基本不等式 课时作业-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《基本不等式》课时作业 1．不等式a2＋≥6中，等号成立的条件是(　　) A．a＝6 B．a＝ C．a＝－ D．a＝± 2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 3．已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　) A． B． C． D． 4．下列几个不等式中，等号不成立的是(　　) A．＋≥2(x>0) B．|x|＋≥2(x≠0) C．－－≥1(x<0) D．＋≥2(x∈R) 5．函数y＝(x≥0)的最小值是(　　) A．－1 B．3 C．6 D．12 6．(多选)下列关于使用基本不等式的说法正确的是(　　) A．由于x<－2，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B.由于x>1，所以x＋≥2≥2 C．由于＝＋≥2，故的最小值为2 D．由于x>0，所以＝≤＝，故的最大值为 7．(多选)设a，b为正实数，ab＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a＋b≥4 B．a2＋b2≤8 C．＋≥1 D．＋≤2 8．(2025·广东广州阶段练习)已知0<x<，则当2x(1－2x)取最大值时x的值为______． 9．(2025·陕西咸阳期中)函数y＝1＋2x2＋的最小值是_______． 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《基本不等式》课时作业 1．不等式a2＋≥6中，等号成立的条件是(　D　) A．a＝6 B．a＝ C．a＝－ D．a＝± 解析：此不等式中等号成立的条件为a2＝，即a＝±.故选D. 2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　A　) A．400 B．100 C．40 D．20 解析：∵≤(x>0，y>0)，∴xy≤＝＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，∴xy的最大值是400.故选A. 3．已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　B　) A． B． C． D． 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B. 4．下列几个不等式中，等号不成立的是(　D　) A．＋≥2(x>0) B．|x|＋≥2(x≠0) C．－－≥1(x<0) D．＋≥2(x∈R) 解析：对于A，当且仅当＝，即x＝1时等号成立；对于B，当且仅当|x|＝，即x＝±时等号成立；对于C，当且仅当－＝－，即x＝－8时等号成立；对于D，当且仅当＝，即x2＝－4时等号成立，无解，等号不成立．故选D. 5．函数y＝(x≥0)的最小值是(　A　) A．－1 B．3 C．6 D．12 解析：y＝＝x＋1＋－7(x≥0).因为x≥0，所以x＋1＋≥2＝6，当且仅当x＋1＝3，即x＝2时，等号成立．故y的最小值为－1.故选A. 6．(多选)下列关于使用基本不等式的说法正确的是(　AD　) A．由于x<－2，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B.由于x>1，所以x＋≥2≥2 C．由于＝＋≥2，故的最小值为2 D．由于x>0，所以＝≤＝，故的最大值为 解析：对于A，由于x＋2<0，所以x＋＝x＋2＋－2＝－2－≤－2－2＝－4，当且仅当x＝－3时等号成立，故正确；对于B，“正”具备，但不为定值，故错误；对于C，当且仅当＝时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正、二定、三相等都具备，故正确．故选AD. 7．(多选)设a，b为正实数，ab＝4，则下列不等式中恒成立的是(　AC　) A．a＋b≥4 B．a2＋b2≤8 C．＋≥1 D．＋≤2 解析：对于A，由基本不等式得a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，A正确；对于B，当a＝1，b＝4时，ab＝4，但a2＋b2＝17>8，B错误；对于C，由基本不等式得＋≥2＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，C正确；对于D，当a＝1，b＝4时，ab＝4，但＋＝3>2，D错误．故选AC. 8．(2025·广东广州阶段练习)已知0<x<，则当2x(1－2x)取最大值时x的值为． 解析：因为0<x<，所以0<1－2x<1，则2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，所以当2x(1－2x)取最大值时x的值为. 9．(2025·陕西咸阳期中)函数y＝1＋2x2＋的最小值是9． 解析：y＝1＋2x2＋≥1＋2×4＝9，当且仅当x＝±时等号成立，故所求最小值为9. 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)∵x>0，y>0，2x＋8y－xy＝0， ∴xy＝2x＋8y≥2＝8， 当且仅当2x＝8y时取等号， ∴≥8， ∴xy≥64，当且仅当x＝4y＝16时取等号， 故xy的最小值为64. (2)∵2x＋8y＝xy，则＋＝1， 又∵x>0，y>0， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝2y＝12时取等号， 故x＋y的最小值为18. 学科网（北京）股份有限公司 $