2.1 利用二次函数解决利润问题（教学设计）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦于利用二次函数解决利润问题这一核心知识点，通过真实生活情境导入，从T恤衫销售单价与利润的关系出发，逐步引导学生抽象出变量关系、建立函数模型，并运用顶点公式或配方法求解最大值，形成“问题—建模—求解—解释”的完整学习链条，构建清晰的知识支架。 本资料突出体现数学核心素养中的“观察”“思维”“表达”三方面能力，以典型例题为载体，如宾馆房间定价和广告费投入等实际问题，让学生在分析数量关系中发展抽象能力和数据意识，在推理计算中强化逻辑思维，在表达函数关系中提升模型观念。教学过程环环相扣，注重数形结合与问题驱动，既帮助学生理解二次函数的实际意义，又提升教师课堂组织效率与教学深度，实现知识迁移与能力进阶的双重目标。

教学设计 课程基本信息 授课老师 授课班级 班级人数 课题 利用二次函数解决利润问题 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：学生能够从实际生活问题中抽象出二次函数模型，理解利润与销售单价之间的关系。 （2）会用数学的思维思考现实世界：学生能够通过分析二次函数的图象和性质，探索并确定利润的最大值，解决实际问题。 （3）会用数学的语言表达现实世界：学生能够用数学符号和表达式准确描述利润与销售单价之间的函数关系，并解释其实际意义。 教学重难点 （1）从实际问题中抽象出二次函数模型，理解如何将利润问题转化为数学问题，并建立相应的函数关系式。 （2）运用二次函数的性质（如顶点坐标公式、配方法等）求解最大利润问题，理解 “何时获得最大利润” 的数学意义。 教学内容 （1）本节课的主要教学内容是如何利用二次函数解决实际生活中的利润问题。 （2）本节课主要介绍了如何建立二次函数模型，以及如何利用二次函数的性质，如最大值和最小值，来解决实际问题。课程中还涵盖了如何从实际问题中抽象出数学模型，以及如何应用数形结合的思想方法。 （3）通过学习本节课，学生能够理解二次函数的实际应用，并学会如何将实际问题转化为数学问题进行解决。此外，学生还能增强数学学习的信心，体会到数学在解决实际问题中的应用价值，进而提高他们分析问题和解决问题的能力。 教学过程 一、情景导入，初步认知 问题： 某商店经营 T 恤衫，已知成批购进时单价是 20 元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是 35 元时，销售量是 600 件，而单价每降低 1 元，就可以多销售 200 件。若设销售单价为 x (20＜x＜35 的整数) 元，该商店所获利润为 y 元。请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？ （教师展示问题，并引导学生思考） （生：这是一个实际生活中的问题，需要找到合适的数学模型来解决。） 教师说明： 通过生活中的实例，让学生更贴近实际生活，更好地理解题意，激发他们的学习兴趣。 二、思考探究，获取新知 1. 教师提问： （1）此题主要研究哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （生：研究的是销售单价和利润之间的关系。销售单价是自变量，利润是因变量。） （2）销售量可以表示为 ；销售额 (销售总收入）可以表示为 ；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 。 （生：销售量是 ，销售额是 ，利润是 。） （3）当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元。 （生：经过计算，得到销售单价为 元时，可以获得最大利润 元。） 2. 在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考 “何时获得最大利润” 的数学意义。 （教师板书：） （生：这是一个二次函数，我们可以利用二次函数的性质来求最大值。） 归纳结论： 求二次函数最大（小）值的方法： （1）配方化为顶点式求最大（小）值； （2）直接代入顶点坐标公式求最大（小）值； （3）利用图象找顶点求最大（小）值。 三、运用新知，深化理解 1. 见教材 P48 例 2。 （教师指导学生阅读教材 P48 例 2，并带领学生一起分析解答。） 2. 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元 (为 10 的正整数倍)。 （1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围。 （生：一天订住的房间数 ，自变量 x 的取值范围是 。） （2）设宾馆一天的利润为 W 元，求 W 与 x 的函数关系式。 （生：每个房间的利润是 ，则一天的总利润 。） （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ （生：通过计算，得到当 元时，最大利润 元。） 3. 某商店将每件进价 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出约 100 件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加约 10 件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值。 （生：设每件商品降价 x 元（0＜x＜2），该商品每天的利润为 y 元。商品每天的利润 y 与 x 的函数关系式是：即 。） 解：配方得 。 （生：因为 x=1/2 时，满足 0≤x≤2。所以当 x=1/2 时，函数取得最大值，最大值y=225。） 答：将这种商品的售价降低 1/2 元时，能使销售利润最大。 4. 某公司生产的某种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是 x (十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如下表： x (十万元) 0 1 2 3 4 y 1 1.5 2 2.5 3 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （生：通过表格数据，可以拟合出二次函数关系式 。） （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S (十万元）与广告费 x（十万元）的函数关系式； （生：年利润 。） （3）如果投入的年广告费为 10〜30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ （生：通过求导或观察函数图像，可以得到公司在广告费为 10～20 万元时，利润随广告费的增大而增大。） 四、师生互动，课堂小结 教师总结： 今天我们学习了如何利用二次函数解决实际生活中的利润问题。关键步骤包括： 建立二次函数模型； 确定自变量和因变量； 利用二次函数的性质求最大值； 通过实际问题进一步理解二次函数的应用。 归纳方法： 配方化为顶点式求 最大 (小) 值； 直接代入顶点坐标公式求 最大 (小) 值； 利用图象找顶点求 最大 (小) 值。 教师提问： 在今天的学习中，你有哪些收获？ （生：我学会了如何利用二次函数解决实际问题，理解了二次函数的最大值和最小值的意义。） 教师总结： 通过今天的练习，我们巩固了二次函数的知识，并将其应用到实际生活中。希望大家能够继续努力，不断提升自己的数学能力。 学科网（北京）股份有限公司 $