7.4.1二项式定理同步练习-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

7.4.1　二项式定理 一、基础达标 1.二项式(x+2)3的展开式为(　　) A.x3+6x2+6x+8 B.x3+6x2+12x+8 C.x3+12x2+6x+8 D.x3+12x2+12x+8 2.若N=16+32(x-1)+24(x-1)2+8(x-1)3+(x-1)4,则N=(　　) A.(x-1)4 B.(x+1)4 C.(x-3)4 D.(x+3)4 3.在(x+)8的展开式中,含的项的系数为(　　) A.8 B.28 C.56 D.70 4.已知(2x3+)n的展开式的常数项是第七项,则正整数n的值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 5.已知-4+42-43+…+(-1)n4n=729,则n的值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 6.已知(x-2)(x+m)5=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,m为常数,若a0=2,则a5=(　　) A.-7 B.-2 C.3 D.7 7.用二项式定理展开(x+2)4=　 .  8.(1)求(x2-)9的展开式中的常数项; (2)()9的展开式中x3的系数为,求常数a的值. 二、能力提升 9.已知等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,则b1,b2,b3,b4的值分别为(　　) A.0,0,0,0 B.-4,6,-3,0 C.4,-6,4,-1 D.-4,6,-4,1 10.在二项式()24展开式中,有理项共有(　　)项. A.3 B.4 C.5 D.7 11.(1-x2)(x-)6的展开式中,含x2的项的系数是(　　) A.-20 B.5 C.15 D.35 12.(多选题)已知a,b∈N*,函数f(x)=(1+x)a+(1+x)b,其中x的系数为8,则x2的系数可能为(　　) A.12 B.16 C.24 D.28 13.(多选题)已知(x-)n展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,则(　　) A.n=9 B.n=11 C.常数项是672 D.展开式中所有项的系数和是-1 14.(1-2x2)(x+)8的展开式中常数项为　　　　　.(用数字作答)  15.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项. 16.(1)求(2x-)9的展开式中的常数项; (2)若(x2+)6的展开式中x3的系数为,求a的值; (3)求(1+)6(1+)10的展开式中的常数项; (4)若(3x-)n的展开式中各项系数之和为128,求展开式中的系数. 三、拓展探究 17.若(2x-)n展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5,则n等于(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 18.已知(x2-)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为-,其中i2=-1,则展开式中常数项是(　　) A.-45i B.45i C.-45 D.45 参考答案 1.B　二项式(x+2)3=x3+x2×2+x×22+×23=x3+6x2+12x+8.故选B. 2.B　N=16+32(x-1)+24(x-1)2+8(x-1)3+(x-1)4=(x-1)4+(x-1)3·2+(x-1)2·22+(x-1)·23+24=(x-1+2)4=(x+1)4.故选B. 3.B　展开式的通项公式Tr+1=·x8-r·x-r=x8-2r,当8-2r=-4,即r=6时,有=28,所以含的项的系数为28.故选B. 4.B　由二项式展开式的通项公式可知,展开式的第七项为T6+1=·(2x3)n-6·x-6=2n-6··x3n-24,又因为第七项为常数项,所以3n-24=0,n=8.故选B. 5.B　由-4+42-43+…+(-1)n4n=729得·1n·(-4)0+·1n-1·(-4)1+·1n-2·(-4)2+·1n-3·(-4)3+…+·10·(-4)n=729,则(1-4)n=729,即(-3)n=729=(-3)6,解得n=6.故选B. 6.A　(x+m)5展开式的通项为Tr+1=x5-rmr,r=0,1,2,3,4,5,所以a0=2=-2×m5,解得m=-1,所以a5=1××(-1)+(-2)××(-1)0=-7.故选A. 7.x4+8x3+24x2+32x+16　(x+2)4=x420+x321+x222+x123+x024=x4+8x3+24x2+32x+16.故答案为x4+8x3+24x2+32x+16. 8.解 (1)由题意,二项式(x2-)9展开式的通项为Tr+1=x18-3r,令18-3r=0,可得r=6,T7=,所以展开式的常数项为. (2)由二项式()9展开式为Tr+1=·a9-r,令r-9=3,解得r=8.因为()9的展开式中x3的系数为,可得·a·,解得a=4. 9.D　依题意,x4=[(x+1)-1]4=·(x+1)4·(-1)0+·(x+1)3·(-1)+·(x+1)2·(-1)2+·(x+1)1·(-1)3+·(x+1)0·(-1)4=(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1,且x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,所以b1=-4,b2=6,b3=-4,b4=1.故选D. 10.D　二项式()24展开式中,通项为Tr+1=,其中r=0,1,2,…,24,r的取值只需满足6-r∈Z,则r=0,4,8,12,16,20,24,即有理项共有7项.故选D. 11.D　二项式(x-)6的展开式的通项Tk+1=x6-k=(-1)kx6-2k,则含x2的项的系数为1·(-1)2-1·(-1)3=35.故选D. 12.AB　x的系数为8,则=a+b=8,当时,x2的系数为=21;当时,则x2的系数为(a2-a+b2-b)=(a+b)(a+b-1)-ab=28-ab.因为a,b∈N*,所以ab可能为12,15,16,则28-ab可取12,13,16.故选AB. 13.AD　由,可得n=9,则选项A判断正确,选项B判断错误;(x-)n的展开式的通项公式为x9-r(-2)rx-2r=(-2)rx9-3r,令9-3r=0,则r=3,则展开式的常数项是(-2)3=-672,选项C判断错误;展开式中所有项的系数和是(1-)9=-1,选项D判断正确.故选AD. 14.-2 464　(x+)8的展开式的通项Tr+1=x8-r·()r=2rx8-2r(r=0,1,2,…,8).当r=4时,其展开式的常数项为24=1 120;当r=5时,其展开式中的系数为25=1 792,则(1-2x2)·(x+)8的展开式中常数项为1 120-2×1 792=-2 464.故答案为-2 464. 15.解 当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4. 因为(1+x)3的展开式的通项为xr,(1+2x)4的展开式的通项为(2x)k,所以f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2. 16.解 (1)(2x-)9的展开式通项为Tr+1,则Tr+1=·(2x)9-r··29-r·(-1)r·,当r=6时,T7=×23=672,故的展开式中的常数项为672. (2)设(x2+)6的展开式通项为Tr+1,则Tr+1=·(x-1)r=·()r·x12-3r,当r=3时,结合题意得此时T4=·()3·x3=x3⇒·()3=⇒a=2,故a的值为2. (3)设(1+)6,(1+)10的展开式通项分别为Tr+1,Hm+1,则Tr+1=,Hm+1=,当r=m=0时,T1×H1=1;当r=3,m=4时,T4×H5=4 200;当r=6,m=8时,T7×H9=45,故(1+)6(1+)10的展开式中的常数项为1+4 200+45=4 246. (4)令x=1,则由题意可知2n=128⇒n=7,设(3x-)n的展开式通项为Tr+1,则Tr+1=(3x)7-r37-r(-1)r,当r=6时,T7=×3x-3=21x-3,故展开式中的系数为21. 17.B　(2x-)n展开式的通项为Tr+1=(2x)n-r(-)r=(-1)r2n-rxn-2r,令n-2r=-2,得r=,故含项的系数为,令n-2r=-4,得r=,故含项的系数为,∴=-5,=-5,将n=4,6,8,10代入检验得n=6.故选B. 18.D　由二项式展开式通项公式可得第k+1项为Tk+1=x2n-2k(-i)k=(-i)k,故第三项与第五项的系数之比为=-=-⇒-=-⇒n2-5n-50=0,解得n=10(n∈N*),由2n-=0⇒k=8,得常数项为T9=(-i)8=45.故选D. 7 学科网（北京）股份有限公司 $