系． （1）先根据抛物线求出、两点坐标，再将其代入抛物线的表达式，解方程组得到、的值，确定的表达式． （2）先求出的长度，再根据平移规律得到的坐标为，结合在上，建立与的函数关系，根据平移实际情况确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵当时，，当时，， ∴点的坐标分别为， 将点的坐标代入抛物线的表达式， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知，点的坐标为， ， 平移后点的坐标为， 将点的坐标代入抛物线的表达式， 得，即， ∵， 当时，点不在抛物线上， ∴， ． 18．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线（，为实数）． (1)当该抛物线顶点坐标为时，求抛物线解析式 (2)如图（一）在（1）问条件下，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)当二次函数满足时，若平面内一点，将点左移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后三个对应点都在二次函数图像上，试求和． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，线段的最值问题，平移的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先求出点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是，连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，则是的最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入解析式，进一步即可求出点P的坐标； （3）根据已知可得二次函数为，根据平移得出，，，都在二次函数图象上，分别代入，联立解方程，求得的值，代入进而求得或，进而求得的值，根据即可得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵的顶点坐标为， 当该抛物线顶点坐标为时， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为： （2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得 当时，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是， 如图，连接，交抛物线的对称轴于点P，连接， ∵点A和点B关于直线对称， ∴是的最小值， 则点P即为所求， 设直线的解析式为，把点B和点C的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标是； （3）解：∵二次函数满足 ∴，顶点 ∵平面内一点，将点左移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后三个对应点都在二次函数图像上， ∴，，，都在二次函数图象上 ∴， ∴ 整理得： ∵， ∴① ∵在二次函数图象上 ∴ 将①代入得， 将①代入得： ∴ 解得：或 ∴（舍去）或 ∴ ∴， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $