21.2 二次函数的图像和性质讲义 2025-2026学年沪科版数学九年级上册

专题：二次函数的图像与性质 考点一 顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像及性质 (1)已知二次函数顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，则： ①顶点是 ；②对称轴为 ；③最值是 . ( 左右 平移 ： 左加右减 | h | 个单位 上下平移 ： 上加下减 | k | 个单位 )(2)函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2平移得到： y＝ax2————————————————→y＝a(x－h)2＋k； (3)对称结论：若抛物线上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)满足y1＝y2，则A、B两点关于对称轴对称，且对称轴为直线x= . 【例1】1．对于二次函数的性质，下列描述正确的是(    D   ) A． 开口向下 B． 对称轴是直线 C． 顶点坐标是 D． 的图象可由的图象向右平移个单位得到 2．已知二次函数为常数，当自变量的值满足时，其对应的函数值的最小值为，则(    B   ) A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 3．将抛物线y＝x2－2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线对应的函数表达式是 y＝x2－2x＋3 ． 4．点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为 ． 考点二 一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像及性质 (1)配方：y＝ax2＋bx＋c= ； (2)已知二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则： ①顶点坐标公式： ； ②对称轴公式：直线x＝ ； ③最值公式：当x＝ 时，y最值＝ . 【例2】1．将抛物线平移到抛物线，正确的平移方法是(    D  ) A．先向左移个，再向上移个单位 B．先向左移个，再向下移个单位 C．先向右移个，再向上移个单位 D．先向右移个，再向下移个单位 2．已知二次函数的图象关于轴对称，则下列结论不正确的是   D    A． B． 拋物线的开口向上 C． 当时，随的增大而增大 D． 当时，函数有最小值 3．已知抛物线过点和，则： (1)的值为   ； (2)若点，，都在该抛物线上，则，，大小关系是 (用＜连接)． 4．已知抛物线，则： (1)当－≤x≤3时，y的取值范围是 － ； (2)当0≤x≤m时，y的取值范围是－，则实数m的取值范围为 2≤m≤4 . 考点三 二次函数图像与与a，b，c的符号关系 (1) a的符号：由开口方向决定，开口向上a>0，开口向下a<0； (2) b的符号：由 对称轴 的位置确定，简记为“左同右异 ” ； (3) c的符号：由 y 轴的交点位置确定，c又叫y轴“截距 ” ； (4) a±b+c的符号：由x＝±1 时对应函数值y的符号确定； (5) 4a±2b+c的符号：由x＝±2 时对应函数值y的符号确定； (6) 2a±b的符号：由x＝－与±1 的大小关系整理得到； (7) b2－4ac的符号：由抛物线与 x 轴的交点个数确定． 【例3】1．一次函数与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    B ) A． B． C． D． 2．抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方以下结论正确的是(    C  ) A． B． C． D． 3．已知二次函数 关于直线对称，其图象如图所示，下列结论中： 若， 且，则 其中正确的结论是 ． 考点四 二次函数图像与方程、不等式的关系 【例4】1．二次函数的图象关于直线对称，与轴交于点，其部分图象如图所示，下列结论中不成立的是(    D  ) A． B． ； C． 关于的方程有 两个不相等的实数根 D． 当时， 2．已知抛物线的与坐标轴恰有2个公共点，则实数的值为 或0 ． 3．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ； 的解集为； 若关于的方程有两个根和，且，则； 若方程有四个根，则这四个根的和为 其中正确的结论有 ※课后练习 1．若抛物线有最小值为，则(    A ) A． ， B． ， C． ， D． ， 2．已知点在二次函数图象上，则的最大值是 C     A． B． C． D． 3．二次函数的部分对应值如下表所示： 则当时，的取值范围为(   C  ) A． B． C． 或 D． 或 4．如图，抛物线的对称轴是直线， 并与轴交于，两点，若，则下列结论： ； ； ； 其中正确的结论有(  C   ) A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 5．已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，则下列结论正确的是(    B ) A． B． C． D． 6．已知二次函数图像经过，两点，则的值为 ． 7．已知将抛物线先上移5个单位，再向左移2个单 位，得到新的抛物线，则： (1)抛物线的关系式为 ； (2)若，则的取值范围是 ． 8．已知抛物线，对任意的自变量都有，若该抛物线经过点，点，且，则的取值范围是 ． 9．对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，求实数的取值范围． 解：抛物线与轴都有公共点， 恒成立， 恒成立， ， 的最小值即为的最大值， . 10．如图，抛物线经过点，，，直线与抛物线的对称轴交于点． 求抛物线的表达式 点在直线上方的抛物线上运动，当的面积最大时，求点的坐标 若点为平面内的一点，且以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】解：将，，代入， 解得 ； 过点作轴交直线于点， 设直线的解析式为， 解得 ， 设，则， ， ， 当时，的面积最大， 此时； 点的坐标为或或．  学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：二次函数的图像与性质 考点一 顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像及性质 (1)已知二次函数顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，则： ①顶点是 ；②对称轴为 ；③最值是 . ( 左右 平移 ： 个单位 上下平移 ： 个单位 )(2)函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2平移得到： y＝ax2————————————————→y＝a(x－h)2＋k； (3)对称结论：若抛物线上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)满足y1＝y2，则A、B两点关于对称轴对称，且对称轴为直线x= . 【例1】1．对于二次函数的性质，下列描述正确的是(      ) A． 开口向下 B． 对称轴是直线 C． 顶点坐标是 D． 的图象可由的图象向右平移个单位得到 2．已知二次函数为常数，当自变量的值满足时，其对应的函数值的最小值为，则(      ) A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 3．将抛物线y＝x2－2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线对应的函数表达式是 ． 4．点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为 ． 考点二 一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像及性质 (1)配方：y＝ax2＋bx＋c= ； (2)已知二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则： ①顶点坐标公式： ； ②对称轴公式：直线x＝ ； ③最值公式：当x＝ 时，y最值＝ . 【例2】1．将抛物线平移到抛物线，正确的平移方法是(      ) A．先向左移个，再向上移个单位 B．先向左移个，再向下移个单位 C．先向右移个，再向上移个单位 D．先向右移个，再向下移个单位 2．已知二次函数的图象关于轴对称，则下列结论不正确的是(      ) A． B． 拋物线的开口向上 C． 当时，随的增大而增大 D． 当时，函数有最小值 3．已知抛物线过点和，则： (1)的值为   ； (2)若点，，都在该抛物线上，则，，大小关系是 (用＜连接)． 4．已知抛物线，则： (1)当－≤x≤3时，y的取值范围是 ； (2)当0≤x≤m时，y的取值范围是－，则实数m的取值范围为 . 考点三 二次函数图像与与a，b，c的符号关系 (1) a的符号：由开口方向决定，开口向上a>0，开口向下a<0； (2) b的符号：由 的位置确定，简记为“ ” ； (3) c的符号：由 轴的交点位置确定，c又叫y轴“ ” ； (4) a±b+c的符号：由x＝ 时对应函数值y的符号确定； (5) 4a±2b+c的符号：由x＝ 时对应函数值y的符号确定； (6) 2a±b的符号：由x＝－与 的大小关系整理得到； (7) b2－4ac的符号：由抛物线与 轴的交点个数确定． 【例3】1．一次函数与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(      ) A． B． C． D． 2．抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方以下结论正确的是(      ) A． B． C． D． 3．已知二次函数 关于直线对称，其图象如图所示，下列结论中： 若， 且，则 其中正确的结论是 ． 考点四 二次函数图像与方程、不等式的关系 【例4】1．二次函数的图象关于直线对称，与轴交于点，其部分图象如图所示，下列结论中不成立的是(      ) A． B． ； C． 关于的方程有 两个不相等的实数根 D． 当时， 2．已知抛物线的与坐标轴恰有2个公共点，则实数的值为 ． 3．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ； 的解集为； 若关于的方程有两个根和，且，则； 若方程有四个根，则这四个根的和为 其中正确的结论有 ※课后练习 1．若抛物线有最小值为，则(      ) A． ， B． ， C． ， D． ， 2．已知点在二次函数图象上，则的最大值是(      ) A． B． C． D． 3．二次函数的部分对应值如下表所示： 则当时，的取值范围为(      ) A． B． C． 或 D． 或 4．如图，抛物线的对称轴是直线， 并与轴交于，两点，若，则下列结论： ； ； ； 其中正确的结论有(      ) A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 5．已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，则下列结论正确的是(      ) A． B． C． D． 6．已知二次函数图像经过，两点，则的值为 ． 7．已知将抛物线先上移5个单位，再向左移2个单 位，得到新的抛物线，则： (1)抛物线的关系式为 ； (2)若，则的取值范围是 ． 8．已知抛物线，对任意的自变量都有，若该抛物线经过点，点，且，则的取值范围是 ． 9．对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，求实数的取值范围． 10．如图，抛物线经过点，，，直线与抛物线的对称轴交于点． 求抛物线的表达式 点在直线上方的抛物线上运动，当的面积最大时，求点的坐标 若点为平面内的一点，且以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $专题：二次函数的图像与性质 考点一顶点式y=a(x十h)+k(a0)的图像及性质 (I)已知二次函数顶，点式y=a(x十h)2十k(0),则： ①顶，点是 ;②对称轴为；③最值是 (2)函数y=ax-h)2+k的图象可以由y=ar2平移得到： 左右平移： 个单位 y=ax- 上下平移： 个单位y=ar-h2+ (3)对称结论：若抛物线上两，点A(x,y小、B(2,y2)满足1=2， 则A、B两，点关于对称轴对称，且对称轴为直线= 【例1】1.对于二次函数y=3(x-1)2+3的性质，下列描述 正确的是() A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1 C.顶点坐标是(3,1) D.y=3(x-1)2+3的图象可由y=3x2+3的图象向右平移 1个单位得到 2.己知二次函数y=(x-)2(h为常数)，当自变量x的值满足 1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h=() A.2或4 B.0或4 C.2或3 D.0或3 3.将抛物线y=x2一2x一1向上平移，使它经过点A(0,3)那 么所得新抛物线对应的函数表达式是 4.点A(m-1,y),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的 图象上.若y1<y2,则m的取值范围为 考点二一般式y=ax2十bx十c(a≠0)的图像及性质 (1)配方：y=ar2+bxr十c= (2)已知二次函数一般式y=ax2十bx十c(a≠0)，则： ①顶，点坐标公式： ②对称轴公式：直线x= ③最值公式：当x=时，y植= 【例2】1.将抛物线y=2x2平移到抛物线y=2x2-4x-1, 正确的平移方法是( ) A.先向左移1个，再向上移3个单位 B.先向左移1个，再向下移3个单位 C.先向右移1个，再向上移3个单位 D.先向右移1个，再向下移3个单位 2.已知二次函数y=mx2+(m-2)x+2的图象关于y轴对称， 则下列结论不正确的是() A.m=2 B,抛物线的开口向上 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.当x=2时，函数有最小值2 3.已知抛物线y=-x2+bx+4过点(-2，n)和(4，n),则： (1)n的值为 ； (2)若点A(-4,y1),B(0,y2),C(3,y3)都在该抛物线上，则 y1,y2,y3大小关系是 (用<连接). 4.己知抛物线y=x2-4x+3,则： (1)当-1≤x≤3时，y的取值范围是 (2)当0≤x≤m时，y的取值范围是一1≤y≤3，则实数m的取 值范围为 考点三二次函数图像与与a,b,c的符号关系 (1)a的符号：由开口方向决定，开口向上a>0,开口向下a<0; (2)b的符号：由的位置确定，简记为“ ”; (3)c的符号：由轴的交点位置确定，c又叫y轴“”； (4)a±b+c的符号：由x=时对应函数值y的符号确定； (⑤)4a±2b+c的符号：由x=时对应函数值y的符号确定； ⑥2a±b的特号：由x=品与 的大小关系整理得到； (7)b2-4ac的符号：由抛物线与 轴的交点个数确定. 【例3】1.一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( 2.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1，-2)，抛物线与y轴的 交点位于x轴上方.以下结论正确的是( A.a<0 B.b<0 C.4a-2b+c>0 D.b2-4ac=0 3.己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)关于直线x=1对称， 其图象如图所示，下列结论中： ①abc>0 ②3a+c<0 ③a+b≥m(am+b) ④a-b+c>0 ⑤若ax子+bx1=ax经+bx2, 且x1+x2,则x1+x2=2 其中正确的结论是 考点四二次函数图像与方程、不等式的关系 【例4】1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线 x=1对称，与x轴交于点(-1,0)，其部分图象如图所示，下列 结论中不成立的是( A.2a+b=0 B.(a+c)2-b2=0: C.关于x的方程ax2+bx+c=0有 两个不相等的实数根 D.当y<0时，-1<x<3 2.已知抛物线y=x2-2x+m的与坐标轴恰有2个公共点， 则实数m的值为 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶 点坐标为(-2，-9a),下列结论： ①4a+2b+c>0: ②不等式ax2+bx+c<0的解集为-5<x<1; ③若关于x的方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2,且 x1<x2,则-5<x<x2<1; ④若方程到ax2+bx+c=1有四个根，则这四个根的和为-8. 其中正确的结论有 -2:0 ※课后练习 1.若抛物线y=ax2+bx+c有最小值为0，则() A.a>0,b2-4ac=0B.a>0,b2-4ac<0 C.a<0,b2-4ac=0 D.a<0,b2-4ac>0 2.己知点(m,n)在二次函数y=-x2+3图象上，则m+n的最 大值是( ) A.3 B.2V3 c.号 D. 3.二次函数y=ax2十bx十c的部分对应值如下表所示： -3-234 y -12m0m 则当y<0时，x的取值范围为() A.-1<x<3 B.-2<x<4 C.x<-1或x>3 D.x<-2或x>4 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2, 并与x轴交于A,B两点，若OA=50B,则下列结论： ①abc<0; ②(a+c)2-b2=0; ③16a+3c<0: ④am2+bm+2b≥4a. O/B 其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.己知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解 为x1,x2(1<x2),关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为x3 x4x3<x4).则下列结论正确的是() A.x3<X1<X2<X4 B,X1<X3<x4<X2 C.x1<X2<x3<x4 D.x3<x4<x1<x2 6.己知二次函数y=ax2-4ax-3(a≠0)图像经过(m,p), (m,p)两点，则m+n的值为 7.己知将抛物线y1=一x2先上移5个单位，再向左移2个单 位，得到新的抛物线y2,则： (1)抛物线y2的关系式为 ； (2)若y2>0,则x的取值范围是 8.己知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，对任意的自变量x都 有ax2+bx≥4a+2b,若该抛物线经过点A(4-m,y1),点 B(m+1,y2),且y<y2,则m的取值范围是 9.对于任意实数m,抛物线y=x2+mx+2m-n与x轴都有 公共点，求实数n的取值范围. 10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(2,0), B(-2,4),(-4,0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的表达式： (2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大 时，求点M的坐标； (3)若点F为平面内的一点，且以点B,E,C,F为顶点的四边 形是平行四边形，请直接写出符合条件的点F的坐标。