21.2 二次函数的图象和性质（第一课时） 2025--2026学年沪科版九年级数学上册

本文围绕沪科版九年级数学上册“21.2二次函数的图象和性质（第一课时）”展开，聚焦二次函数\(y = ax^{2}\)的图象与性质。承接函数基础知识，为后续学习复杂二次函数奠基。通过情境导入、探究活动等环节，培养学生数学眼光、思维与语言表达素养，引导学生观察、思考与表达。 本设计亮点在于运用分组探究、动态演示等教法。从学生层面看，提升其自主探究与思维能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破系数\(a\)作用这一教学难点。

沪科版九年级数学上册 21.2 二次函数的图象和性质（第一课时） 一、教学目标 1.会用描点法画出二次函数 y=ax2 的图象。 2.掌握二次函数 y=ax2的开口方向、对称轴、顶点等性质。 3.理解系数 a对函数图象的影响。 二、教学重点与难点 重点：二次函数 y=ax2 的图象特征与性质。包括图象的形状、开口方向、对称轴、顶点以及最值等。 难点：系数 a 对开口大小和方向的调控作用。学生需要理解 a 的符号和绝对值大小如何具体影响图象的开口。 三、教学过程设计 1. 情境导入 展示生活中的抛物线（如喷泉、投篮轨迹、拱桥等）。 提问：1.这些曲线的数学本质是什么？如何用函数描述？ 2. 怎么画出一个函数的图象？有哪些步骤？ 答：列表----描点----连线 下面请同学们按照这三个步骤画出函数y=x2 的图象。 3. 探究新知 活动1：画图感知 学生用描点法画 y=x2 的图象。 步骤： ① 列表（取 x的对称值，如 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3）； ② 描点； ③ 连线（平滑曲线）。 观察、思考、回答： (1)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么? (2)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? (3)当x<0时,随着x的增大,函数y如何变化?当x >0时呢? 活动2：归纳性质 观察 y=x2的图象(见上图），填写表格： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最高/最低点 y=x2 向上 y轴 (0,0) 最低点 活动3：探索系数 a 的作用 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x2、y= 的图象. 学生列表描点连线画出图象，师巡视指导，完毕展示两位学生的成果，师生点评后， 让学生思考：上述图象中a的大小对图象的开口大小有什么影响？ 发现规律： ∣a∣ 越大，开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 活动4：用同样的方法在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=-2x2、y=-的图象。（如图） 让学生观察思考： 结合活动2，抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、开口大小、增减性和最大最小值都是怎么样的？ 然后尝试完成下表： 二次函数 y=ax2 的图像和性质 二次函数 y=ax2 (a>0) y=ax2 (a<0) 图象 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 开口大小由∣a∣决定，∣a∣越大，抛物线开口越小，反之，越大. 对称轴 都是y轴 顶点坐标 都 是（0，0） 增减性 在对称轴左侧，即x<0时，y随着x的增大而减小;在对称轴右侧，即x>0时，y随着x的增大而增大. 在对称轴左侧，即x<0时，y随着x的增大而增大;在对称轴右侧，即x>0时，y随着x的增大而减小. 最值 当x=0时，y取得最小值为0. 当x=0时，y取得最大值为0. 异同点 图象形状相同，顶点坐标相同，对称轴都是y轴，图象关于y轴对称,但开口方向相反. 总结性质 一般形式 y=ax2的性质： 开口方向：由 a的符号决定。 对称轴：y轴（直线 x=0）。 顶点：原点（0,0）。 增减性：看对称轴左侧和右侧，图象从左往右上升即为y随着x的增大而增大，图象从左往右下降即为y随着x的增大而减小. 开口大小：开口大小由∣a∣决定，∣a∣越大，抛物线开口越小，反之，越大. 最值：a>0时有最小值0；a<0时有最大值0。 4. 例题解析 例1：判断函数 y=−4x2 的开口方向、对称轴和顶点坐标。 例2：已知抛物线 y=(m−1)x2开口向下，求 m的取值范围。 5. 课堂练习 基础题：画出 y= 的图象，并描述其性质。 提升题：若 y=(k−2)x2 的图象有最高点，求 k的值。 四、课堂小结 1.二次函数 y=ax2 的图象是抛物线，顶点在原点。 2.系数a控制开口方向和大小。 3.数学思想：数形结合、从特殊到一般。 五、课后作业 1.教材习题21.2第1、2题。 思考：函数 y=ax2+k 的图象与 y=ax2有何关系？ 六、课件设计建议 动态演示：用几何画板或动画展示 a变化时抛物线的动态变化。 对比图表：用不同颜色绘制多个 y=ax2的图象，对比开口差异。 生活实例：插入抛物线在实际应用中的图片（如卫星天线、桥梁设计） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$