专题03 特殊三角函数50道计算题专项训练（5大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版）

第03讲 特殊三角函数50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 特殊三角形的三角函数 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 用计算器求锐角三角函数值 题型四 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型五 利用同角三角函数关系求值 【经典计算题一 特殊三角形的三角函数】 1．（2025·上海金山·模拟预测）计算：． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）计算：． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）先化简，再求代数式的值，其中． 4．（24-25九年级上·上海宝山·期末）先化简，再求值：，其中，y是一个与最接近的整数． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）先化简再求值，其中． 6．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1)； (2)． 7．（24-25九年级上·上海崇明·期中）（1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）（1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值：；其中 9．（24-25九年级上·上海崇明·期中）计算： (1)解不等式组：，并把解集表示在数轴上； (2)化简求值：，其中， 10．（2025·上海长宁·模拟预测）（1）已知是锐角，且，计算的值． （2）先化简，再求值：，其中，． 【经典计算题二 特殊角三角函数值的混合运算】 11．（2025·上海闵行·模拟预测）计算：． 12．（25-26九年级上·上海松江·开学考试）计算： (1) (2) 13．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）计算： (1)； (2)． 14．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1)； (2)． 15．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）求下列各式的值： (1) (2)． 16．（2025·上海虹口·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）计算： （1）cos245°+sin60°•tan45°； （2）． 18．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）计算： (1)； (2)； 19．（2025·上海松江·模拟预测）（1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 20．（2025·上海金山·模拟预测）化简或计算： (1)． (2)小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝ 先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ 编辑 我的解答正确吗？ 【经典计算题三 用计算器求锐角三角函数值】 21．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）利用计算器计算下列各值：（精确到） （1）；（2）；（3） 22．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，用计算器求锐角A． 23．（24-25九年级上·上海奉贤·课后作业）计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）． （1）tan63°27′； （2）cos18°59′27″； （3）sin67°38′24″． 24．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 25．（24-25九年级上·全国·单元测试）用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1)． (1)sin 20°＋cos 49°18′－cos 80°25′； (2)tan 12°12′＋. 26．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）选做题（从下面两题中任选一题） （1）用科学计算器计算：135×sin13°≈　 　（结果精确到0.1） （2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值 27．（24-25九年级上·上海青浦·课后作业）已知、都是锐角，且cos+sin=1.4538，cos－sin=0.2058，求∠和∠的度数（精确到1″）． 28．（24-25九年级上·全国·单元测试）（1）验证下列两组数值的关系： 2sin30°•cos30°与sin60°； 2sin22.5°•cos22.5°与sin45°． （2）用一句话概括上面的关系． （3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立． （4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式． 29．（24-25九年级上·上海虹口·期中）选做题（从下面两题中任选一题） （1）用科学计算器计算：135×sin13°≈　 　（结果精确到0.1） （2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值 30．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算：﹣2sin45°﹣32． 温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！ 方式一：（用计算器计算）计算的结果是 ． 按键顺序为： 方式二：（不用计算器计算） 【经典计算题四 根据特殊角三角函数值求角的度数】 31．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）已知是锐角，且，计算的值． 32．（24-25九年级上·上海金山·期末） 在中， 已知 求的值．                                         33．（2025·上海徐汇·模拟预测）求满足下列条件的锐角α． (1) ； (2)． 34．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）计算： (1) ； (2)已知为锐角，，计算的值． 35．（24-25九年级上·上海崇明·单元测试）计算： (1)； (2)求中锐角的值． 36．（24-25九年级上·上海虹口·开学考试）计算下列各题： (1)． (2)若是锐角，，求的值． 37．（24-25九年级上·上海松江·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)在中，若，，都是锐角，求的度数． 38．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）（1）计算：2﹣1﹣2sin60°+（﹣1）0﹣|﹣3|﹣cos230°tan45°； （2）在中，若∠A，∠B满足|cosA -|+|sinB -|=0，求∠C的度数． 39．（24-25九年级上·上海静安·期中）1）计算：； （2）求：中锐角的值． 40．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）计算 (1)计算： (2)已知是锐角，且，计算的值． 【经典计算题五 利用同角三角函数关系求值】 41．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）计算：． 42．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）计算： 43．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）（1）； （2）． 44．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： （1）； （2）． 45．（2025·上海静安·模拟预测）计算： (1)cos30°+sin45°； (2)； (3)已知：中，，tanA=2，求的值． 46．（2025·上海闵行·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 47．（2025·上海松江·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 48．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）(1)； (2)； (3)已知，，是锐角三角形的三个内角，且满足，求的度数； (4)已知的值是方程的一个根，求式子的值． 49．（24-25九年级上·上海金山·课后作业）观察下列等式： ①sin30°=，cos60°=； ②sin45°=，cos45°=； ③sin60°=，cos30°=． （1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ． （2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°． 50．（24-25九年级上·上海虹口·单元测试）计算下列各题． (1) (2) (3)一般地，当a、b为任意角时，sin(a+b)与sin(a-b)的值可以用下面的公式求得：;  ．例如.请你试着求一求sin15的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 特殊三角函数50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 特殊三角形的三角函数 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 用计算器求锐角三角函数值 题型四 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型五 利用同角三角函数关系求值 【经典计算题一 特殊三角形的三角函数】 1．（2025·上海金山·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、0指数幂和特殊角的三角函数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 原式先化简绝对值、计算0指数幂、代入特殊角的三角函数，再计算加减即可． 【详解】解： ． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了实数的运算，先根据零指数幂、算术平方根、绝对值、特殊三角函数值的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后计算求出x的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（24-25九年级上·上海宝山·期末）先化简，再求值：，其中，y是一个与最接近的整数． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化等知识点，正确计算是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简为最简分式，再求出，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， ； ， ， ∵， ∴与最接近的整数是，即， 原式． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）先化简再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数，分母有理化等知识，先根据分式的运算法则进行化简，然后根据特殊角的三角函数值求出a的值，最后把a代入计算即可． 【详解】解∶ ， ∵， ∴原式． 6．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）依次计算算术平方根，零指数幂，实数的绝对值及特殊角三角函数，最后相加减即可； （2）分别计算特殊角三角函数，负整数指数幂，零指数幂，实数的绝对值，逆用积的乘方，最后相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数，实数的绝对值，算术平方根，积的乘方的逆用等知识点，涉及较多的知识点，熟练掌握是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海崇明·期中）（1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的运算． （1）先计算乘方、负整数指数幂、立方根、代入三角函数值，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出a的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ， ， 原式． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）（1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值：；其中 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得解； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法约分即可化简，最后代入的值计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 9．（24-25九年级上·上海崇明·期中）计算： (1)解不等式组：，并把解集表示在数轴上； (2)化简求值：，其中， 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为该不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可； （2）先根据分式混合运算法则和运算顺序化简原式，再利用特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂运算法则求得x、y值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图所示： （2）解： ， ∵，， ∴原式． 10．（2025·上海长宁·模拟预测）（1）已知是锐角，且，计算的值． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）3；（2）； 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，整式混合运算法则，进行计算即可． （1）先根据得出，求出，根据零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，二次根式运算法则，进行计算即可； （2）先根据整式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴ ； （2） ， 把，代入得： 原式． 【经典计算题二 特殊角三角函数值的混合运算】 11．（2025·上海闵行·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的求解，正确求解三角函数值是解决本题的关键． 根据的余弦值，的正弦值和的正切值求解即可． 【详解】解： ． 12．（25-26九年级上·上海松江·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值的混合运算， 对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），根据，再计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了实数的运算及特殊角的三角函数值． （1）先计算特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． （1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值． （1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（2025·上海虹口·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算、算术平方根、特殊角的三角函数、负整数指数幂和分母有理化等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简原式，再计算算术平方根，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂化简a，然后把a的值代入化简后的式子求解即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 17．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）计算： （1）cos245°+sin60°•tan45°； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】将三角函数的各个函数值并带入求解，同时注意任何非零数的零次方为1即可求解. 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题主要考查三角函数的函数值和实数的计算，将三角函数的具体函数值带入后根据实数计算的计算法则求解，并注意绝对值和零次方的计算. 18．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含三角函数的实数的运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先去绝对值，再计算三角函数和乘方，最后计算加减即可； （2）先化简二次根式，再去绝对值，计算三角函数和乘方，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（2025·上海松江·模拟预测）（1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 【答案】（1）；（2）①一；②去分母时，等号右边的未乘以 【分析】本题考查解分式方程，实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可． （2）①根据解分式方程的方法解答即可； ②根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①上述解方程过程中，从第一步开始错误， 故答案为：一； ②错误的原因是去分母时，等号右边的未乘以)， 故答案为：去分母时，等号右边的未乘以． 20．（2025·上海金山·模拟预测）化简或计算： (1)． (2)小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝ 先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ 编辑 我的解答正确吗？ 【答案】(1) (2)①；，，过程见解析 【分析】（）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）根据分式的性质和运算法则化简求值即可； 本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）（）解：这个解答从第①步开始出现错误； 正确解答为： 解：原式 ， 当时，原式， 故答案为：①． 【经典计算题三 用计算器求锐角三角函数值】 21．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）利用计算器计算下列各值：（精确到） （1）；（2）；（3） 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】利用计算器计算即可. 【详解】≈0.342 ≈0.496 ≈0.999 故答案为；； 【点睛】本题考查计算器的使用并且考查了精确到近似位，关键在于熟悉计算器的使用. 22．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，用计算器求锐角A． 【答案】. 【分析】启动开机键后，在角的度量单位是“度”的状态下，先按副功能键“2ndF”和相应三角比的名称键，再输入三角比的值，按“=”键后，即可得到以度为单位的锐角度数. 【详解】∵， ∴∠A=. 【点睛】本题考查了学生的操作能力及对基本概念的应用能力，熟析计算器的使用方法是解答本题的关键. 23．（24-25九年级上·上海奉贤·课后作业）计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）． （1）tan63°27′； （2）cos18°59′27″； （3）sin67°38′24″． 【答案】（1）2.0013；（2）0.9456；（3）0.9248． 【详解】试题分析：将度、分、秒统一为度，然后利用计算器即可求出结果． 试题解析： 解：（1）tan63°27′=tan63.45°≈2.0013； （2）cos18°59′27″=cos18.9908°≈0.9456； （3）sin67°38′24″=sin67.64°≈0.9248． 点睛：本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，需要同学们熟记近似数的精确度． 24．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用计算器求正切值，直接利用计算器进行计算即可． 【详解】（1） 解：依次按键， 显示结果为2.144506921，即； （2） 依次按键， 显示结果为0.4101298895，即． 25．（24-25九年级上·全国·单元测试）用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1)． (1)sin 20°＋cos 49°18′－cos 80°25′； (2)tan 12°12′＋. 【答案】(1) 0.8723；(2) -2.0572 【分析】先把49°18′化为49.3°，80°25′化为80.4°，12°12′化为12.2°，71°18分化为71,3°，20°57′化为20.95°然后利用计算器分别算出各个锐角的三角函数值，相加后四舍五入即可． 【详解】sin20°+cos49°18′-cos80°25′ =sin20°+cos49.3°-cos80.4° ≈0.3420+0.6521-0.1668 =0.8723 tan12°12′+cot71°18′-cot20.57′ =tan12.2°+cot71.3°-cot20.95° ≈0.2162+0.3385-2.6119 =-2.0572 故答案为0.8723；-2.0572 【点睛】本题考查的知识点是用计算器计算三角函数，解题关键是要注意把度数先转化为以度为单位，熟练使用计算器求锐角三角函数值． 26．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）选做题（从下面两题中任选一题） （1）用科学计算器计算：135×sin13°≈　 　（结果精确到0.1） （2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值 【答案】（1）301165.0；（2）3. 【分析】（1）根据锐角三角函数的值即可求出答案； （2）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案． 【详解】解：（1）原式＝××0.224 95 ≈135×3.605×0.225 ≈371293×3.605×0.225 ≈301165.0； 故答案为301165.0； （2）∵α是锐角，且sin（α+15°）＝， ∴α+15°＝60°， ∴α＝45°， ∴原式＝2﹣4×﹣1+1+3＝3； 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 27．（24-25九年级上·上海青浦·课后作业）已知、都是锐角，且cos+sin=1.4538，cos－sin=0.2058，求∠和∠的度数（精确到1″）． 【答案】∠≈38°36′32″，∠≈33°55′18″. 【分析】根据题意联立方程求出cos，sin的值，再用计算器求角度即可. 【详解】解：根据题意联立方程得， 解得cos=0.8298，=0.6240， ∵、都是锐角， ∴∠≈38°36′32″， ∠≈33°55′18″. 【点睛】本题考点，解二元一次方程组，用计算器求锐角. 28．（24-25九年级上·全国·单元测试）（1）验证下列两组数值的关系： 2sin30°•cos30°与sin60°； 2sin22.5°•cos22.5°与sin45°． （2）用一句话概括上面的关系． （3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立． （4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式． 【答案】（1）；；0.7；0.7；（2）一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α． 【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论； （2）根据（1）中的关系可得出结论； （3）任选一个角验证（3）的结论即可； （4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可． 【详解】（1）∵2sin30°•cos30°=2，sin60°． 2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°0.7，∴2sin30°•cos30°=sin60°，2sin22.5°•cos22.5=sin45°； （2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值； （3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97，sin30°； 故结论成立； （4）2sinα•cosα=sin2α． 【点睛】本题考查了三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键． 29．（24-25九年级上·上海虹口·期中）选做题（从下面两题中任选一题） （1）用科学计算器计算：135×sin13°≈　 　（结果精确到0.1） （2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值 【答案】（1）301165.0；（2）3. 【分析】（1）根据锐角三角函数的值即可求出答案； （2）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案． 【详解】解：（1）原式＝××0.224 95 ≈135×3.605×0.225 ≈371293×3.605×0.225 ≈301165.0； 故答案为301165.0； （2）∵α是锐角，且sin（α+15°）＝， ∴α+15°＝60°， ∴α＝45°， ∴原式＝2﹣4×﹣1+1+3＝3； 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 30．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算：﹣2sin45°﹣32． 温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！ 方式一：（用计算器计算）计算的结果是 ． 按键顺序为： 方式二：（不用计算器计算） 【答案】﹣9；-9. 【分析】方式一按照计算器的规则按键即可，方式二则直接代入特殊角度的正弦值即可，即sin45°=. 【详解】方式一：（用计算器计算） 计算的结果是﹣9． 按键顺序为：（以卡西欧计算器为例） 方式二：（不用计算器计算） 原式＝. 【点睛】本题考查了运用计算器计算或通过代入特殊角度的三角函数值来计算含有三角函数的混合运算. 【经典计算题四 根据特殊角三角函数值求角的度数】 31．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）已知是锐角，且，计算的值． 【答案】1 【分析】利用特殊角的三角函数值求出α的度数，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵α是锐角，且， ∴α-15°＝45°，即α＝60°， 则原式＝2--|1﹣2×|+ ＝2-2-+1+ ＝1． 【点睛】此题考查了含特殊角三角函数值的实数计算，熟记特殊角三角函数值和熟练掌握运算法则是解本题的关键． 32．（24-25九年级上·上海金山·期末） 在中， 已知 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负数和为零得出，求出、度数，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：                                                 ∴，， ∴． 33．（2025·上海徐汇·模拟预测）求满足下列条件的锐角α． (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据特殊角三角函数值，即可得答案； 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解： 锐角 （2）解： 34．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）计算： (1) ； (2)已知为锐角，，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算； （2）根据特殊角的三角函数值，确定特殊角的度数，再代入式子计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：为锐角，， ， ， ． 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 35．（24-25九年级上·上海崇明·单元测试）计算： (1)； (2)求中锐角的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值，再计算加减即可； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 36．（24-25九年级上·上海虹口·开学考试）计算下列各题： (1)． (2)若是锐角，，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解； （2）根据特殊角锐角三角函数值，可得，再根据二次根式，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 37．（24-25九年级上·上海松江·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)在中，若，，都是锐角，求的度数． 【答案】(1)1 (2)2 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数计算即可； （3）先通分，再约分即可化简； （4）根据特殊角的三角函数可得和的度数，进一步可得的度数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：∵， ，， ，都是锐角， ，， ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，分式的加减和乘除，非负数的性质，特殊角的三角函数等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 38．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）（1）计算：2﹣1﹣2sin60°+（﹣1）0﹣|﹣3|﹣cos230°tan45°； （2）在中，若∠A，∠B满足|cosA -|+|sinB -|=0，求∠C的度数． 【答案】（1）    （2）75° 【分析】（1）根据负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式，再合并计算即可解答. （2）根据绝对值的定义，求出∠A和∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C的值. 【详解】（1）原式=-+1-- = = = （2）根据题意得：，；∠A=60° ，；∠B=45° ∠C=180°-∠A-∠C=180°-60°-45°=75° 故∠C的度数是75°. 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值. 39．（24-25九年级上·上海静安·期中）1）计算：； （2）求：中锐角的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先化简各式，再进行加减计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 40．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）计算 (1)计算： (2)已知是锐角，且，计算的值． 【答案】(1)1 (2)0 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可； （2）先利用锐角的正弦求解的大小，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 是锐角，且， 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【经典计算题五 利用同角三角函数关系求值】 41．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，和特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算．掌握同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，特殊角的三角函数值是解题关键． 42．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，同角三角函数关系，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值以及同角三角函数关系进行计算即可． 【详解】解： 43．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）（1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查同角三角形函数的关系，特殊角的三角形函数值，关键是掌握同角三角形函数的平方关系，特殊角的三角形函数值． （1）由同角三角形函数的平方关系，特殊角的正弦值，正切值，即可计算； （2）由特殊角的正切值，完全平方公式，二次根式的性质，即可计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 44．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）代入特殊角度的三角函数值计算即可； （2）根据互余两角三角函数的关系即可解题． 【详解】（1）； ； ； ； （2）． 【点睛】本题考查锐角三角函数的计算．解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值以及互余两角三角函数的关系：若A、B互余，则,． 45．（2025·上海静安·模拟预测）计算： (1)cos30°+sin45°； (2)； (3)已知：中，，tanA=2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解； （2）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解； （3）分子分母同时除以原式可变形为，再把tanA=2代入，即可求解． 【详解】（1）解：cos30°+sin45° ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，同角三角函数关系，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 46．（2025·上海闵行·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 47．（2025·上海松江·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 48．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）(1)； (2)； (3)已知，，是锐角三角形的三个内角，且满足，求的度数； (4)已知的值是方程的一个根，求式子的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先求出特殊角的三角函数值，然后进行运算即可； （2）先分别计算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可； （3）由题意得，，，计算求解，确定，然后根据三角形内角和定理求解即可； （4）解方程得正切值，然后根据，计算求解即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∴的度数为； （4）解：∵， ， 解得， ∴， ∴， ∴式子的值为． 【点睛】本题考查了特殊的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，算术平方根，三角形内角和定理，同角三角函数的关系，解一元二次方程．熟练掌握特殊的三角函数值，一元二次方程的根等知识是解题的关键． 49．（24-25九年级上·上海金山·课后作业）观察下列等式： ①sin30°=，cos60°=； ②sin45°=，cos45°=； ③sin60°=，cos30°=． （1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ． （2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°． 【答案】（1）1（2） 【详解】分析： （1）观察、分析所给等式可得：，结合即可求得本题的答案为1； （2）把原式化为（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°，再结合（1）中所得结论进行计算即可求得本题答案. 详解： （1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=cosα， ∴sin2α+sin2（90°-α）= sin2α+cos2α=1； （2）由（1）中结论可得： sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° =（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245° =1+1+…1+ =44+ =． 点睛：本题的解题要点是：（1）；（2）. 50．（24-25九年级上·上海虹口·单元测试）计算下列各题． (1) (2) (3)一般地，当a、b为任意角时，sin(a+b)与sin(a-b)的值可以用下面的公式求得：;  ．例如.请你试着求一求sin15的值． 【答案】（1）；（2）0.5；（3） 【详解】试题分析：（1）本题考查了二次根式的混合运算，先算乘除，后算加减；（2）把第二项和第三项先提”-”,再运用三角函数的性质=1计算;(3)把 sin15写成sin(45-30),再根据计算. (1) 解：原式 (2) 解：原式 （3）解：由题意得：sin15=sin(45-30)=sin45·cos30-cos45·sin30 学科网（北京）股份有限公司 $