第24章解直角三角形同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第24章 解直角三角形 同步练习 一、单选题 1．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，点P是边上的动点，则长不可能是（    ） A． B． C．7 D． 3．在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 5．如图，为正方形内一点，且，过作于，为线段上的一动点，若正方形的边长为4，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 6．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点、分别在直角边、上，且，交于点．有下列结论： ；；；． 其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 二、填空题 11．若为锐角，且，则的取值范围是 ． 12．若为锐角，当时，则的值为 ． 13．如图，在中，是边上的中线，则的长度为 ． 14．如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ． 15．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 三、解答题 16．计算：． 17．如图，甲，乙两艘巡逻艇分别在某海域处时，在的正北方向，在的西北方向，且，，海里．（参考数据：，，） (1)求的距离；（结果精确到整数） (2)甲乙收到指令同时出发，在处相遇，已知甲巡逻艇的速度为每小时10海里，乙巡逻艇的速度为每小时20海里，求甲乙相遇时，甲行驶的路程．（结果精确到） 18．如图，在中，，于D，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 19．阅读以下资料： 在中，若记内角所对的三条边分别为，则，或写成．这称为余弦定理，余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边． 请尝试解决以下问题： (1)若，求角的值； (2)若，且，求的值． 20．如图1，矩形中，为的中点，点在边上，与交于点，连接，． (1)若，求的值； (2)如图2，若，求证：矩形为正方形； (3)若，在（2）的条件下，猜想的长度，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第24章 解直角三角形 同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A B C A B B D 1．C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键；根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：． 2．D 【分析】本题考查了含直角三角形的性质；根据含直角三角形的性质求出，得到的取值范围即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点P是边上的动点， ∴， ∴长不可能是， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 5．B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质和正方形的性质及应用，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，等腰三角形的性质可得，从而得到，，，，过点A作交于点E，在上取点F，使得，并连接，可证明，则，是等边三角形，则是的垂直平分线，从而证得是等边三角形，过点P作交于点M，并连接，则，当三点共线时，最小，且最小值为，此时，即可求解. 【详解】解：∵为正方形内一点，， ∴， ∴点在边的中垂线上， 又∵， ∴是边的中垂线， ∴，，， 过点A作交于点E，则，在上取点F，使得，并连接， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点P作交于点M，并连接， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，且最小值为，此时， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；由题意易得，然后根据可分别得出的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 8．B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质可证，过点作于点，可证，得出比例式，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 过点作于点， ， ∴， ， ， ， ， ，且， ， ， 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查勾股定理，角的运算，含30度角的直角三角形；根据题意得到，，利用勾股定理得到，再结合即可求出． 【详解】解：标记点C，点D，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 10．D 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．根据已知条件利用易证，从而得到，结合线段的数量差关系进而得到，即可判断；同时易得为等腰直角三角形，即可判断；根据三角形全等，可得，即可判断；通过证明，得到线段之间的数量关系，即可判断． 【详解】解：在等腰直角中，，是斜边的中点， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意； ， ， ，故正确，符合题意； ，， ， ，即， ，故正确，符合题意； 即都正确，正确的有个． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了锐角三角函数，解一元一次不等式，根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解，理解锐角的正弦值的范围，从而转化为解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据且为锐角，求出，再代入求解即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角，， ∴， ∴ ． 13． 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．勾股定理求得斜边长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是斜边边上的中线， ∴的长度是． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，三角形与坐标系的综合题型，关键在于合理利用辅助线，熟练掌握基础知识是正确解答此题的关键． 首先取的中点，连接，，，可求得与的长，然后由三角形三边关系，求得点到原点的最大距离． 【详解】解：当时，，则； 当时，，则， ∴，，， 如图所示： 取的中点，连接，，， ，，， ，， ， 当，，三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为， 故答案为：． 15．242 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴隧道AB的长度约为. 故答案为：242 ． 16． 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟练掌握各特殊角的锐角三角函数值． 先求出特殊角的锐角三角函数值，再进行二次根式的运算即可． 【详解】解： ． 17．(1)的距离为海里 (2)甲行驶的路程为海里 【分析】本题主要考查方位角，勾股定理的应用，直角三角形的性质，理解方位角的表示，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）根据方位角的计算得到，结合题意得到，根据含30度角的直角三角形，勾股定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，结合题意得到是等腰直角三角形，设甲乙从出发到相遇的时间为小时，则（海里），（海里），在中，由勾股定理得到（海里），在中，，由此得到相遇的时间，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵在的正北方向，在的西北方向， ∴， ∵， ∴， ∵，海里， ∴， ∴在中，（海里）， ∴（海里）， ∴的距离为海里； （2）解：如图所示，过点作于点， 由（1）可知海里，，则是等腰直角三角形， ∴， 设甲乙从出发到相遇的时间为小时， ∴（海里），（海里）， 在中，，即（海里）， ∴（海里）， 在中，，即， 整理得，， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴（海里）， ∴甲行驶的路程为海里． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，求锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）利用勾股定理求出，然后求锐角三角函数的值即可； （2）利用等面积法求出的长，然后求锐角三角函数即可； （3）利用等面积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由等面积法可得，， ∴， ∴； （3）解：由等面积法可得，， ∴． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解三角形，余弦定理的定义，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）将化为，求出，即可求出角的值； （2）根据得到，两边同时除以得，设，解方程即可． 【详解】（1） 即 ∵ ∴； （2）∵，， ∴ 即 两边同时除以得， 设， 则 即 解得：，（舍去） ∴ 20．(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，三角函数，矩形和正方形的性质与判定，解决本题的关键在于知识的灵活应用． （1）结合三角形相似与锐角三角函数得出相似比； （2）利用相似比与线段相等得到邻边相等，即可证出矩形为正方形； （3）根据三角形相似与方程思想列出式子，求解即可得出结果． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵为的中点， ， ∴， ∴， 又∵， ∴∽， ， ∴． （2）证明：∵∽， ∴， 又∵四边形是矩形， ∽， ∴， , ∵， ∴， ∴矩形为正方形． （3） 理由：∵∽， ， ， ∴， ， , ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $