精品解析：四川省乐山第一中学校2026届高三上学期9月月考数学试卷

乐山一中高2026届高三（上）9月月考数学测试卷 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 4. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 5. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 24种 6. 若则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，. A. 0.57 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.84 8. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 某种产品的广告支出费（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应关系如下表. 广告支出x/万元 1.2 2.6 4 5.4 6.8 销售量y/万件 1.4 6 7.3 11.8 13.5 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法中正确的是（ ） A. 第三个样本点对应的残差 B. 在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C. 销售量的变化有97%是由广告支出费引起的 D. 用该回归方程可以比较准确地预测广告支出费为20万元时的销售量 10. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 11. 已知函数，若方程有四个不同的零点，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分别为等差数列的前项和，，则__________. 13. 甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局比赛的胜负互不影响，现采取7局4胜制，则甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率是________． 14. 已知定义在上的函数满足，且关于点对称，当时，则__________. 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，四棱锥，底面是正方形，M为棱的中点，平面平面． （1）求证：平面; （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知曲线在点处的切线的斜率为1. （1）求实数a的值； （2）求函数的单调区间与极值. 17. 已知各项均不为0的数列中，，（是常数，），且是与的等比中项. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 18. 在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，……，中国制造为世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）： 乙 球队 总计 胜 负 未参加比赛 30 70 参加比赛 10 总计 70 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？ （2）根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：，当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4，0.3，0.4，0.2．则： ①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率； ②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率； ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？ 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ． 19. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中． （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）已知函数，求曲线的曲率的最大值； （3）已知函数，若曲率为0时x的最小值分别为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山一中高2026届高三（上）9月月考数学测试卷 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定，可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. 已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质计算． 【详解】因为是正项等比数列，所以，（舍去）， ． 故选：C． 4. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】将化为，展开后利用基本不等式即可求得的最小值，判断A；将平方后利用基本不等式即可判断B；利用基本不等式即可判断C；由基本不等式可推出，即可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值为4，A错误； 对于B，，则， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，B正确； 对于C，，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，C错误； 对于D，因为， 即，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值，D错误， 故选：B 5. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可. 【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法， 然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法， 3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可， 所以总共有：种方式. 故选:B 6. 若则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算比较和的大小，利用构造函数结合导数判断单调性比较的大小，由此得到大小关系. 【详解】， ， ， 因为，所以，即 因为，即， 因为， 构造函数， 求导， 当时，，只需分析分子的正负， 设，求导， 因为，所以，则，所以在上单调递增， 那么当时，，即， 所以分子，则，所以在上单调递减， 且，所以，即， 综上可得. 故选：C. 7. 已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，. A. 0.57 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】由正太分布概率计算及概率乘法公式即可求解. 【详解】， ， 故所求概率， 故选：C. 8. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再求出在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的值范围. 【详解】函数，求导得， 由在区间上有最小值， 得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 二､选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 某种产品的广告支出费（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应关系如下表. 广告支出x/万元 1.2 2.6 4 5.4 6.8 销售量y/万件 1.4 6 7.3 11.8 13.5 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法中正确的是（ ） A. 第三个样本点对应的残差 B. 在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C. 销售量的变化有97%是由广告支出费引起的 D. 用该回归方程可以比较准确地预测广告支出费为20万元时的销售量 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程求得，可得线性回归方程，求解残差判断A与B；由相关系数的意义判断C：由样本的取值范围会影响回归方程的使用范围判断D. 【详解】，， 将其代入回归方程中得，得， 故回归直线方程为，所以，A正确； 由于，所以该回归模型拟合的效果比较好，故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，B错误； 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量的贡献率，，则销售量的变化有97%是由广告支出费引起的，C正确； 由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而20万元远大于表格中广告支出费的值，故用该回归方程不能准确地预测广告支出费为20万元时的销售量，故D错误. 故选：AC 10. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，逐项检验，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确； 对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确； 对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得， 可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数， 易知展开式中第项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，若方程有四个不同的零点，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A；结合对数函数性质可判断B；结合二次函数图象的性质可判断C；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D. 【详解】画出函数的图像如下： 要使方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为， 转化为函数的图象与有四个不同的交点， 由图象，得，故A正确； 当时，，则，故C正确； 当时，令，即，解得， ，故B错误； ∵，， ∴，即，则， 又，， ∵，∴，故D正确， 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：将方程有四个不同的零点问题转化为函数的图象与有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题. 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分别为等差数列的前项和，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得. 【详解】由题意可得， 故答案为：. 13. 甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局比赛的胜负互不影响，现采取7局4胜制，则甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，第5局甲胜，前4局甲胜3局， 所以甲获胜且比赛局数恰好为5局的概率. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足，且关于点对称，当时，则__________. 【答案】1014 【解析】 【分析】可得对称轴，关于点对称可判断为奇函数，两者结合得到周期为4，再计算时对应的值，得到一个周期内的值，最终得到答案 【详解】，对称轴为，即关于直线对称， 关于点对称，设，则，即，化简可得，，故为奇函数 由关于直线对称且是奇函数可得，，由是奇函数可得， ，周期为4 ， ， ， ， ， 自开始，每个周期内的数值依次为 每个周期（例如：，）的值为 时，， 时，, 时，, 时，, 一个周期内的和为 又，故周期数为506，余数为2，最后两项为， 故答案为：1014 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，四棱锥，底面是正方形，M为棱的中点，平面平面． （1）求证：平面; （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） ∵平面平面，平面平面平面， 平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意和（1）知，两两垂直，以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则， 令，得，则． 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 16. 已知曲线在点处的切线的斜率为1. （1）求实数a的值； （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1）1 （2）递减区间为，递增区间为；极小值为，极大值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即求得答案； （2）由（1）可得函数导数，令，以及，即可求得单调区间，进而求得极值. 【小问1详解】 由，得， 曲线在点处的切线的斜率为1， 故； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，则或； 令，则； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 故函数的极小值为，极大值为. 17. 已知各项均不为0的数列中，，（是常数，），且是与的等比中项. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） 由，得，即， ∴数列是以2为首项，为公差的等差数列， ∴，即， 由是与的等比中项，得，即， 解得，∴. （2） ∵， ∴ ∵，，∴，即. 【解析】 【分析】（1）对已知等式变形结合等差数列定义即可得证，进一步得表达式（含参），结合即可求解. （2）由列项相消法先求得表达式，进一步即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，……，中国制造为世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）： 乙 球队 总计 胜 负 未参加比赛 30 70 参加比赛 10 总计 70 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？ （2）根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：，当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4，0.3，0.4，0.2．则： ①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率； ②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率； ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？ 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ． 【答案】（1）认为该球队胜利与乙球员参赛有关联； （2）①0.34； ②； ③因为， ， ， 所以最小，因为当甲球员担任后卫时，球队输球的概率  在四个位置中是最小的，所以应该多让甲球员担当后卫. 【解析】 【分析】（1）应用卡方公式计算卡方值，结合独立检验的基本思想得结论； （2）①应用全概率公式求概率；②由贝叶斯公式及条件概率公式求概率；③应用贝叶斯公式及条件概率公式求概率，并比较大小，即可得结论. 【小问1详解】 依题意，， 零假设为：球队胜利与乙球员参赛无关， 则观测值， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该球队胜利与乙球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001； 【小问2详解】 ①设表示“甲球员担当边锋”；表示“甲球员担当中锋”；表示“甲球员担当后腰”；表示“甲球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”． 则 ． ②； ③应该多让甲球员担当后卫，理由略. 19. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中． （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）已知函数，求曲线的曲率的最大值； （3）已知函数，若曲率为0时x的最小值分别为，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3） 由可得， 记，则； 同理由可得， 记，则， 若曲率为0时，即，可得， 化简可得； 令，则，由可得， 则当时，，此时单调递增，且； 当时，，此时单调递减，且； 则的图象如下图所示： 又，结合的图象可得有两解， 设这两解分别为，且， 又， 因为最小，因此， 由，可设， 故， 化简可得，则， 要证，即证， 即，也即， 即证， 令，则， 所以在在区间上单调递增， 故，故. 【解析】 【分析】（1）根据平均曲率的定义，代入计算可得结果； （2）对函数求导，代入曲率计算公式并化简变形利用基本不等式可求得曲线的曲率的最大值为； （3）根据曲率为0可求得，利用导数判断出函数的单调性，可知的两解分别为，且，令可得，对整理变形并构造函数可得出证明. 【小问1详解】 易知单位圆上圆心角为的圆弧， 根据定义可得平均曲率 【小问2详解】 由可得， 又可得； 所以， 易知，当且仅当时，即时等号成立； 所以， 即曲线的曲率的最大值为. 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明不等式时，利用双变量消元技巧找出的关系式，再通过构造函数并利用导函数判断出其单调性，并求得其最值即可证明得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $