5.3实际问题与一元一次方程 强基训练 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程 强基训练 一、单选题 1．日历上竖列相邻三个数的和为，则三个数中最大的数是（　　） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，设该分派站现有派送员人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了xh，则x为（    ） A．1.5 B．0.75 C． D． 7．某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．某服装店同时以300元的价钱出售两件不同进价的衣服，其中一件赚了20%，而另一件亏损了20%．则这单买卖是（    ） A．不赚不亏 B．赚了 C．亏了 D．无法确定 二、填空题 9．比的3倍大5的数等于a的2倍，依题意列出的方程是 ． 10．有含盐率为的盐水，如果要将盐水浓度提高到，那么需要蒸发掉 水． 11．将一个棱长是20厘米的正方体，锻压成长为80厘米，宽为10厘米的长方体，则此长方体的高为 厘米． 12．【问题背景】跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马 天可以追上慢马． 【尝试应用】某仓库有一批货物需要搬运出去，并且还匀速接收新运进的同类货物．如果安排1台机器和10名工人搬运，需要8小时清空仓库（将仓库内原有货物和8小时新接收的货物刚好运完）；如果安排2台机器和8名工人搬运，需要6小时清空仓库；已知一台机器的工作效率相当于5名工人的工作效率之和．如果只安排机器搬运，需要3小时清空仓库，则需要安排 台机器搬运． 13．用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm，则围成长方形的面积为 ． 14．昆曲高速公路全长，甲、乙两车同时从昆明，曲靖两地高速公路收费站相向匀速出发，经过相遇，甲车每小时比乙车每小时多行驶．求甲，乙两车的速度． 解： ． 设乙车的速度为， 则甲车的速度为 ． 根据题意，得 ， 解得 ，则 ． 答：甲车的速度为 ，乙车的速度为 ． 三、解答题 15．现对某商品降价促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？ 16．小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米， (1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表示） (2)则小刚用几分钟可以追上小明？ 17．将10个同样的小长方形纸片按如图1所示的方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分也恰被分割为两个长方形，分别记为阴影部分P和阴影部分．已知，．10个小长方形纸片中每个小长方形较短一边的长度为． (1)每个小长方形纸片较长一边的长度是______（用含a的式子表示）； (2)若图中阴影部分P和阴影部分的周长相等． ①试求a的值； ②若将的长增加，如图2，此时阴影部分P增加的面积为，阴影部分增加的面积为，求的值． 18．一名极限运动员在静水中的划船速度为12千米/时，今往返于某两地之间，逆流时用了10小时，顺流时用了6小时，求此河的水流速度． 思路分析： 逆流速度静水速度______________水流速度，顺流速度静水速度______________水流速度， 根据相等关系：顺流行程逆流行程，可列方程求解． 解：设此河的水流速度为x千米时． 根据题意，得______________， 解这个方程，得______________． 答：此河的水流速度为______________千米/时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年9月12日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B D A C B C 1．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用-日历问题，设中间的数为x，其他两个为与，根据三个日期数之和为57，列出方程，再求解即可． 【详解】解：设中间的数为x，其他两个为与，根据题意得： 解得：， 则这一列三个数中最大的数为． 故选：A 2．A 【分析】本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程解决应用题，设共有个人，根据等量关系列出方程即可得到答案，读懂题意，由物品总价值不变建立等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设共有个人，则可列方程为， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设该分派站有名快递员，根据“每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件”，以包裹总数量为等量关系列方程即可． 【详解】解：设该分派站现有派送员人， 由题意得：， 故选：B． 4．D 【分析】设小莉家该月用水x吨，根据水费的计算方法，每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元，超过10吨的部分每吨3.5元，将x吨水分为两部分，10吨和超过10吨的部分，分别算出水费相加，列出关于x的方程即可． 【详解】解：设小莉家该月用水x吨，根据题意得： ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，是解题的关键． 5．A 【分析】由题意，先求出AB的长度，然后对P、Q两点的运动方向进行分析：当P、Q相向运动时可判断①；当点P在前，点Q在后运动可判断②；当点Q在前，点P在后可判断③；当P、Q反向运动或相向运动相遇后时，可判断④． 【详解】解：根据题意， ∵点A表示4，点B表示2， ∴， 当点P、Q相向运动时，设t秒后P、Q重合， ∴， ∴；故①正确； 当点P在前，点Q在后运动时，设t秒后P、Q重合， ， ∴；故②正确； 当点Q在前，点P在后时，设t秒后， ∴， ∴；故③正确； 当P、Q反向运动时，设t秒后， ∴， ∴； 当P、Q两点相遇后再相距18，则 ， ∴； ∴④的说法错误； ∴正确的说法有①②③； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，解题的关键是把各个距离用含有t的代数式表示和列方程是解决问题的两项重要任务． 6．C 【分析】整个运动过程可看成二者相对运动了15×2（km），根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：50x＋40x＝15×2，即50x＋40x＝30， 解得：x， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．B 【分析】运用工作效率乘工作时间等于工作量列代数式，甲队工作量加乙队工作量等于1列方程． 【详解】两队合作需要x天完成，由题意得，，即（）x=1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，甲乙两队的工作量与总工作量的关系． 8．C 【分析】设赚钱的那件衣服的进价为x元，亏损的那件衣服的进价为y元，根据售价－进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之可求出x、y的值，再用两件衣服的售价－两件衣服的进价即可求出这单买卖的亏损情况． 【详解】解：设赚钱的那件衣服的进价为x元，亏损的那件衣服的进价为y元， 由题意得：300－x＝0.2x，300－y＝－0.2y， 解得：x=250，y=375 ∵300×2－250－375＝－25(元) ∴这单买卖亏损25元． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9． 【分析】的3倍，即为，则比的3倍大5的数为，a的2倍即为，由此建立方程即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确表示出的3倍大5的数和a的2倍的数是解题的关键． 10．23 【分析】设需要蒸发掉x千克水，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了跨学科综合，一元一次方程的应用，熟练掌握化学性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设需要蒸发掉x千克水， 根据题意，得， 解得． 故答案为：23． 11．10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 根据正方体的体积和长方体的体积相等，列方程求解即可． 【详解】解：设长方体的高为厘米， 根据题意得， 解得：． 因此长方体的高为10厘米． 故答案为：10． 12． 20 6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设快马天可以追上慢马，根据两马的速度之差快马出发的时间慢马的速度慢马提前出发的时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． （2）设每名工人1小时的搬运量是单位“1”，则每小时新增加货物量为，原有货物量为．设要安排x台机器搬运，再列出方程求解即可． 【详解】[问题背景] 解：设快马天可以追上慢马， 依题意，得：． 解得：， 所以快马20天可以追上慢马， 故答案为：20． [尝试应用] 解：设每名工人1小时的搬运量是单位“1”，则每小时新增加货物量为，原有货物量为． 设要安排x台机器搬运，依题意，得： ， 解得：． 所以如果只安排机器搬运，需要3小时清空仓库，则需要安排6台机器搬运． 故答案为：6 13．375 【分析】设长方形的长为xcm，则宽为（x-10）cm，然后运用长方形的周长求得x，进而求得长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：设长方形的长为x，则宽为x-10 由题意得：2（x+x-10）=80，解得x=25 则长方形的宽为25-10=15 所以围成长方形的面积为15×25=375． 故答案为：375． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程、求得长方形的长和宽是解答本题的关键． 14． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：． 设乙车的速度为， 则甲车的速度为． 根据题意，得， 解得，则． 答：甲车的速度为，乙车的速度为． 故答案为：；；；；；；． 15． 【分析】首先根据题意设出原价与销售量要比按原价销售时增加的百分数，等量关系是：原价×（1−20%）×（1＋增加的百分数）＝原销售总额． 【详解】设销售量要比按原价销售时增加的百分数是x，原价为a元，由题意得： 0.8a×（1＋x）＝a， 解得：x＝25%． 答：销售量要比按原价销售时增加25%． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 16．(1)， (2)小刚用5分钟可以追上小明． 【分析】（1）根据路程速度时间可解决问题； （2）设小刚x分钟可以追上小明，根据路程速度×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：小刚出发经过x分钟后，小刚走了米，小明走了米， 故答案为：，； （2）解：设小刚用x分钟可以追上小明， 根据题意得：， 解得：． 答：小刚用5分钟可以追上小明． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程速度时间列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 17．(1) (2)①6，② 【分析】本题主要考查列代数式、整式的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是找到图形中等量和变量， （1）设每个小长方形纸片较长一边的长度是，则，即可求出用a表示的y的值； （2）①根据题意得，，即可求得和，可表示出P的阴影部分周长、Q的阴影部分周长，列出等量关系即可求得a；②根据题意可得阴影部分P长度不变，宽度增加10，则增加的面积，阴影部分长度不变，宽度增加10，则增加的面积，代入求解即可． 【详解】（1）解：设每个小长方形纸片较长一边的长度是， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）①如图， ∵，， ∴，， 则P的阴影部分周长为， Q的阴影部分周长为， ∵阴影部分P和阴影部分的周长相等， ∴，解得； ②根据题意可知，阴影部分P长度不变为，宽度增加10，则增加的面积，阴影部分长度不变为，宽度增加10，则增加的面积， 则． 18．；；；3；3 【分析】可设水流的速度为每小时千米，根据顺流和逆流的行程相等，列出方程求解即可． 【详解】解：思路分析： 逆流速度静水速度水流速度，顺流速度静水速度水流速度， 根据相等关系：顺流行程逆流行程，可列方程求解． 设水流的速度为每小时千米，由题意得 ， 解得． 答：水流的速度是每小时3千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 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