第07讲 基本不等式（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第07讲 基本不等式 【人教A版】 模块一 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【解题思路】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【解答过程】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解. 【解答过程】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【解答过程】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【解答过程】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D. 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 【变式2.1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【解答过程】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】C 【解题思路】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【解答过程】由题意得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 又因为不等于， 故，即. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【解答过程】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到 ，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． （2）， ， 当且仅当时，即时等号成立． 【变式3.1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】先由题意可得，化简后利用基本不等式可证得，然后再利用基本不等式可证得结论. 【解答过程】证明：因为、为正实数，且满足， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以原不等式成立． 【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【解答过程】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 【变式3.3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 模块二 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为8. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】当时，，函数， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为2. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）4；（2） 【解题思路】（1）由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【变式4.3】（24-25高一上·海南·期中）（1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 【答案】（1）1； （2）6． 【解题思路】（1）由基本不等式求积的最大值； （2）运用常数分离法将所求式化简，利用基本不等式求和的最小值． 【解答过程】（1）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． （2）当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6． 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【解题思路】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【解答过程】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．22 D．26 【答案】C 【解题思路】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【解答过程】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【解题思路】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【变式5.3】（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用表示得，再代入问题代数式化简，最后根据基本不等式即可求出最值； （2）计算得，再令，再利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】（1）由，得. 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. （2）由，得，即. 令，则（当且仅当，即时取等号）. 由，得，故. 整理得，解得或. 又由，得（当且仅当，时取等号）， 故的最小值为. 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【解答过程】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 【变式6.1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【解题思路】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【解答过程】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【解答过程】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当，即时，取得最小值8． 【变式6.3】（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)36. (2). 【解题思路】（1）由基本不等式可得，再求解即可； （2）利用“1”的灵活运用，结合基本不等式即得. 【解答过程】（1）由得，当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为36. （2）由题意可得， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【题型7 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例7】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【解答过程】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 【变式7.2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【解题思路】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【解答过程】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为. 【变式7.3】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)9 (2)． 【解题思路】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. （2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【解答过程】（1）， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． （2）解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 【题型8 利用基本不等式解决实际问题】 【例8】（24-25高一上·江苏南通·期末）用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，列出面积的关系式，再利用基本不等式求解得出结论. 【解答过程】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，菜地的面积为平方米， 则，即，则，， 由基本不等式得， 当且仅当即时，取得最大面积， 所以当有缺口的一边的篱笆长为米时，菜地的面积最大. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式求解最值可得． 【解答过程】依题意，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h． 故选：C. 【变式8.2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【答案】(1)育苗区的长为，宽为； (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式求解和的最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）依题意，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 【变式8.3】（24-25高一上·江苏苏州·期中）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米. (1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？ (2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标） 【答案】(1)答案见解析 (2)能，理由见解析 【解题思路】（1）由贮水池的容积可求得，然后利用基本不等式可求出甲工程队的造价的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论； （2）由题意可知对任意的、，不等式恒成立，可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出实数的取值范围，结合题意判断可得出结论. 【解答过程】（1）解：由题意可知，水池的容积为，可得， 甲工程队的造价为 （元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，将贮水池的池底涉及为边长为米的正方形时，总造价最低，最低造价是元. （2）解：若甲工程队一定能中标成功，则对任意的、， 不等式恒成立， 即对任意的、，恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 令，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，， 所以，要使得甲工程队一定能竞标成功，则， 又因为，所以，甲工程队一定能竞标成功. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式可求最大值. 【解答过程】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 【答案】D 【解题思路】由均值不等式计算可得结果. 【解答过程】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【解题思路】设天平左臂长为a，右臂长为b，第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，由题意得，，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 5．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 6．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【解题思路】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【解答过程】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 7．（24-25高一上·福建漳州·期末）用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件有，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【解答过程】因为，所以， 则， 又，都是正数，所以，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号， 故，得到，当且仅当，时取等号， 故选：B. 8．（2025高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【解题思路】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【解答过程】 ， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·四川广安·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【解题思路】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【解答过程】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知正数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】对于A：利用“1”的妙用，即可判断；对于B：利用基本不等式即可判断；对于C：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断；对于D：利用基本不等式即可判断； 【解答过程】对于选项A：， 当且仅当，即 时取等号，故选项A错误； 对于选项B：因为，则， 当且仅当，即时取等号，故选项B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾， 故，故选项C错误. 对于选项D：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项D正确； 故选：BD. 11．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【解题思路】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【解答过程】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【解题思路】直接利用基本不等式求解即可. 【解答过程】由，则， 所以， 当且仅当 ，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 13．（25-26高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】根据基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值是. 故答案为：. 14．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【解答过程】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 16．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知正数、满足． (1)求的最大值，并求出此时、的值； (2)求的最小值，并求出此时、的值． 【答案】(1)当且仅当时，的最大值为1 (2)，时，的最小值为 【解题思路】（1）直接由基本不等式即可求解； （2）由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）∵，，∴． 又，∴． 当且仅当时等号成立，∴的最大值为1． （2） 当且仅当，即，时，的最小值为． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【解答过程】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 18．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 【答案】(1)=6m，=4m (2)=5m，= 【解题思路】（1）设长为，宽为，则围成四块田地的篱笆总长为，然后由基本不等式可得答案； （2）设长为，宽为，则，然后由基本不等式可得答案. 【解答过程】（1）设长为，宽为， 则围成四块田地的篱笆总长为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故应设计田地的长为6m，宽为4m时，可使围成四块田地的篱笆总长最小； （2）设长为，宽为，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 故应设计田地的长为5m，宽为时，可使每块田地的面积最大. 19．（2025高一上·全国·专题练习）已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据等式条件，对代数式进行换元，再根据基本不等式中的配凑法，证明不等式成立即可. （2）根据参数的范围，构造等式，再根据基本不等式中“1”的运用，求出最小值即可. （3）根据参数的范围，解出关于x的不等式，根据基本不等式，求出代数式的最小值，求出结果. 【解答过程】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以，则. 故的取值范围为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式 【人教A版】 模块一 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【变式1.1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【变式1.2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【变式1.3】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【变式2.3】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证： (1)； (2)． 【变式3.1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：． 【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【变式3.3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 模块二 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4.1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式4.2】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【变式4.3】（24-25高一上·海南·期中）（1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．22 D．26 【变式5.2】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【变式5.3】（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【题型6 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例6】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式6.1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【变式6.2】（24-25高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【变式6.3】（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【题型7 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例7】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·江西南昌·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式7.2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【变式7.3】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型8 利用基本不等式解决实际问题】 【例8】（24-25高一上·江苏南通·期末）用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 【变式8.2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【变式8.3】（24-25高一上·江苏苏州·期中）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米. (1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？ (2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标） 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 4．（2025高三·全国·专题练习）某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 5．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 7．（24-25高一上·福建漳州·期末）用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 二、多选题 9．（24-25高一上·四川广安·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 10．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知正数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 三、填空题 12．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 13．（25-26高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 14．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 16．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知正数、满足． (1)求的最大值，并求出此时、的值； (2)求的最小值，并求出此时、的值． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 18．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 19．（2025高一上·全国·专题练习）已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $