第22章一元二次方程同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第22章 一元二次方程 同步练习 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 4．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 5．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．某商品连续两次涨价，由每件100元涨为每件144元，平均每次上涨的百分比为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 8．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．一元二次方程化成一般形式为(    ) A． B． C． D． 10．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．方程的解是： ． 12．已知关于的方程的一个根是2，则它的另一个根为 ． 13．如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有 ． 14．假如关于的一元二次方程有两个实数根，，且它们满足不等式，则实数的取值范围是 ． 15．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，根据题意，可列出一元二次方程为： ．（只列方程，不需求解） 三、解答题 16．解方程： (1) (2) (3) (4)． 17．已知． (1)化简A； (2)若a为方程的一个解，求A的值． 18．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (3)每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 19．在平面直角坐标系中，函数，其中为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①若点在图象上，则的值为 ； ②若点在图象上，则的值为 ； ③当时，求该函数的最小值； (2)图象过点时，求图象与轴交点的坐标； (3)已知点，点，当图象与线段只有一个交点时，求的取值范围； (4)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求的取值范围； (5)当时，函数图象与直线和分别交于两点，当为等腰三角形时，求的值 20．2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． (1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第22章 一元二次方程 同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A C D A B B A 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，分母有未知数，不是整式方程，故本选项错误，不符合题意； B、，未强调，故本选项错误，不符合题意； C、，整理后为，是一元二次方程，符合题意； D、，是二元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程． 【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为 ∴， 即， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查根的判别式，根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴没有实数根， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，掌握直接开方法解一元二次方程，增长率的计算方法是解题的关键．设平均每次上涨的百分比为x，根据增长率的计算方法列方程即可求解． 【详解】解：设平均每次上涨的百分比为x， 依题意得，， 解得（负值已舍去）， 即平均每次上涨的百分比为， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 8．B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价定为每件元，则由题意得， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程右边的项移到左边，即可解答． 【详解】解：把一元二次方程化为一般形式得． 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题、解一元二次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得， ∴一元二次方程可化为， 解得， 故选：A． 11．， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ，． 故答案为：， 12． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，即可解出方程的另一个根． 【详解】解：设另一个根为m， 由根与系数的关系得， ∴． 故答案为：． 13．3，6，7，9，15 【分析】本题考查了含待定字母的一元二次方程的整数解，求解待定字母的取值．熟练掌握一元二次方程和一元一次方程解的整数性，分情况进行求解，是解答本题的关键． 分、和三种情况考虑，当或9时求出x的值，以此确定或9是否合适；当（，利用分解因式法找出的值，根据以及a均为整数，找出a的值．综上即可得出结论． 【详解】解：∵， 当，即 时， 原方程为， 解得：， ∴合适； 当，即时， 原方程为， 解得， ∴合适； 当，即且 时, ∵， ∴原一元二次方程有有理根， ∵， ∴，， ∴，， ∵x是整数，a是整数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a的值符合的有： 3，7，15． 综上，符合条件的整数的值有3，6，7，9，15． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系为：， ，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得的取值范围，再根据根的判别式求得的取值范围，最后综合情况，求得的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵ ∴ 解得， 又∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， 综合以上可知实数m的取值范围是． 故答案为： 15． 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均变化率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，由题意，可列出一元二次方程为； 故答案为：． 16．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； （）移项，利用直接开平方法解答即可； （）移项，利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式化简求值，一元二次方程的解，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式四则混合运算法则，进行计算即可； （2）根据a为方程的一个解得出，整理得出，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵a为方程的一个解， ， ， ， ． 18．(1) (2)每个毛绒玩具售价应定为50元 (3)每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元 【分析】本题主要考查一次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个”可直接列出函数关系式； （2）由（1）及利润、售价及成本的等量关系式可列方程进行求解； （3）设利润为w元，由（2）及配方法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； ∴该商品销售量y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）可得：， 解得：， ∵尽可能让利于顾客， ∴； 答：每个毛绒玩具售价应定为50元． （3）解：设利润为w元，由题意得： ， ∵， ∴当时，利润w有最大值，最大值为1250； 答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元． 19．(1)①；②或；③2； (2)图象G与x轴交点的坐标为或； (3)或； (4)； (5)或或． 【分析】（1）当时，函数，①将代入函数解析式即可求出a的值；②将代入函数解析式可得，解方程即可；③根据函数的增减性即可取得最小值； （2）当时，根据题意，得，求出m的值，再令即可求出与x轴的交点坐标；当时，根据题意，得，求出m的值，不合题意，舍去； （3）确定临界情况：当时，，求出m的值，当时， ，求出m的值；当经过点时，， 当经过点时，，即可确定m的取值范围； （4）分别当时，时，时，表示出，，再根据，即可求出m的取值范围； （5）当时，当时，利用勾股定理分别表示出的值，再分别讨论为等腰三角形，求出m的值即可． 【详解】（1）解：当时，函数， ①∵点在图象上， ∴， 故答案为：； ②∵点在图象上， 当时，，解得； 当时，，解得； 故答案为：或； ③当时，y随着x增大而增大， ∴当时，y的最小值， 当时，y随着x增大而减小， ∴当时，y的最小值， ∴当时，该函数的最小值为2； （2）解：当时，根据题意，得， 解得， ∴函数， 当时，， 当时，， ∴图象G与x轴交点的坐标为或； 当时，根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）， 综上，图象G与x轴交点的坐标为或； （3）解：根据题意，当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当时，图象与线段只有一个交点； 当经过点时，， 当经过点时，， ∴时，图象与线段只有一个交点； 综上所述：当或时，图象与线段只有一个交点； （4）解：当时，根据题意，时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， ∴，不合题意； 当时，根据题意，时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， ∴，不合题意； 当时，函数取得最大值， 当时， ， 当时， ， 当，即时，函数取得最小值， ∴，符合题意， ∴m的取值范围是； 若当，即时，函数取得最小值， 此时， ∵ ∴ 解得， 综上，满足条件的m的取值范围是； （5）解：当时，根据题意，点，点， ，， ， 为等腰三角形，分情况讨论： ①当时，，解得， ②当时，，化简得， ， 无解； ③当时，，化简得， ， 无解； 当时，根据题意，点，点， ，， ， 为等腰三角形，分情况讨论： ①当时，，解得， ②当时，，解得或， ③当时，，解得或， 综上，满足条件的m的值为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及分段函数，一次函数图象上点的坐标特征，函数最值问题，等腰三角形的判定等，本题综合性较强，难度很大，注意分情况讨论是关键． 20．(1)该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为 (2)每个钥匙扣应降价8元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由表格先得出月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式，然后再根据题意可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，由表格得： ， 解得：， ∴月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：每个钥匙扣应降价8元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $