专题05 锐角的三角比章末易错必刷题型专训（57题15个考点）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义围绕锐角三角比单元知识体系，通过思维导图、表格归纳和错题集锦等工具系统梳理了正弦、余弦、正切的概念辨析、特殊角运算、边角关系求解及非直角三角形应用等15个核心考点，清晰呈现从定义理解到综合运用的递进路径，突出易错点分布与内在逻辑关联。 讲义的亮点在于“概念辨析+情境应用”的双线设计，如第1题通过图形辨析sinA的定义强化几何直观，第26题结合圭表实际问题训练余弦值求边长，体现数学建模意识。每类题型均配方法指导与典型错误分析，基础层学生可掌握公式套用，提升层能突破辅助线构造难点，教师据此实现精准诊断与分层教学，助力学生自主构建知识网络。

专题05 锐角的三角比章末易错必刷题型专训（57题15个考点） 【易错必刷一 正弦的概念辨析】 1．（24-25九年级上·上海黄浦·期末）在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（　　） A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA= 【答案】B 【详解】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案． 详解：如图所示：sinA=．     故选B．      点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）化简 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式变形，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握sinα与1的大小． 3．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【易错必刷二 余弦的概念辨析】 4．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（  ） A．OA B．OB C．OC D．OD 【答案】A 【分析】根据余弦的定义分别求出四条射线与x轴正半轴夹角的余弦值，即可得出答案. 【详解】A. ，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故A符合题意； B. ，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故B不符合题意； C. ，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故C不符合题意； D. ，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查网格图中的三角函数值，熟练掌握余弦的定义是解题的关键. 5．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果中，那么 （填的三角比） 【答案】 【分析】根据直角三角形中余弦性质求解即可 【详解】∵直角三角形中，余弦等于邻边比斜边 ∴= ∴答案为cosB 【点睛】本题主要考查了余弦的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 6．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值． 【答案】 【分析】先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到=，再证明CDE∽△CAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠C=∠C， ∴△ADC∽△BEC， ∴=， ∴=， ∵∠C=∠C， ∴△CDE∽△CAB， ∵， ∴=， ∴=（）²=（）2=． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【易错必刷三 正切的概念辨析】 7．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的定义即可求解．在直角三角形中，锐角的正切值等于这个锐角的对边比邻边． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键． 8．（2025·上海静安·模拟预测）坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 【答案】30° 【分析】根据坡比=坡角的正切值，进而可求出的值． 【详解】解：因为， 所以∠α＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了坡比、坡角的关系，解题的关键是掌握坡角的正切值等于坡比． 9．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，解这个直角三角形. 【答案】见解析 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据a、b的长求出∠A的度数，进而求出∠B的度数． 【详解】在Rt△ABC中,∵,a=,b= ∴c= ∵tanA= == ∴∠A=30∘， ∴∠B=90∘−∠A=90∘−30∘=60∘. 【点睛】本题考查勾股定理,解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质. 【易错必刷四 求角的正弦值】 10．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点（网格线的交点）上，则的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．构造，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示， 在中，，， 故选：C． 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．设，则．勾股定理得到，根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图．    ∵，， ∴设，则． ∴． ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在的正方形网格中，点、、都在格点上，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正弦函数的定义以及勾股定理．先求得，利用勾股定理求得和的长，再利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，都是正方形的对角线， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）分别求出图中，的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】图（1），，，，，；图（2），，，，，；图（3），，，，， 【分析】先由勾股定理求出每个直角三角形未知的第三边，再由锐角三角函数的定义即可求得两个锐角的各个三角函数值． 【详解】解：图（1）由勾股定理得： ∴，，，，，； 图（2）由勾股定理得： ，，， ，，； 图（3）由勾股定理得： ，，， ，，； 【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 【易错必刷五 求角的余弦值】 14．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在Rt中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了余弦的定义，勾股定理．先根据勾股定理求的的长，再根据余弦的定义即可求得结果． 【详解】解：在Rt中，， ∴， ∴． 故选：B 15．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）在中，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数的求解，根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【详解】解：如图，   ， ， 故答案为：． 16．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了求余弦，勾股定理与网格问题，先根据勾股定理就得的长，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，   ， ∴ 故答案为：． 17．（24-25九年级上·上海普陀·期末）已知，，，．求∠A的余弦值和正切值 【答案】cosA， tanA； 【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴AB， 则cosA，tanA． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦、锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦、锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切． 【易错必刷六 求角的正切值】 18．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数定义．根据正切函数的定义即可完成． 【详解】解：如图，，， ∴， 故选：B． 19．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了正切的定义，作于，则，，再根据正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， 由图可得：，， ∴， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）如图，位于6×6的方格纸中，其中A，B，C均为格点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用网格求正切值，过点B作于点D，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：过点B作于点D， ∴， 故答案为： 21．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）根据正切值的含义即可求解． 【详解】（1）∵，，， ∴， 即的长为3； （2）∵，，， ∴， 即的值为：． 【点睛】本题主要考查了求解角的正切值以及勾股定理的知识，掌握正切的含义是解答本题的关键． 【易错必刷七 已知正弦值求边长】 22．（24-25九年级上·上海松江·期中）在中，，，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用正弦的定义求值即可． 【详解】在直角中，， 即， 解得：． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了正弦的定义，理解正弦的定义是解题的关键． 23．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝ ． 【答案】5 【分析】根据，可设BC=5x，则AB=13x，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵，，∠C＝90°， ∴， 设BC=5x，则AB=13x， ∵， ∴，解得：x=1或-1（舍去）， ∴BC=5． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 24．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：在中， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 25．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，．求的大小和的长． 【答案】， 【分析】根据三角形内角和定理直接求出，利用三角函数求出的长即可． 【详解】解： ； ∵， ∴ ； 答：，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练特殊角的三角函数值． 【易错必刷八 已知余弦求边长】 26．（2025九年级·上海青浦·专题练习）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出，即可得出结果． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题关键． 27．（24-25九年级上·上海金山·期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则光线长约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据∠的余弦函数求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角函数的应用，掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键． 28．（2025九年级·上海宝山·学业考试）如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝ ． 【答案】 【分析】根据题意，则，即可求得． 【详解】解： RtABC中， 故答案为： 【点睛】本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得是解题的关键． 29．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长． 【答案】 【分析】首先根据求出AC，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】∵∠B＝90°， ∴． ∵AB＝10， ∴AC＝14， ∴． ∴BC的长为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦值求出AC是解题的关键． 【易错必刷九 已知正切值求边长】 30．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是的高．若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题目信息得到的长度，然后根据和的长度判断出的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到的长度． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键． 31．（24-25九年级上·上海静安·期末）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数定义得出，代入求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 32．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，是的高．若，，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形与勾股定理．根据题意易求，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 33．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】根据正切定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切可得，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵   ， ∴   ， ∵   ， ∴   ． 【点睛】本题考查了解直角三角形知识，理解正切的定义是解题关键． 【易错必刷十 特殊角三角函数值的混合运算】 34．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）的值等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值．把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：B. 35．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）已知是锐角，且．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先由是锐角，且得到，即得，，再把三角函数值代入计算即可求解． 【详解】是锐角，且， ∴ ∴原式 ． 36．（24-25九年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；根据特殊三角函数值进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为． 37．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式的混合运算，对于实数运算，需掌握绝对值、特殊角三角函数值、算术平方根、负整数指数幂的运算规则；对于分式运算，要熟练运用分式的通分、约分等法则，解题关键是准确运用各运算规则逐步计算． （1）分别计算绝对值、特殊角三角函数值、算术平方根、负整数指数幂，再进行加减运算； （2）先对括号内的式子进行通分相加，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，最后约分得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ． 【易错必刷十一 根据特殊角三角函数值求角的度数】 38．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）在中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由特殊三角函数值求角度，根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可． 【详解】解：如图， ，，， ， ， 故选：D． 39．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了根据角的三角函数值求角，由题意可得，即得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角函数定义，先求出的正弦值，得出，然后根据直角三角形两锐角互余求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 41．（2025·上海松江·模拟预测）在中，若，求的度数． 【答案】． 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了特殊的三角函数值，非负数的性质，熟悉特殊三角函数的值是解题关键． 【易错必刷十二 已知角度比较三角函数值的大小】 42．（2025九年级上·上海·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出． 43．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】正弦函数值小于1，而tan50°＞tan45°，故tan50°＞1即可比较二者大小． 【详解】解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1， ∴tan50°＞1， 又sin80°＜1， ∴sin80°＜tan50°； 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了锐角三角函数,正弦函数值,正切函数值,熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 44．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）比较大小：① ， ；②若，，则 ． 【答案】 ＞ ＜ ＞ 【分析】①根据余弦值随角度的增大余弦值越小，正切值随角度的增大而增大，进而得出答案； ②利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案. 【详解】①余弦值随角度的增大余弦值越小， ∴＞， 正切值随角度的增大而增大， ∴＜； ②正弦值随角度的增大而增大， ∵＞， ∴＞. 【点睛】本题是对正弦，余弦，正切值的考查，熟练掌握正弦，余弦，正切值随角度变化的关系是解决本题的关键. 45．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】利用三角函数的性质，分别分析在时，的正弦值、余弦值和正切值的大小关系. 【详解】解：．理由如下： 又 ∴的值最大； 又 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，解题的关键是理解当与互余时，. 【易错必刷十三 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 46．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）当时，的值是（    ） A．大于 B．小于 C．小于 D．大于且小于 【答案】D 【分析】根据正弦函数的特殊值和三角函数值的性质解答． 【详解】解：当时，随A的增大而增大， 且，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及函数的性质，属于基础知识点． 47．（24-25九年级上·上海崇明·单元测试）若为锐角，且，则的范围是 ． 【答案】 【分析】根据和锐角的余弦是减函数即可得出答案 【详解】解：∵， 又，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴当时，． 故答案为． 【点睛】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键 48．（2025·上海松江·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】= 【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解． 【详解】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2， ∴∠AOB＝∠COD， 故答案为＝. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键． 49．（2025·上海普陀·模拟预测）（1）计算：|-|+（-）-1-2sin45°+（）0 （2）先化简，再求值：（）÷，其中a=． 【答案】（1）-1；（2）． 【详解】试题分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 试题解析：（1）原式=-2-2×+1=-1； （2）原式= = = = 当时，原式=． 考点：1．分式的化简求值,2．实数的运算,3．零指数幂,4．特殊角的三角函数值 【易错必刷十四 解直角三角形的相关计算】 50．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了锐角三角函数关系，画出图形根据锐角三角函数定义求解是解题关键． 根据题意画出图形，表示出的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：    ∵ ， ∴设， 则， 则， 故选C． 51．（24-25九年级上·上海宝山·期末）在中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，正确的理解锐角三角函数是解题的关键． 根据，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：10． 52．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 53．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． (1)已知，，求； (2)已知，，求和． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知正弦、正切的定义及勾股定理是解题的关键． （1）借助于的正弦即可解决问题； （2）先利用勾股定理求出，再结合的正切即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ∵， ∴． 【易错必刷十五 解非直角三角形】 54．（2019·上海普陀·模拟预测）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案． 【详解】解：作于点， 甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发， ，， ， 乙货船从港沿西北方向出发， ， ， ， 答：港与港相距海里， 故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口. 55．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）在中，，则的面积为 【答案】 【分析】过点点B作BD⊥AC于D，根据邻补角的定义求出∠BAD=60°，再根据∠BAD的正弦求出AD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】如图，过点B作BD⊥AC交AC延长线于点D， ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=180°-120°=60°， ∵， ∴， ∴△ABC的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了运用勾股定理和锐角三角函数的概念解直角三角形问题，作出图形更形象直观． 56．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 57．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，求的长．    【答案】 【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ， 又∵在△ABC中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 锐角的三角比章末易错必刷题型专训（57题15个考点） 【易错必刷一 正弦的概念辨析】 1．（24-25九年级上·上海黄浦·期末）在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（　　） A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA= 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）化简 ． 3．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【易错必刷二 余弦的概念辨析】 4．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（  ） A．OA B．OB C．OC D．OD 5．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果中，那么 （填的三角比） 6．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值． 【易错必刷三 正切的概念辨析】 7．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 8．（2025·上海静安·模拟预测）坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 9．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，解这个直角三角形. 【易错必刷四 求角的正弦值】 10．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点（网格线的交点）上，则的值是（　　） A．2 B． C． D． 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知中，，则 ． 12．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在的正方形网格中，点、、都在格点上，则 ． 13．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）分别求出图中，的正弦值、余弦值和正切值． 【易错必刷五 求角的余弦值】 14．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在Rt中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）在中，，，则的值为 ． 16．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是 ．    17．（24-25九年级上·上海普陀·期末）已知，，，．求∠A的余弦值和正切值 【易错必刷六 求角的正切值】 18．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为（   ） A． B．1 C． D． 19．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的值是 20．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）如图，位于6×6的方格纸中，其中A，B，C均为格点，则 ． 21．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【易错必刷七 已知正弦值求边长】 22．（24-25九年级上·上海松江·期中）在中，，，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 23．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则BC＝ ． 24．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，，，那么的长是 ． 25．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，．求的大小和的长． 【易错必刷八 已知余弦求边长】 26．（2025九年级·上海青浦·专题练习）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·上海金山·期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则光线长约为（    ）    A． B． C． D． 28．（2025九年级·上海宝山·学业考试）如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝ ． 29．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长． 【易错必刷九 已知正切值求边长】 30．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是的高．若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·上海静安·期末）在中，，，，则 ． 32．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，是的高．若，，，则边的长为 ． 33．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）在中，，，，求的长． 【易错必刷十 特殊角三角函数值的混合运算】 34．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）的值等于（    ） A． B． C． D．1 35．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）已知是锐角，且．则 ． 36．（24-25九年级上·上海松江·期中）计算： ． 37．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算： (1) (2)． 【易错必刷十一 根据特殊角三角函数值求角的度数】 38．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）在中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为 ． 40．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 41．（2025·上海松江·模拟预测）在中，若，求的度数． 【易错必刷十二 已知角度比较三角函数值的大小】 42．（2025九年级上·上海·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）． 44．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）比较大小：① ， ；②若，，则 ． 45．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）已知，试比较的正弦值、余弦值、正切值之间的大小关系，并说明理由． 【易错必刷十三 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 46．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）当时，的值是（    ） A．大于 B．小于 C．小于 D．大于且小于 47．（24-25九年级上·上海崇明·单元测试）若为锐角，且，则的范围是 ． 48．（2025·上海松江·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”） 49．（2025·上海普陀·模拟预测）（1）计算：|-|+（-）-1-2sin45°+（）0 （2）先化简，再求值：（）÷，其中a=． 【易错必刷十四 解直角三角形的相关计算】 50．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·上海宝山·期末）在中，，，，则 ． 52．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为 ． 53．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）已知在中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． (1)已知，，求； (2)已知，，求和． 【易错必刷十五 解非直角三角形】 54．（2019·上海普陀·模拟预测）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 55．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）在中，，则的面积为 56．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 57．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，求的长．    学科网（北京）股份有限公司 $