专题04 直角三角形的六大几何模型专训专题（6大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 直角三角形的六大几何模型专训专题 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 背对背型 题型二 拥抱型 题型三 母子型 题型四 直角梯子型 题型五 十字模型 题型六 特殊角组合模型 【经典例题一 背对背型】 1．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰．其中，经测量，钢条．求钢条的长．（精确到，参考数据： 2．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）某彩亭可抽象成如下图所示的示意图，AB是彩亭的中轴，在点M处得点D的仰角是．在E处测得AE平行于水平线BC，点F的俯角．已知，，求中轴上DF的长度（结果精确到，参考数据：）． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）某天，小刚同学站在地面上点处操控无人机上升并悬停在空中的点处，测得高为米的楼顶端点的俯角为，测得自己头顶点的俯角为．已知小刚的身高为米，，且，，在同一条水平线上，．参考数据：，， (1)填空： ______， ______； (2)求无人机飞行的高度．结果保留整数 5．（2025·上海松江·模拟预测）综合与实践 主题 测量书架内侧长度 信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点刚好靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上．（图2是平面示意图） 信息2 长方体档案盒的长，厚度． 信息3 借助量角器测得．（参考数据：） 问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长； 任务2 求书架内侧的长． 【经典例题二 拥抱型】 1．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）已知：中，，，，． (1)求的长； (2)求的值． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点． (1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值； (2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值． 4．（2025九年级上·上海宝山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． 问题： (1)求直线的解析式； (2)连接，如图2，动点P从点A出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当t为何值时，与互为余角，并求此时的长． 5．（2025·上海金山·模拟预测）综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例】 （1）如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； 【证明】 （2）如图②，锐角中，，，，的面积为．求证：； 【迁移】 （3）如图③，锐角中，，，，是的平分线，求出的长； 【应用】 （4）如图④，中，，，，点D在边上，且，连接，的中点为点E，过点E作直线l与边，分别交于P，Q两点，且为锐角三角形，求的值． 【经典例题三 母子型】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线平分，点E，F分别在，上，，连接，． (1)求证：菱形 (2)延长交的延长线于点G，连接交于点O，若，，求的长． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图的几何图形，灯臂长为，与水平桌面所形成的夹角为，由光源射出的边缘光线与水平桌面所形成的夹角分别为和．若书与光线平行放置且书底端点离光线底端的距离为．求书的长．（结果保留整数．参考数据：） 3．（2025·上海青浦·模拟预测）小明周末到陕西师范大学雁塔校区研学参观，他想借助学校西门外宽为30米的长安南路（即米）测量校内一栋建筑物的高度，于是他站在该建筑物的点B处观察长安南路上的点E，测得俯角恰为，随后他坐电梯上升10米（即米）到达楼顶点A处，站在楼顶点A处观察长安南路上点D，测得俯角为，已知，E、D、C三点共线，请计算出建筑物的高度．（参考数据：，，） 4．（2025·河南南阳·模拟预测）老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”．如图①，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下： 方案设计：如图②，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取、两点，先测得，两点之间的距离，再在、两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点、、在同一水平线上）． 数据收集：通过实地测量，地面，之间的距离为，在点处测得铜像头顶的仰角为，在点处测得铜像头顶的仰角为． 问题解决：已知测角仪的高度为，求老子铜像（含底座）的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 5．（2025·甘肃·模拟预测）在甘肃省瓜州县戈壁难上，有一尊命名为“大地之子”的巨大雕塑格外显眼（如图①），雕塑的周边都是荒漠，而荒漠又是生态很脆弱的地方，在一定意义上说，这座雕塑警示人们要爱护好赖以生存的环境．某数学兴趣小组开展了测量“大地之子”高度的实践活动，具体过程如下： 【方案设计】如图②，点为雕塑的最高点，在雕塑头部和尾部选取两处，分别将无人机竖直向上飞至处观测点，通过无人机携带的观测设备测得无人机两次飞行高度及仰角和的度数（点均在同一竖直平面内，且三点在同一条直线上，）． 【数据收集】通过实地测量，地面上两点的距离为，，，． 【问题解决】求雕塑的最高点到地面的高度（结果保留一位小数，参考数据：） 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【经典例题四 直角梯子型】 1．（2025·上海松江·模拟预测）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一架斜靠在墙上的梯子，为了能够安全使用，该梯子前后移动的最大距离为．使用这架梯子最高可以攀上多高的墙？ （参考数据：，，，，，    2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一架5m长的梯子．    (1)当梯子底端距离墙面2m时，人能否安全地使用这架梯子? (2)若人站在梯子上，伸出手臂，最高可以够到梯子顶端上方24cm处的物体，使用这架梯子能安全够到墙上距离地面5m处的物体吗?（参考数据：，，，，，） 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上．    (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； (2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 4．（24-25九年级上·上海宝山·期末）建筑工人在工作时，通常要用到梯子．梯子摆放的角度（如图）为到之间时，符合安全标准．一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为．（，，） (1)梯子摆放是否符合安全标准？请说明原因． (2)如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端滑动了多少米？ 5．（2025·上海普陀·模拟预测）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 【经典例题五 十字模型】 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 3．（24-25九年级上·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2025·上海虹口·模拟预测）登封境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社团的同学测量嵩岳寺塔的高度，如图，是嵩岳寺塔附近的某建筑物，高为14.7米，同学们利用测角仪在建筑物的底端D处测得塔顶端B的仰角为，在建筑物的顶端C处测得塔底端A的俯角为， ，，点A，D在同一水平线上．求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，） 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）桔槔（）是古代的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图（a），线段代表固定支架，点D、点C、点O分别代表重物、水桶和支点，线段，是无弹力且长度固定的麻绳，绳长，木质杠杆． (1)当水桶C的位置低于地面如图（b）所示，支架与绳子之间的距离是，且时，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方如图（c）所示，求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【经典例题六 特殊角组合模型】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）综合与探究 小新学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值． 解题思路：小新先画出了几何图形（如图1），他说得22.5°虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连结，构造出等腰（如图2）． 解题过程：在上截取，再连结，可证为等腰三角形，设，则，……． (1)实践应用：请把上面小新的解题过程补充完整； (2)尝试应用：如图3，求的值； (3)拓展应用：如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时70海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求B处到灯塔P的距离； （2）已知灯塔P的周围海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？（结果保留非特殊角三角函数值） 3．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）喜欢钻研的小亮对角的三角函数发生了兴趣，他想：度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求的正弦值呢？经研究，他发现：，于是他大胆猜想：（和为锐角）．将图（）等积变形为图（）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图（）和图（）．如图，锐角为的直角三角形斜边为，锐角为的直角三角形斜边为，请你借助图（）和图（）证明上述结论能成立． 4．（2025·上海松江·模拟预测）某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面与全等且平行，与各边表示挡雨棚支架，支架，，垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（O，分别在，的延长线上）． (1)若，，，小组成员对曲线段有两种假设，分别为： ①挡雨板（曲面）的面积可以近似为线段与线段长的乘积，且． ②曲线近似为以点O为圆心的圆弧． 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到）． (2)如图2，设垂直墙面（），支架线段下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于，上、下窗框所在直线分别与相交于点E，F．若，窗的上、下框距离，请问下雨时，雨滴会打进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打进窗内，请写出雨滴落点距点F的最小距离（参考数据：，精确到0.01m）． 5．（24-25九年级上·上海青浦·期中）【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出的值． 如图1，在中，，延长到点，使，则有． 在中，，∴，； 在中； ∴． 【实际应用】（1）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（ ），于2025年2月7日至2月14日举行，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，广州融创热雪奇迹为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道，如图2所示，滑道的坡角，水平宽度m．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度是多少米？（结果取整数，参考数据）． 【类比探究】（2）如果滑雪场准备再建一条坡角为的滑道． 已知：中（图3），．求出的值是多少？         1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在四边形中，对角线于点，，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，连接，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（    ）（参考数据：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 6．（2025·上海闵行·模拟预测）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽为，榫槽深度为，则它的里口宽为 （结果保留根号）． 7．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，在坡角的山顶C上有一座古塔，在山脚A处测得古塔顶部B的仰角为，斜坡长为350米，则古塔的高为 ． 8．（2025·上海金山·模拟预测）如图，，是的两条切线，切点分别为点A，B，连接与相交于点C，若，，则的长为 ． 9．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为 米（结果保留根号）． 10．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角，几秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距480米，则飞船从A到B处的距离 米（结果精确到1米；参考数据：，） 11．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足，现有一架长的梯子． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？ (2)当梯子底端距离墙面时，α等于多少度？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1） 12．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 13．（24-25九年级上·上海青浦·单元测试）如图，是一种用于装修的人字形梯，合拢时，梯子的长为米，距调查，这种梯子在张角为时最安全． （1）求梯子最安全时，梯子能达到的最大高度是多少？（精确到米） （2）装修时，房顶距离地面米，一个人坐在梯子最顶端时，他的手臂能达到的最大高度比梯子最顶端高出米．要使装修正常进行，那么梯子张角至多为多少度？（精确到度） （参考数据：，，，） 14．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）综合与实践 问题背景： 小明在研究直角三角板时，发现含有的直角三角板具有一些特殊性质，于是他做出了如下探究． 初步发现： 如图①，在中，，，作的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则______，线段，，的数量关系是________________； 深入探究： 事实上，在含的直角三角形中，两个锐角恰好是2倍关系，而对于任意一个三角形，若有两个角存在2倍关系，这样的三角形还能具有上面发现的结论吗？带着这个疑问，小明又研究了下面一个三角形，请结合小明的发现，一起探究一下吧． 如图②，在中，，，，作交于点D． （1）求证：； （2）求的面积； 拓展应用： 像这样的三角形，我们不妨称之为“倍半角三角形”．如图③，在菱形中，，，是对角线，点E，F分别在，上，且． （3）若，，用含x的代数式表示y； 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点C离地面高度．如图，已知舞台台阶，，某学习小组在舞台边缘B处测屏幕最高点C的仰角，在距离B点的E处测得屏幕最高点C的仰角，已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且A，G，D三点在同一直线上，B，E，F三点在同一直线上．参考数据：取，取． (1)求的长（结果保留整数） (2)求最高点C离地面的高度的长（结果保留整数）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直角三角形的六大几何模型专训专题 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 背对背型 题型二 拥抱型 题型三 母子型 题型四 直角梯子型 题型五 十字模型 题型六 特殊角组合模型 【经典例题一 背对背型】 1．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰．其中，经测量，钢条．求钢条的长．（精确到，参考数据： 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，解直角三角形的应用，先根据等腰三角形的三线合一得，再把代入数值得，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， 即钢条的长为． 2．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）某彩亭可抽象成如下图所示的示意图，AB是彩亭的中轴，在点M处得点D的仰角是．在E处测得AE平行于水平线BC，点F的俯角．已知，，求中轴上DF的长度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质与判定、线段的和差关系及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键． 过点作，先利用直角三角形的边角间关系求出的长，再利用线段的和差关系求出． 【详解】解：如图，过点M作，垂足为N． 由题意知，四边形CMNB是矩形， ． 在中，． 在中，． ， ． 故中轴上DF的长度为． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 【答案】(1)小路的长为； (2)12秒． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴在中， ， ∴小路的长为； （2）如图所示：过B作， 当小狗在小路上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ∵， ∴， 即， ∴， 则， 即， ， ∵由题意可得：， 则， 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）某天，小刚同学站在地面上点处操控无人机上升并悬停在空中的点处，测得高为米的楼顶端点的俯角为，测得自己头顶点的俯角为．已知小刚的身高为米，，且，，在同一条水平线上，．参考数据：，， (1)填空： ______， ______； (2)求无人机飞行的高度．结果保留整数 【答案】(1)， (2)无人机飞行的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、线段的和差关系等知识点是解决本题的关键． （1）过点作，由俯角根据角的和差关系求出，再利用四边形的内角和得结论； （2）过点作，过作，先判断四边形、为矩形，根据矩形的性质说明与、与的关系，再利用直角三角形的边角间关系及等腰直角三角形的性质得到与、与的关系，最后利用线段的和差关系得结论． 【详解】（1）解：过点作， ， ． ，， ． 故答案为：，； （2）解：过点作于点，过作于点， 则四边形、为矩形， ，． 从点测得楼顶端点的俯角为， ， ， ， 在中， ， ． ，， ． ． ． 答：无人机飞行的高度约为． 5．（2025·上海松江·模拟预测）综合与实践 主题 测量书架内侧长度 信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点刚好靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上．（图2是平面示意图） 信息2 长方体档案盒的长，厚度． 信息3 借助量角器测得．（参考数据：） 问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长； 任务2 求书架内侧的长． 【答案】任务一：斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长约为；任务二：书架内侧的长约为 【分析】本题考查了其他问题（解直角三角形的应用），解题关键是熟悉三角函数的定义． 任务1：利用余弦求解； 任务2：先求出，再利用正弦求出，然后列式计算出． 【详解】任务1：解：由题意可知：在中， 即， 解得：， 答：斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长约为． 任务2：由题意可知， ， ， 在中，， 即， 解得：， ， 答：书架内侧的长约为． 【经典例题二 拥抱型】 1．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 延长交直线于，设米，根据题意得，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交直线于点，则．设． 在中，， ， 在Rt中， ， 又， 解得， 故桥头到公路的距离为． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）已知：中，，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质． （1）由条件可证明，可得到，且，，，代入可求得； （2）由（1）可得，可求得，即可得的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得（负值已舍去）； （2）解：由（1）， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点． (1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值； (2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据矩形的性质得，因为折叠，得，则， 运用勾股定理得，再证明，故把数值代入进行计算，即可作答． （2）的延长线交于点，结合矩形的性质，证明，同理得，运用勾股定理得，解得，再代入数值到，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠可知：， ． ∴， 在中，， ， ， ； （2）解：如图，的延长线交于点， 四边形为矩形， ∴， ∴ ∵点E为线段的中点， ∴ ∵ ∴ ， ∵折叠 ∴ ∴ ∴． 设，则， 则， 在中，， 即， 解得， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2025九年级上·上海宝山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． 问题： (1)求直线的解析式； (2)连接，如图2，动点P从点A出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为S（），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当t为何值时，与互为余角，并求此时的长． 【答案】(1) (2) (3)时，或时， 【分析】（1）已知A点的坐标，就可以求出的长，根据，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式． （2）点P的位置应分P在和上，两种情况进行讨论．当P在上时，的底边PB可以用时间t表示出来，高是的长，因而面积就可以表示出来． （3）先导角求出，分两种情况进行讨论，当P点在边上运动时，得到，求出，进而求出以及时间；当P点在边上运动时，根据，求出，进而求出时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：对于， 当， ∴点坐标为， ∴， 如图，当点在边上运动时由题意得， ∴， ∴， ∴（）， 当点在边上运动时，记为， ∵在菱形中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴（）， 综上：； （3）解：∵在菱形中，， 由（2）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 当点在边上运动时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在边上运动时，如图2， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上：时，或时，． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，求出点P的坐标是解本题的关键． 5．（2025·上海金山·模拟预测）综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例】 （1）如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； 【证明】 （2）如图②，锐角中，，，，的面积为．求证：； 【迁移】 （3）如图③，锐角中，，，，是的平分线，求出的长； 【应用】 （4）如图④，中，，，，点D在边上，且，连接，的中点为点E，过点E作直线l与边，分别交于P，Q两点，且为锐角三角形，求的值． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； （2）过点C作于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）过点C作于点E，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用三角形的面积公式求出的面积；利用（2）的结论得到的面积，解关于的方程即可得出结论； （4）利用勾股定理求得，，写出正弦值，由面积写出正弦值，根据与面积和等于面积推导即得． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为：9． （2）证明：过点C作于点D，如图， ，， ． ． ． ． （3）解：过点C作于点E，如图． ，， ，． ． 是的平分线，， ． 由（2）知：，． ， ， 故答案为：． （4）解：如图， ，，， ∴． ，． ， ，． 的中点为点E， ． ． 由（2）知：， ， ， ． ， ． ． ， ． ． ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法与结论并熟练应用表示解题的关键． 【经典例题三 母子型】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线平分，点E，F分别在，上，，连接，． (1)求证：菱形 (2)延长交的延长线于点G，连接交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件可证得，则，根据可得，由于四边形是平行四边形即可得证； （2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形为平行四边形，得出，再根据，求的长． 【详解】（1）证明：如图，与交于点， ∵对角线平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， 又∵四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）如图： 由（1）可知四边形是菱形， 又， ，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 则的长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图的几何图形，灯臂长为，与水平桌面所形成的夹角为，由光源射出的边缘光线与水平桌面所形成的夹角分别为和．若书与光线平行放置且书底端点离光线底端的距离为．求书的长．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟记各三角函数值的计算方法是解题关键． 先利用正弦值求出的长，再利用正切值求出的值，根据平行线的性质可得，最后在中，利用余弦值求解即可． 【详解】解：在中， 在中， 离光线底端的距离为 ， 在中， 答：书的长约为． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）小明周末到陕西师范大学雁塔校区研学参观，他想借助学校西门外宽为30米的长安南路（即米）测量校内一栋建筑物的高度，于是他站在该建筑物的点B处观察长安南路上的点E，测得俯角恰为，随后他坐电梯上升10米（即米）到达楼顶点A处，站在楼顶点A处观察长安南路上点D，测得俯角为，已知，E、D、C三点共线，请计算出建筑物的高度．（参考数据：，，） 【答案】该高层有60米高 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用 ，等腰三角形的性质和判定；根据题意得到为等腰直角三角形，设，得到，在中，根据求出，即可求出结果． 【详解】解：由题意可得： ， 为等腰直角三角形， ∴设， ， ， ∴在中， 解得：， 米． 答：该高层有60米高． 4．（2025·河南南阳·模拟预测）老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”．如图①，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下： 方案设计：如图②，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取、两点，先测得，两点之间的距离，再在、两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点、、在同一水平线上）． 数据收集：通过实地测量，地面，之间的距离为，在点处测得铜像头顶的仰角为，在点处测得铜像头顶的仰角为． 问题解决：已知测角仪的高度为，求老子铜像（含底座）的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】老子铜像（含底座）的高度约为 【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质、正切函数值定义及解方程等知识，连接交于点，如图所示，由矩形的判定得到四边形为矩形，再由矩形性质得到，，，在中，在中，由正切函数值定义列式求解得到，再由，代值解方程即可得到答案，熟练掌握三角函数测高的解法是解决问题的关键． 【详解】解：连接交于点，如图所示： 则四边形为矩形， ，，， 在中，， 在中，， 又， ， 即， ， 解得， ， 答：老子铜像（含底座）的高度约为． 5．（2025·甘肃·模拟预测）在甘肃省瓜州县戈壁难上，有一尊命名为“大地之子”的巨大雕塑格外显眼（如图①），雕塑的周边都是荒漠，而荒漠又是生态很脆弱的地方，在一定意义上说，这座雕塑警示人们要爱护好赖以生存的环境．某数学兴趣小组开展了测量“大地之子”高度的实践活动，具体过程如下： 【方案设计】如图②，点为雕塑的最高点，在雕塑头部和尾部选取两处，分别将无人机竖直向上飞至处观测点，通过无人机携带的观测设备测得无人机两次飞行高度及仰角和的度数（点均在同一竖直平面内，且三点在同一条直线上，）． 【数据收集】通过实地测量，地面上两点的距离为，，，． 【问题解决】求雕塑的最高点到地面的高度（结果保留一位小数，参考数据：） 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】雕塑的最高点到地面的高度约为4.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据题意，结合图形，在中表示出，在中表示出，结合已知条件，得到方程，解方程得到结果． 【详解】解：如图②，过点作于点，过点作于点， 设米，则米， 在中，米，， （米， （米， 在中，米，， （米， （米， ， 解得， （米， 答：雕塑的最高点到地面的高度约为4.3米． 【经典例题四 直角梯子型】 1．（2025·上海松江·模拟预测）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一架斜靠在墙上的梯子，为了能够安全使用，该梯子前后移动的最大距离为．使用这架梯子最高可以攀上多高的墙？ （参考数据：，，，，，    【答案】使用这架梯子最高可以攀上高约为的墙 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意可得：，，设，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 设米， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 在中，， 使用这架梯子最高可以攀上高约为的墙． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一架5m长的梯子．    (1)当梯子底端距离墙面2m时，人能否安全地使用这架梯子? (2)若人站在梯子上，伸出手臂，最高可以够到梯子顶端上方24cm处的物体，使用这架梯子能安全够到墙上距离地面5m处的物体吗?（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)此时人能够安全地使用这架梯子 (2)能安全够到距离地面5m处的物体 【分析】（1）由题意易得，进而问题可求解； （2）根据三角函数可进行求解 【详解】（1）解：在中，，，∴． ∵， ∴此时人能够安全地使用这架梯子． （2）解：∵， ∴当时，这架梯子可以安全攀上的墙高度最大． 在中，，， ∴． ∴使用这架梯子最高可以够到墙上处的物体， ∴能安全够到距离地面5m处的物体 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上．    (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； (2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 【答案】(1)3.8m (2)，能安全使用 【分析】（1）根据的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可； （2）根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，当时，取最大值， 在中，， （米， 梯子顶端与地面的距离的最大值为3.8米； （2）解：在中，， ， ， ∵， 人能安全使用这架梯子． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海宝山·期末）建筑工人在工作时，通常要用到梯子．梯子摆放的角度（如图）为到之间时，符合安全标准．一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为．（，，） (1)梯子摆放是否符合安全标准？请说明原因． (2)如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端滑动了多少米？ 【答案】(1)不符合安全标准，原因见解析 (2)梯子的底端滑动了米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，在中，得到，结合，，即可得到结论； （2）在中，求出长，得到即可． 【详解】（1）解：梯子摆放不符合安全标准，理由如下： 如图， 在中，，， （ ， ，， ， 梯子摆放不符合安全标准； （2）如图， 梯子下滑， ， ， 在中，， 答：梯子的底端滑动了米 5．（2025·上海普陀·模拟预测）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】灯泡到地面的高度为． 【分析】本题主要考查了解三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为．在中，利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∴四边形为矩形， 在中，， ． 四边形为矩形， ． ∵， ． ． 在中，， ． ． 答：灯泡到地面的高度为． 【经典例题五 十字模型】 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据题意得出，进一步得出，再由点F在的垂直平分线上得出，据此求出的度数即可解决问题． （2）由的长得出的长，再进一步求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， 点F在BC的垂直平分线上， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：，， 在中， 在中， ． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 3．（24-25九年级上·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可证得，继而得证； （2）由，在中可得，证明，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，等边对等角以及三角函数等知识，掌握相似三角形的判定和性质、三角函数的定义是解题的关键． 4．（2025·上海虹口·模拟预测）登封境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社团的同学测量嵩岳寺塔的高度，如图，是嵩岳寺塔附近的某建筑物，高为14.7米，同学们利用测角仪在建筑物的底端D处测得塔顶端B的仰角为，在建筑物的顶端C处测得塔底端A的俯角为， ，，点A，D在同一水平线上．求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，） 【答案】约为36.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角、俯角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 由，可得，由题意得，在中，，米，由正切的定义可得米，在中，，由正切的定义可得，由此即可求出嵩岳寺塔的高度． 【详解】解：，， ， 在中，，米， （米）， 在中，， （米）， 嵩岳寺塔的高度约为36.3米． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）桔槔（）是古代的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图（a），线段代表固定支架，点D、点C、点O分别代表重物、水桶和支点，线段，是无弹力且长度固定的麻绳，绳长，木质杠杆． (1)当水桶C的位置低于地面如图（b）所示，支架与绳子之间的距离是，且时，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方如图（c）所示，求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）过点A作于点G，交于点N，，利用余弦函数的定义求出，，进而求出，根据矩形的判定和性质求出，即可求解． （2）过点O作于点，延长交延长线于点N，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点G，交于点N，设与地平面相交于T， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， 答：这个桔槔支架的高度为； （2）解∶ 过点O作于点，延长交延长线于点N， 由（1）知：，，， ， ， ， ，即， ， ， 答：重物D相对于（1）中的位置下降的高度为 【经典例题六 特殊角组合模型】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）综合与探究 小新学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值． 解题思路：小新先画出了几何图形（如图1），他说得22.5°虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连结，构造出等腰（如图2）． 解题过程：在上截取，再连结，可证为等腰三角形，设，则，……． (1)实践应用：请把上面小新的解题过程补充完整； (2)尝试应用：如图3，求的值； (3)拓展应用：如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3) 米 【分析】此题主要考查了阅读材料的能力，解直角三角形，模仿求的方法求出是解本题的关键． （1）直接利用计算补充解题过程即可； （2）作线段的中垂线，交上于点，则使，连接，得到，再同材料的解题思路即可求出答案； （3）四边形是矩形，进而得出米，米，进而求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：在上截取，再连结， 可证为等腰三角形，设，则， ∴． （2）解：作线段的中垂线，交上于点 D，连接 ，则使， ，        设 则，      ； （3）解：由题意可得米，米， 在中,，， ，                  ， (米),                                 (米)． 答:纪念碑的高度约为 米． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时70海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求B处到灯塔P的距离； （2）已知灯塔P的周围海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？（结果保留非特殊角三角函数值） 【答案】（1）70海里；（2）安全 【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∴海里． （2）作于点H，如图， ∵， ∴ 在中，， ∴． ∵ ∴ ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）喜欢钻研的小亮对角的三角函数发生了兴趣，他想：度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求的正弦值呢？经研究，他发现：，于是他大胆猜想：（和为锐角）．将图（）等积变形为图（）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图（）和图（）．如图，锐角为的直角三角形斜边为，锐角为的直角三角形斜边为，请你借助图（）和图（）证明上述结论能成立． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形面积公式求出图（）中的平行四边形面积，根据矩形的面积公式求出图（）中的矩形和矩形面积，由图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等，即可证明． 【详解】解：如图（），原来内部的正方形变成了一个平行四边形，，为相邻两边，其夹角为， 作的高交于点， 则， 则, 如图（），原来的两个小正方形变成矩形和矩形， 则， ， 图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等， ， 即得证． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，解题关键是理解图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等． 4．（2025·上海松江·模拟预测）某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面与全等且平行，与各边表示挡雨棚支架，支架，，垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（O，分别在，的延长线上）． (1)若，，，小组成员对曲线段有两种假设，分别为： ①挡雨板（曲面）的面积可以近似为线段与线段长的乘积，且． ②曲线近似为以点O为圆心的圆弧． 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到）． (2)如图2，设垂直墙面（），支架线段下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于，上、下窗框所在直线分别与相交于点E，F．若，窗的上、下框距离，请问下雨时，雨滴会打进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打进窗内，请写出雨滴落点距点F的最小距离（参考数据：，精确到0.01m）． 【答案】(1)①；② (2)雨棚AB外沿需要加长0.04m，才能使雨滴不会打进窗内 【分析】（1）①根据“挡雨板（曲面的面积可以近似为线段与线段长的乘积”确定出的长即可； ②利用扇形的弧长公式求出的弧长，进而计算即可； （2）根据，，可得，根据，可以判断出下雨时，雨滴会打进窗内，设雨棚外沿加长m，若使雨滴不会打进窗内，即：，从而列出含的不等式解答即可． 【详解】（1）解：①，， 是直角三角形， ， 挡雨板的面积为：； ②由题意得：扇形的圆心角为， 的弧长为：， 挡雨板的面积为：； （2）解：如图，雨滴按照下落，与相交于点， ，， ， ， 下雨时，雨滴会打进窗内， 设雨棚外沿加长m，即：， 若使雨滴不会打进窗内，即：， ， ， 雨棚外沿加长0.04m，才能使雨滴不会打进窗内． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，直角三角形的判定，弧长公式，角的直角三角形的性质，熟练掌握模型思想是解答本题的关键． 5．（24-25九年级上·上海青浦·期中）【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出的值． 如图1，在中，，延长到点，使，则有． 在中，，∴，； 在中； ∴． 【实际应用】（1）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（ ），于2025年2月7日至2月14日举行，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，广州融创热雪奇迹为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道，如图2所示，滑道的坡角，水平宽度m．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度是多少米？（结果取整数，参考数据）． 【类比探究】（2）如果滑雪场准备再建一条坡角为的滑道． 已知：中（图3），．求出的值是多少？ 【答案】（1）27米；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用. （1）在中，根据，，即可求解； （2）延长到点，使，连接，构造，然后在中， ，得出，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中 ∵， ∴ 答：滑道的铅直高度是米． （2）解：延长到点，使，连接 ∴（等边对等角） ∵ ∴ 在中，   ∵，   ∴   ∴   ∴ 在中， ∴． 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在四边形中，对角线于点，，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意，易得，得到，设，则：，根据同角的余角相等，得到，列出比例式求出的值，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴； 故选：D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在中，，连接，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】过点A作，连接，通过解直角三角形得出，根据勾股定理求出，利用平行四边形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，，设，则，通过勾股定理得出x，进而可得出，再利用勾股定理得出，证明，由全等三角形的性质得出，即可求出． 【详解】解：过点A作，连接， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的作法和性质，平行线的性质，掌握这些性质是解题的关键 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（    ）（参考数据：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，千米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， （千米），（千米）， 在中，， （千米）， （千米）， 天舟二号从A处到B处的距离的长约为千米， 故选：D． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得，，米，米，，，由的坡度为，可得，进而得到，即得，得到，过点作于，可得米，解得米，进而解可得米，即可得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米， 故选：． 6．（2025·上海闵行·模拟预测）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽为，榫槽深度为，则它的里口宽为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质：过点A作，垂足为E，过点D作，垂足为F，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用证明，从而可得，最后根据题意得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为E，过点D作，垂足为F， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，在坡角的山顶C上有一座古塔，在山脚A处测得古塔顶部B的仰角为，斜坡长为350米，则古塔的高为 ． 【答案】（米） 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用含角的直角三角形的性质求出相关的线段长度，再判断出为等腰直角三角形，得出，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，在中，， ∴（米）， 由勾股定理得（米）， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：（米）． 8．（2025·上海金山·模拟预测）如图，，是的两条切线，切点分别为点A，B，连接与相交于点C，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握余弦定义是解答的关键．利用余弦定义可求得，在中，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，是的两条切线，切点分别为点A，B， ∴，，又， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 设，， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 9．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC中，用正切和正弦，分别求出BC和AC（即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE中，用∠DCE的余弦求出DC，然后把BC和DC加起来即为巷子的宽度． 【详解】解：如图所示： AB=2 米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE. 则在直角三角形ABC中, ＝tan∠ACB＝tan60°＝， ＝sin∠ACB＝sin60°＝, ∴BC＝＝＝2，AC＝＝＝4， ∴直角三角形DCE中，CE=AC=4， ∴＝cos45°＝， ∴CD＝CE×＝4×＝2， ∴BD＝2+2, 故答案为2+2. 【点睛】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题． 10．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角，几秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距480米，则飞船从A到B处的距离 米（结果精确到1米；参考数据：，） 【答案】1130 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，，米， ∴（米），（米）， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 飞船从A到B处的距离约为1130米， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足，现有一架长的梯子． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？ (2)当梯子底端距离墙面时，α等于多少度？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1） 【答案】(1)使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙 (2)，此时人能够安全使用这架梯子 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题． （1）根据图形可知：α最大时，这架梯子可以安全攀上的墙最高，由正弦的定义求出，得到答案； （2）根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，这架梯子可以安全攀上最高的墙， 在中，， ∴， 答：使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙； （2）解：在中，， 则， ∵， ∴此时人能够安全使用这架梯子． 12．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）以点C为圆心，的长为半径画弧，以点A为圆心，的长为半径画弧与前弧交于点E，点E即为所求； （2）证明，推出，在中，，设，，由，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：连接， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·上海青浦·单元测试）如图，是一种用于装修的人字形梯，合拢时，梯子的长为米，距调查，这种梯子在张角为时最安全． （1）求梯子最安全时，梯子能达到的最大高度是多少？（精确到米） （2）装修时，房顶距离地面米，一个人坐在梯子最顶端时，他的手臂能达到的最大高度比梯子最顶端高出米．要使装修正常进行，那么梯子张角至多为多少度？（精确到度） （参考数据：，，，） 【答案】(1) 梯子最安全时，梯子能达到的最大高度约是米；(2) 梯子张角至多为度． 【分析】（1）作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再解，即可求出； （2）思想根据题意得出梯子能达到的最大高度是米，再解，求出，则，于是，即梯子张角至多为度． 【详解】解：（1）如图，作于， ∵，，， ∴． 在中，∵， ∴， 即梯子最安全时，梯子能达到的最大高度约是米； （2）根据题意可知，梯子能达到的最大高度是， 在中，∵， ∴， ∴， 即梯子张角至多为度． 【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．同时考查了等腰三角形三线合一的性质． 14．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）综合与实践 问题背景： 小明在研究直角三角板时，发现含有的直角三角板具有一些特殊性质，于是他做出了如下探究． 初步发现： 如图①，在中，，，作的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则______，线段，，的数量关系是________________； 深入探究： 事实上，在含的直角三角形中，两个锐角恰好是2倍关系，而对于任意一个三角形，若有两个角存在2倍关系，这样的三角形还能具有上面发现的结论吗？带着这个疑问，小明又研究了下面一个三角形，请结合小明的发现，一起探究一下吧． 如图②，在中，，，，作交于点D． （1）求证：； （2）求的面积； 拓展应用： 像这样的三角形，我们不妨称之为“倍半角三角形”．如图③，在菱形中，，，是对角线，点E，F分别在，上，且． （3）若，，用含x的代数式表示y； 【答案】初步发现：60，；深入探究：（1）见解析；（2）；拓展应用：（3） 【分析】初步发现：根据垂直平分线的性质可得，得，再证为等边三角形，即可求解； 深入探究：（1）根据题意可得，则，再根据，求得，即可证得，进而可证得结论； （2）过点作，根据，，，求得，，进而可得，再根据三角形的面积计算公式即可求解； 拓展应用：（3）过点作，过点作，交延长线于，在菱形中，，易得，则，，由，可知，，得，，可得，由，得，进而可知，得，则，再根据，即可求解． 【详解】解：初步发现：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，则， ∴，则为等边三角形， ∴，， 故答案为：60，； 深入探究：（1）证明：∵，，则， ∴，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点作， ∵，，， ∴，， ∴， ∴的面积为； 拓展应用：（3）过点作，过点作，交延长线于， 在菱形中，， ∵， ∴，， 则， ∴，则， ∵， ∴，， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， ∴， 即：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点C离地面高度．如图，已知舞台台阶，，某学习小组在舞台边缘B处测屏幕最高点C的仰角，在距离B点的E处测得屏幕最高点C的仰角，已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且A，G，D三点在同一直线上，B，E，F三点在同一直线上．参考数据：取，取． (1)求的长（结果保留整数） (2)求最高点C离地面的高度的长（结果保留整数）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了直角三角形的应用（仰角问题）及锐角三角函数的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数关系建立等量关系求解． （1）在中，利用正弦函数的定义，结合已知的长度和的正弦值，直接计算的长度； （2）设的长度为未知数，分别在和中，利用特殊角的三角函数关系表示出和再根据列出方程求解最后结合矩形性质得到进而求出的长度． 【详解】（1）在中， ∵，， ∴•， 答：的长约为； （2）在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，由题意，知是矩形， ∴， ∴， 答：最高点C离地面的高度的长约为． 学科网（北京）股份有限公司 $