第12章全等三角形同步练习2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第12章 全等三角形 练习 一、单选题 1．在和中，，若证，还需补充一个条件，错误的补充方法是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 3．如图，中，，，点在内部，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．如图，与全等，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图所示的和，在中，，u、v、w、x由如图标出，则x与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 10．如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．若实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 12．茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm． 13．如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 14．如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 15．如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为 ．(用含的代数式表示) 三、解答题 16．如图，中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为，，求的长． 17．如图，在中，，． (1)利用尺规作图法作的垂直平分线分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的度数． 18．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 19．【问题背景】 如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线右侧作，且． 【问题再现】 （1）如图1，当点在线段上时，过点作于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题推广】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，过点作交的延长线于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，连接交于点．若，求的值． 20．为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值； (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第12章 全等三角形 练习2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C C B A B C 1．D 【分析】此题考查三角形全等的判定的应用．根据全等三角形的判定定理即，直角三角形可用定理，判断求解即可． 【详解】解：∵， A、补充，则，故A正确，不符合题意； B、补充，则，故B正确，不符合题意； C、补充，则，故C正确，不符合题意； D、补充，不能证明，故D符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 3．D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得出，再结合三角形内角和性质，以及，得出，又因为，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，且， ， 而， ， 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，进行判断即可． 【详解】解：因为在这两个三角形中，是它们的公共边，因此一定是对应边，又因为对应边所对的角是对应角，可得与 是对应角． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线定义. 先根据角平分线定义及三角形内角和定理求出，进而的得，然后说明，接下来结合，的周长为可得答案. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴. ∵，的周长为， ∴的周长为， 解得. 故选：C. 7．B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，将绕点B按逆时针方向旋转，到的位置，易得，进而得到和均为等边三角形，推出A、D、E、F四点均在一条直线上，进而得到，以线段为边在点B一侧作等边，即为符合条件的等边三角形，其中的点B即为点M，证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，将绕点B按逆时针方向旋转，到的位置． 连接，则：， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 则A、D、E三点共线（即该三点在同一条直线上）． 同理，∵， 即，则D、E、F三点共线， ∴A、D、E、F四点均在一条直线上． ∵， ∴线段． 以线段为边在点B一侧作等边， 则即为符合题意条件的等边三角形，其中的点B即为点M． 正三角形的边长为已证，， 下面再证． ∵， 即， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，即． 从而点到等边三个顶点的距离分别为a、b、c， 且． 故选：B． 8．A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 9．B 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故选B． 10．C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 根据绝对值的非负性求出的值，然后根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∵3、3、6不能组成三角形， ∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6， ∴等腰三角形周长为． 故答案为：15． 12．45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，可得，即可知与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度为的周长的2倍减去长度即可． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：45． 13．7 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是7． 故答案为：7． 14． 【分析】通过延长构造全等三角形，将、与的关系转化到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围．本题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形三边关系和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接． ∵，，， ∴． ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，三线合一，画出辅助线以及熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解题关键．作于，先根据三角形内角和定理，得出，再得出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，作于， 在中， ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 16．(1)证明见解析 (2) (3)的长为 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质． （1）证明，可得，再证明，可得，结合三角形的外角的性质可得结论． （2）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合（1）的结论求出的度数即可； （3）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：由（1）得：，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 17．(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理， 对于（1），分别以点A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，过这两个点作直线，交于点D，E，则直线即为所求作的直线； 对于（2），根据等边对等角得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可求出，然后根据求出答案. 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示， ∵， ∴. ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 19．（1），理由见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，然后结合即可得到； （2）过点作，交延长线于，由“”可证，可得，由“”可证，可得； （3）首先证明出，得到，，然后证明出，得到，，然后求出，，然后利用代入求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴； （2）如图2，过点作，交延长线于， ∵，， ∴，， ， 在与中， ， ， 又∵， ， 又在与中， ， ∴； （3）∵， ∴设，， ∵，， ∴， ∴，， ， 在与中， ， ，， 又∵， ， 在与中， ， ∴，， ∴，， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 20．(1)见解析 (2)2 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据可证明； （2）由得到，，再利用为等腰直角三角形得到，所以，，接着证明，得到，所以； （3）在上截取，如图3，先证明得到，，由于，则，所以，再证明，则得到，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，． ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的值为2； （3）解：，理由如下： 在上截取，如图， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $