专题02 解直角三角形重难点题型专训（5个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义以“解直角三角形”为核心，构建了由基础概念到综合应用的完整知识体系。通过清晰的知识框架图梳理五大核心知识点，用表格对比不同题型的解题策略，借助思维导图呈现仰角俯角、方位角、坡度问题之间的内在联系，突出“构造直角三角形”这一关键方法，帮助学生建立从现实情境中抽象出数学模型的能力。 讲义的亮点在于紧扣新课标核心素养，设计具有层次性的练习与方法指导。例如在“拓展训练三：直角三角形与函数的综合应用”中，通过动点运动问题引导学生运用数形结合思想分析函数关系，培养逻辑推理能力；在“经典例题四：仰角俯角问题”中，强调作辅助线构造直角三角形的方法技巧，提升几何直观和建模意识。每类题型均配有典型例题与变式训练，既支持基础薄弱学生掌握基本模型，又助力优秀学生突破难点，教师可据此实施精准分层教学，有效提升复习效率。

专题02 解直角三角形重难点题型专训 （5个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 仰角俯角问题 题型五 方位角问题 题型六 坡度坡比问题 拓展训练一 与直角三角形有关的动点问题 拓展训练二 直角三角形与勾股定理的综合应用 拓展训练三 直角三角形与函数的综合应用 拓展训练四 解直角三角形的综合应用 知识点一：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意画出示意图，再利用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：如图，   ， 在中，， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 知识点二：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 【即时训练】 1．（2025·上海松江·模拟预测）如图，从热气球看一面墙底部的俯角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查对俯角定义的理解，根据俯角的定义可直接得出结果． 【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角， ∴为对应的俯角， 故选A． 2．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ． 【答案】 仰角 俯角 【分析】根据仰角定义：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角；俯角的定义：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角直接填写即可得到答案． 【详解】解：如图所示：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角， 故答案为：仰角；俯角． 【点睛】本题考查仰角、俯角定义，熟记根据仰角定义：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角；俯角的定义：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角，是解决问题的关键． 知识点三：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距50海里，∴PA＝50， ∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处， ∴∠APB＝90°　BP＝60×＝40， ∴tan∠BAP=，故选A． 2．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）如图，一轮船由南向北航行到处时，发现与轮船相距海里的岛在北偏东方向．已知岛周围海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船 （填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器） 【答案】没有 【分析】求出AB后和20相比较，可以直接用正弦函数解答． 【详解】解：已知OA=40，∠O=33°， 则AB=40•sin33°≈21.79＞20． 所以轮船没有触暗礁的危险． 故答案为: 没有． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出AB的长是解题关键． 知识点四：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，是水阳江某段河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义直接求解即可．理解坡度的概念是解题的关键． 【详解】解：∵坡高，水平距离， ∴斜坡的坡度为， 故选：A． 2．（2025·上海松江·模拟预测）小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米． 【答案】50 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 知识点五：解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，为垂直于地面放置的竹竿，米，当太阳光线与竹竿所夹锐角为时，竹竿在地面上的影子长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：解：由题意得：， 在中，，米， ∴， ∴（米）， 即竹竿在地面上的影子长为米． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为 ．（参考数据：） 【答案】107 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴原直角三角形玻璃的面积， 故答案为：107． 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 【例1】（24-25九年级上·上海长宁·期中）钟表表盘上的圆周被均匀划分为等份，如果表盘的半径为，那么表盘上每相邻的两个刻度之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，钟表表盘被均匀分为12等份，相邻刻度对应的圆心角为30°，依题意，，，连接，过点作于点，解直角三角形，得出，进而求得即可求解． 【详解】解：如图，设为表盘上相邻的两个刻度，则，，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则正六边形的边长a是（    ）mm． A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由正多边形的外接圆半径、边长、边心距组成的直角三角形是解题的关键． 如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，，．的平分线交于点D，过点D作的垂线，垂足为E，过点C作的平行线交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，证明出使用勾股定理是解决本题的关键． 本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再证明与全等，由全等的性质可得，设出未知数使用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，． 根据勾股定理． ∵，， 是的平分线， ∴，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 又∵， ∴， 设， 则， 又∵， 则， 在中，， ∴，解得， ∴的长为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例．作于点，作于点，设，，求得，，，在中，利用勾股定理求得，再利用余弦函数的关系求得，证得，再利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，使用时，以点为支撑点，铅笔芯端点可绕点旋转作出圆．已知． (1)当时，求所作圆的半径；（结果精确到） (2)保持不变，在旋转臂末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到） （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点C，根据三线合一性质，正弦函数的意义解答即可． （2）过点A作于点D，根据题意，得，故，根据三线合一性质，正弦函数的意义解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，正弦函数的应用，熟练掌握性质和正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：过点O作于点C， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作于点D， 根据题意，得， 故， 故折断的部分长为， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 1（2025·上海宝山·模拟预测）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（　　）米．    A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5 【答案】B 【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，    由i＝3：4， 可设AF＝3x，DF＝4x， ∵AD＝10， ∴9x2+16x2＝100， 解得：x＝2（负值舍去）， 则AF＝BE＝6，DF＝8， ∴AE＝DF+BD＝8+12＝20， ∵∠CAE＝45°， ∴CE＝AE＝20， 则BC＝CE+BE＝20+6＝26， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 2．（24-25九年级·上海长宁·课后作业）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．则sin∠ACB ． 【答案】 【分析】作BD⊥AC,交CA的延长线于D,由∠BAC＝120°，得到∠BAD=60°,根据含30°的直角三角形三边的关系得到AD=5,BD=5,再根据勾股定理计算出BC=5,然后利用正弦的定义求解. 【详解】解：作BD⊥AC交CA的延长线于D,如图, ∵∠BAC=120°, ∴∠BAD=60°, 在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10, ∴AD=AB=5,BD=5, ∴CD=AC+AD=5+5=10, 在Rt△BCD中,BC==5, ∴sin∠ACB===. 【点睛】本题考查了解直角三角形,中等难度,构造直角三角形,在直角三角形中利用边长表示出正弦值是解题关键. 3．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）某海域有，两个港口，港口在港口北偏西方向上，距港口海里，有一艘船从港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于港口南偏东方向的处，求该船与港口之间的距离即的长度为 ． 【答案】海里 【分析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案． 【详解】作AD⊥BC于D， ∵,AE∥BF， ∴,又 ∴ 又AB=60， ∴ ∵ ∴ 在Rt△ACD中,   则 ∴ ∴ 故答案为()海里. 【点睛】考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键. 4．（24-25九年级上·上海金山·期中）在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒. （1）请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73，计算结果保留两位小数）. （2）请你以交通警察叔叔的身份对此小轿车的行为作出处理意见，并就乡村公路安全管理提出自己的建议．（处理意见合情合理，建议尽量全面．） 【答案】(1)超速了，理由见解析；（2）答案见解析. 【分析】(1) 作CD⊥AB于点D，先解等腰直角三角形ADC，得出AD=CD=100，解Rt△BCD中，求出BD≈173，那么AB=AD+BD≈273，再根据速度=路程÷时间得出小轿车经过AB路段的速度，与限制速度相比较即可． (2)计算出超速的百分比，按交通法规处罚；建议地方公安机关依法严格查处道路交通违法行为和交通事故，指导地方公安机关维护城乡道路交通秩序和公路治安秩序，加强车辆的维护和检查工作. 【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D． ∵在Rt△ADC中，∠ACD=45°，AC=100， ∴CD=AC•cos∠ACD=AC=100， ∴AD=CD=100． ∵在Rt△CDB中，∠BCD=60°， ∴∠CBD=30°， ∴BD=CD=100． ∴AB=AD+BD=100+100=100（+1）≈273． 又∵小轿车经过AB路段用时13秒， ∴小轿车的速度为=21米/秒=75.6千米/时． 而该路段限速为60千米/时≈16.67米/秒， ∵21＞16.67， ∴这辆小轿车超速了． (2)处理意见： 在限速为50公里以上80公里以下的道路，时速超过限定时速10%以上不到20%的，处100元罚款;超过限定时速20%以上不到50%的，处150元罚款等，因为60×（1+10%）=66千米/时，60×（1+20%）=72千米/时<75.6千米/时<60×（1+50%），所以应该是处150元罚款；因为小车超速未达20%的扣3分，超速20%以上未达到50%的扣6分，所以扣6分． 建议：①地方公安机关依法严格查处道路交通违法行为和交通事故；指导地方公安机关维护城乡道路交通秩序和公路治安秩序，加强车辆的维护和检查工作；②让人民群众认真学习交通安全的法律法规，遵守交通规则，加强安全意识，树立交通安全文明公德，远离伤痛，珍爱生命；③提高驾驶员的职业修养，确确实实牢记安全，在什么样的道路上行驶，都要遵守各种道路的规定，防止疲劳驾车，注意前后车辆的距离等. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】（24-25九年级上·上海崇明·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 1．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决． 【详解】解：当时，，即S与t是二次函数关系，有最小值，开口向上， 当时，，即S与t是二次函数关系，开口向下， 由上可得，选项C符合题意， 故选C． 【点睛】考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2025·上海静安·模拟预测）已知AB=AC,tanA=2，BC=5，则△ABC的面积为 . 【答案】 【分析】作CD⊥AB，由tanA=2，设AD=x,CD=2x,根据勾股定理AC=x，则BD=， 然后在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2,即52=4x2+,解得x2=，则S△ABC=== 【详解】如图作CD⊥AB， ∵tanA=2，设AD=x,CD=2x, ∴AC=x，∴BD=， 在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2, 即52=4x2+, x2=， ∴S△ABC=== 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 3．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选择M点作为观测点,从M点测得山顶P的仰角为30°,在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上,量得这两点间的图上距离为3 cm,则山顶P的海拔高度为 m.(取=1.732) 【答案】1116 【分析】由比例尺易得PM实际长.利用相应的三角函数求得MP的高度差,加上M点的高度即可. 【详解】:在比例尺为1:50000的该地区等高线地形图上,量得这两点间的图上距离为3cm,则实际距离为1500m. 从M点测得山顶P的仰角为, 高度差为: . 点的海拔为250m, 山顶P的海拔高度为. 故答案为1116. 【点睛】本题是跨学科综合题,看图理解题意是关键.考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形. 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈） 【答案】（1）12；（2）32米． 【分析】（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，由∠ADE=45°可得AE=DE，设AF=a,则AE＝（a﹣3），BF=21+(a-3)，根据∠ABF的正切值可求出a的值，即可得答案；（2）根据∠ABF的正弦值求出AB的长即可. 【详解】解：（1）如图，作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E， 由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF， ∵∠AED＝∠AFB＝90°， ∴∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， 设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米， ∵tan∠B＝， ∴tan22°＝， 即， 解得，a＝12， 答：城门大楼的高度是12米； （2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝， ∴sin22°＝， ∴AB≈12÷=32， 即A，B之间所挂彩旗的长度是32米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 【经典例题四 仰角俯角问题】 【例4】（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，利用正切的定义，可得出，解之即可得出旗杆的高度． 【详解】解：在中，， ， ． 故选：A． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点，设米，在中，可得米，在中，，求出的值，进而可得出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：延长，交于点， 由题意得，米，米， 设米， 则米， 在中，， ， 米， 在中，， 解得， （米． 故选：A． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，河旁有一座小山，山高，点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为．若在此处建桥，河宽的长度为 ．（结果精确到1m，参考数据：）    【答案】91m 【分析】根据等腰三角形的性质可得，在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出结果； 此题主要考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ，      (m) 答：河宽的长约为； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点C离地面高度．如图，已知舞台台阶，，某学习小组在舞台边缘B处测屏幕最高点C的仰角，在距离B点的E处测得屏幕最高点C的仰角，已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且A，G，D三点在同一直线上，B，E，F三点在同一直线上．参考数据：取，取． (1)求的长（结果保留整数） (2)求最高点C离地面的高度的长（结果保留整数）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了直角三角形的应用（仰角问题）及锐角三角函数的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数关系建立等量关系求解． （1）在中，利用正弦函数的定义，结合已知的长度和的正弦值，直接计算的长度； （2）设的长度为未知数，分别在和中，利用特殊角的三角函数关系表示出和再根据列出方程求解最后结合矩形性质得到进而求出的长度． 【详解】（1）在中， ∵，， ∴•， 答：的长约为； （2）在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，由题意，知是矩形， ∴， ∴， 答：最高点C离地面的高度的长约为． 【经典例题五 方位角问题】 【例5】（2025·上海杨浦·模拟预测）某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？ 【答案】不能．理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点C作于点D，求出C到的距离为并与比较即可得出结论． 【详解】解：不能．理由如下： 由题意可得， 设C到的距离为，如图，过点C作于点D， 则， 则有， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴不穿过文物保护区． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可． 【详解】根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是 km． 【答案】 【分析】根据题意可证得△ABC为等腰三角形，即可求出BC的长，然后再解直角三角形CBD即可求得． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 根据题意得：∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=60°-30°=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=2km， 在Rt△CBD中，(km)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC是等腰三角形． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，一艘执法船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向上，行驶半小时后到B处，这时测得灯塔C在北偏东方向上，已知在灯塔C的四周20km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 【答案】这艘执法船继续向东航行有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作，垂足为D，根据题意可得：千米，，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得千米，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行比较即可解答． 【详解】解：过点C作，垂足为D， 由题意得：（千米），， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴千米， 在中，（千米）， ∵， ∴这艘执法船继续向东航行有触礁的危险． 4．（25-26九年级上·上海松江·开学考试）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正西方向20千米的处，乙无人机位于的南偏东方向40千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏东方向上．（参考数据：，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿，往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．请问甲无人机飞离处多少千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)的长度为千米 (2)甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长. （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足，求解，，，设，则，可得，解方程即可得到答案. 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， ∵无人机甲位于A的正西方向20千米的B处，C位于D的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（千米），（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米. （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足， 由（1）得：，而， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， 答：甲无人机飞离处千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍． 【经典例题六 坡度坡比问题】 【例6】（24-25九年级上·上海金山·期中）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法．先由的坡度计算的长度，根据矩形性质得长度，再由的坡度得出的长度，根据勾股定理计算出的长度． 【详解】解：∵，其坡度为， ∴在中，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， 在中，， ∴斜坡的长度为． 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）如图，一山坡的坡度，小明从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小明上升了（） 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，设根据坡度的概念得到，根据勾股定理求出，得到的长. 【详解】设 ∵山坡的坡度 ， 由勾股定理得，， 则 解得， (米)， 故答案为： . 3．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为，斜坡的高度为，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为（图中的）．    (1)求车库的高度； (2)求点与点之间的距离（结果精确到，参考数据：，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坡度，可求得的值，根据可求得答案． （2）根据，，可分别求得，的长度． 【详解】（1）根据题意，得 ． 所以，． 所以，． 所以，车库的高度为． （2）根据题意，得 ，． 所以，． 所以，点与点之间的距离为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2025·上海青浦·模拟预测）在阳光明媚的一天，某“综合实践”小组开展了测量物体高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图，高楼的旁边有一座小山丘．某一时刻，高楼AB的影子顶端恰好落在小山丘的山顶处，测得高楼落在平地上的影长米．落在斜坡上的影长米，坡角为（即），小山丘的高为，它的背坡的坡度．在小山丘的山顶处有一棵高为4米的小树，此时，小树的顶端的影子恰好落在地面处，并测得米．已知，点B，C，E，F，H在同一条直线上，点G，D，E也在同一条直线上，求楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】楼的高度为米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，过点作于点，求出，证明四边形为矩形，得到，再证明，得到，即，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由题意知， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：楼的高度为米． 【拓展训练一 与直角三角形有关的动点问题】 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，四边形是菱形，是边上一动点，当的最小值为时，菱形的面积是（    ）    A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】如图，过作于，当时，最小，则此时，而，可得，再利用菱形的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作于，      ∵四边形是菱形， ∴， 当时，最小，则此时，而， ∴， ∴， ∴； 故选D 【点睛】本题考查的是菱形的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2026·上海虹口·模拟预测）如图1所示是一辆直臂高空升降车正在进行外墙装饰作业．图2是其工作示意图，是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面的高度为．当起重臂长度为，张角为时，求操作平台C离地面的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，则可得，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 答：操作平台离地面的高度约为． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）【操作】如图，在矩形纸片中，点，点分别是边，边上的动点，连接，．将矩形纸片分别沿直线，折叠；点的对应点为点，点的对应点为点． (1)若点与点重合，与交于点，如图①，求证：． 【探究】 (2)如图②，当点，落在对角线上时，，，则______． (3)如图③，当点，落在对角线上时，与交于点，与交于点，连接，若，，______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是弄清线段间的数量关系． （1）可推出，，从而，从而推出； （2）先求得，根据折叠得，，从而得出； （3）先证得四边形是矩形，从而，求出，进而求得和，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， 由折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， 由折叠得：， ， ； （2），，， ， 由折叠得：，， ， 故答案为：； （3）由折叠得：，，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 【拓展训练二 直角三角形与勾股定理的综合应用】 1．（2025·上海静安·模拟预测）如图，某大楼的顶部有一块广告牌，小背在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为45°，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为30°．已知山坡的坡度为，米，米． 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．熟练掌握折叠的性质是关键． （1）求点距地面的高度； （2）求广告牌的高度.（结果保留根号） 【答案】（1）米；（2）广告牌CD的高度为米． 【分析】(1)由山坡的坡度为知，BH:AH=，进而得到∠BAH=30°，再由直角三角形中30度角所对直角边等于斜边一半进而求出; (2)先求出GB的长，进而在△BCG中求出CG的长；再在△ADE中求出DE的长，DG=DE-BH即可求出DG的长，最后CD=CG-DG即可求解. 【详解】解：（1）∵山坡的坡度为 ∴，∴ ∴米. 故答案为：10米. （2）过点作于点，如下图所示： 在中，米， ∴米 ∴米 在中，由题意知， 由三角形其三边对应之比为可知： 米. 在中，， ∴米， ∴米， ∴米 故广告牌的高度米. 故答案为：. 【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）喜欢钻研的小亮对角的三角函数发生了兴趣，他想：度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求的正弦值呢？经研究，他发现：，于是他大胆猜想：（和为锐角）．将图（）等积变形为图（）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图（）和图（）．如图，锐角为的直角三角形斜边为，锐角为的直角三角形斜边为，请你借助图（）和图（）证明上述结论能成立． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形面积公式求出图（）中的平行四边形面积，根据矩形的面积公式求出图（）中的矩形和矩形面积，由图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等，即可证明． 【详解】解：如图（），原来内部的正方形变成了一个平行四边形，，为相邻两边，其夹角为， 作的高交于点， 则， 则, 如图（），原来的两个小正方形变成矩形和矩形， 则， ， 图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等， ， 即得证． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，解题关键是理解图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：    (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)25 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示：    大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：如图2所示：    在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 【拓展训练三 直角三角形与函数的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)若动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接，设运动的时间为t秒，问是否存在这样的时间t，使得与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，秒或秒 【分析】（1）根据题意可得，结合三角函数得，可知点B坐标，利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）依题意得：，分类讨论当和分别求解即可． 【详解】（1）解： 点， ，又 ， 点坐标为， 设过点的直线的函数表达式为：， 则，解得 直线的函数表达式为：； （2）解：存在．理由如下： 依题意得： ①当时， ，即 解得：； ②当时， ，即 解得： 综上，存在这样的时间，当秒或秒时，使得与相似． 【点睛】本题主要考查直角坐标系和图形的结合，涉及三角函数、点坐标、待定系数法求一次函数和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉点坐标和相似三角形的性质，以及分类思想的应用． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的运用，行程问题，解直角三角形的运用，掌握一次函数图象的性质，解直角三角形的方法是解题的关键． （1）根据解直角三角形可求的值，根据无人机的速度可求出时间，由此即可求解； （2）运用待定系数法即可求解； （3）根据无人机与小明的路程，分别求值的解析式，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点坐标是，，无人机速度为，如图所示，作于点，    ∴，， 在中，， 无人机从的时间为：， ∴小明在斜坡上的跑步速度为； （2）解：， ∴， ∴，且， 设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线所在直线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为，且， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵无人机与小明之间距离不超过， ∴在段时，，即， 解得，； 在段时，， 解得，； ∴， ∴ ∴小明沿方向运动，无人机与小明之间距离不超过的时长为． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒2个单位长度，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质______； (3)根据图象直接写出当时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图象见解析，当 时，随的增大而增大, 当 时，随的增大而减小 (3) 【分析】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． (1)分两种情形: 当和 时，利用三角函数的定义求解； (2)画出函数图象，可得结论； (3)利用图象法解决问题即可． 【详解】（1）， ， ∵是的中点， ， ， ， ， 当时, ； 当 时,； 综上所述，； （2）函数图象如图所示： 性质: 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故答案为：当 时，随的增大而增大, 当 时，随的增大而减小； （3）观察图象可知，当 时，或 ∴当时，， 故答案为：． 【拓展训练四 解直角三角形的综合应用】 1．（2025·上海·模拟预测）已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度至少应是多少厘米（结果精确到）？如果冬天正午时，光线与地面成角，窗台的高为，按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到）？ 【答案】47厘米；453厘米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 连接，根据正切函数求解即可确定，设由C进入的太阳光照在室内的D处，交于点F，得出，确定结合图形求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∴挡光板的宽度至少应是厘米； 由C进入的太阳光照进室内最远， 如图，设由C进入的太阳光照在室内的D处，交于点F， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内厘米． 2．（2025上海·闵行·模拟预测）如图是一辆停放在水平地面上的车载起重机的侧面示意图，吊杆一端固定在车厢上的点处，伸缩支撑杆一端固定在车厢上的点处，另一端固定在上的点处．在某次作业过程中，测得吊钩到车厢尾部点的水平距离为2米（即米)，．已知平行于地面，且距地面米，米，求此时吊钩距地面的高度．（结果精确到米．参考数据：） 【答案】吊钩距地面的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在中，解直角三角形求出，然后进一步计算即可． 【详解】解：由题意得：，米，米， ∴米， ∴在中，， ∴米， ∵平行于地面，且距地面米， ∴此时吊钩距地面的高度为米． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长度为 (2)线段的长度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）过点作于点，利用余弦求，即可得的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先求出和，再求出，利用得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为． （2）解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 1．（2025·上海青浦·模拟预测）一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题可在直角三角形中，利用三角函数的定义，找出竖直高度与斜坡长度、倾斜角的关系来求解．本题主要考查了直角三角形中锐角三角函数（正弦函数）的定义，熟练掌握正弦函数的含义是解题的关键． 【详解】解：在中，，米，． 米 即卡车在竖直方向上升的高度为米， 故选： ． 2．（2025·上海青浦·模拟预测）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案． 【详解】解：作于点， 甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发， ，， ， 乙货船从港沿西北方向出发， ， ， ， 答：港与港相距海里， 故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口. 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的应用． 由得，故在中使用=即可列出方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， 设为，， 在，== 即， 故选A． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm 【答案】D 【分析】过点E作EF⊥AB于点F，设AE=x cm，则AD=3x,则,然后利用AB•AD=求出x的值，即可得到AD,AB的长度，则周长可求． 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，   ∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°， ∴设AE=xcm，则AD=3x， ∵∠AEB=120°， ∴∠EAB=30°， ∴AB=2AF=， ∵六角星纸板的面积为cm2  ， ∴AB•AD=，即， 解得x=， ∴AD=，AB=3， ∴矩形ABCD的周长=cm． 故选:D． 【点睛】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键． 5．（2025·上海青浦·模拟预测）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长为4米，长为1米，点C与点N重合．道闸打开的过程中，如图②，边固定，连杆、分别绕点A、D转动，且边始终与边平行．当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为0.8米，则点P到的距离的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质和判定，旋转的性质，由题知，米，利用解直角三角形得到，证明四边形为矩形，根据求解，即可解题． 【详解】解：由题知，米， 当道闸打开至时，为0.8米， 米， ， 四边形为矩形， 米， 故选：D． 6．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 7．（24-25九年级·上海奉贤·阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD＝ ． 【答案】 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案． 【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10， ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5． 故答案是：15﹣5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 8．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）河堤的横断面如图所示，堤高是，迎水坡的长是，那么斜坡的坡角度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查解直角三角形坡度坡角．在中，直接利用的正弦即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ∴的坡度角度数是． 故答案为：． 9．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为点，针尖计为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点，连接，若，，则指针的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的计算，勾股定理的运用，掌握锐角三角函数值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，如图所示，过点作于点，得到，由锐角三角函数的计算得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，如图所示，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴指针的长度是， 故答案为： ． 10．（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三角形，熟练利用三角函数解三角形是解题的关键． 延长交l于点H，连接，证明，进而得到，再利用三角函数解和即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交l于点H，连接， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知等腰三角形的周长为20，其中一内角的余弦值是，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】腰长为6或12﹣2 【分析】分底角或顶角的余弦值是来求解，①若底角的余弦值是，易得AD与AB的关系，进而解可得AB的值，②若顶角的余弦值是，设AB＝x，通过解三角形可得BC的长，由周长为20，可得，解可得x即腰长AB的值． 【详解】如图，等腰三角形ABC中，周长为20， ①若底角的余弦值是，则cosB＝， 做AD垂直于BC，交BC于点D； 易得AB＋BD＝ (AB＋AC＋BC)＝10，且＝ 解可得：腰长AB＝6， ②若顶角的余弦值是，则cosA＝， 做BD垂直于AC，交AC于点D， 设AB＝x，则AD＝x，由勾股定理可得BD＝x， 在Rt△BCD中，CD＝x﹣x＝x，BD＝x， 解可得：BC＝x； 又有AB＋AC＋BC＝20，即2x＋x＝20， 解可得x＝． 答：腰长为6或． 【点睛】此题考查分类讨论思想，应分情况进行讨论，在计算过程中应熟练掌握锐角函数的计算公式． 12．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图所示，小明家住在30米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°． （1）如果A、B两楼相距16米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？ （2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）    【答案】（1）A楼落在B楼上的影子有14m．（2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是30米． 【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出CE的长，进而得出答案； （2）可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用锐角三角函数关系求解． 【详解】解：（1）如图，过D作DE⊥CG于E， ED=16，∠CDE=30°，    ∴CE=DE•tan30°=16×=16（m）， 故DF=EG=CG-CE=30-16=14（m）， 答：A楼落在B楼上的影子有14m． （2）延长CD交GF于点H， 当A楼的影子刚好不落在B楼上， 则GH===30（m）， 答：如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是30米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 13．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图1是一本厚度为的字典，封面是硬的，翻开时不会发生弯曲．如图2，把这本字典放在桌面上，将上面的封面打开角到位置时，点到的距离．现将封面打开角到位置，请回答下列问题（计算时不考虑封面的厚度）．    (1)求字典的封面宽； (2)求点到桌面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． （1）依题意得，在中利用锐角三角函数可求出的长； （2）延长交于，依题意可得，，，在中利用锐角三角函数可求出的长，进而可得． 【详解】（1）解：依题意得：，，， 在中，， ∴； （2）解：延长交于，如图所示：    依题意得：，，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 14．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，某植物园有两棵树，小树与大树分别表示为线段，数学兴趣小组想测量两棵树的高度差．两棵树之间有阻隔，无法直接测量小树与大树之间的距离．他们采用如下方案： ①小军站在小树的一侧点B处，观测点从A出发，观测小树的顶端与大树的顶端，点A，C，E在同一直线上，记录下观测角； ②小军沿着方向退至点，观测点从出发，观测大树的顶端，记录下观测角． 已知点B到小树的距离，，且，，，，点M，，B，D，F，N在同一水平直线上，图中所有的点均在同一平面内． 请计算大树比小树高多少米？（参考数据：，，结果取整数） 【答案】大树比小树约高2m 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长与交于点，与交于点，过点作于点，设，分别解，列出方程求出的值，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长与交于点，与交于点，过点作于点，则四边形，四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴，，，， ∴． 设，则， ． 又 ， ． 又， ． ，解得， 大树比小树约高2m． 15．（2025·上海虹口·模拟预测）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案. 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵，， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形重难点题型专训 （5个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 仰角俯角问题 题型五 方位角问题 题型六 坡度坡比问题 拓展训练一 与直角三角形有关的动点问题 拓展训练二 直角三角形与勾股定理的综合应用 拓展训练三 直角三角形与函数的综合应用 拓展训练四 解直角三角形的综合应用 知识点一：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，若，，则的长度为 ． 知识点二：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 【即时训练】 1．（2025·上海松江·模拟预测）如图，从热气球看一面墙底部的俯角是（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ． 知识点三：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）如图，一轮船由南向北航行到处时，发现与轮船相距海里的岛在北偏东方向．已知岛周围海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船 （填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器） 知识点四：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，是水阳江某段河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米． 知识点五：解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，为垂直于地面放置的竹竿，米，当太阳光线与竹竿所夹锐角为时，竹竿在地面上的影子长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为 ．（参考数据：） 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 【例1】（24-25九年级上·上海长宁·期中）钟表表盘上的圆周被均匀划分为等份，如果表盘的半径为，那么表盘上每相邻的两个刻度之间的距离是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则正六边形的边长a是（    ）mm． A． B． C． D．12 2．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，，．的平分线交于点D，过点D作的垂线，垂足为E，过点C作的平行线交于点F，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则 ． 4．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，使用时，以点为支撑点，铅笔芯端点可绕点旋转作出圆．已知． (1)当时，求所作圆的半径；（结果精确到） (2)保持不变，在旋转臂末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到） （参考数据：） 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 1（2025·上海宝山·模拟预测）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（　　）米．    A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5 2．（24-25九年级·上海长宁·课后作业）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．则sin∠ACB ． 3．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）某海域有，两个港口，港口在港口北偏西方向上，距港口海里，有一艘船从港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于港口南偏东方向的处，求该船与港口之间的距离即的长度为 ． 4．（24-25九年级上·上海金山·期中）在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒. （1）请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73，计算结果保留两位小数）. （2）请你以交通警察叔叔的身份对此小轿车的行为作出处理意见，并就乡村公路安全管理提出自己的建议．（处理意见合情合理，建议尽量全面．） 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】（24-25九年级上·上海崇明·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 1．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海静安·模拟预测）已知AB=AC,tanA=2，BC=5，则△ABC的面积为 . 3．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选择M点作为观测点,从M点测得山顶P的仰角为30°,在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上,量得这两点间的图上距离为3 cm,则山顶P的海拔高度为 m.(取=1.732) 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈） 【经典例题四 仰角俯角问题】 【例4】（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，河旁有一座小山，山高，点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为．若在此处建桥，河宽的长度为 ．（结果精确到1m，参考数据：）    4．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点C离地面高度．如图，已知舞台台阶，，某学习小组在舞台边缘B处测屏幕最高点C的仰角，在距离B点的E处测得屏幕最高点C的仰角，已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且A，G，D三点在同一直线上，B，E，F三点在同一直线上．参考数据：取，取． (1)求的长（结果保留整数） (2)求最高点C离地面的高度的长（结果保留整数）． 【经典例题五 方位角问题】 【例5】（2025·上海杨浦·模拟预测）某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？ 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是 km． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，一艘执法船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向上，行驶半小时后到B处，这时测得灯塔C在北偏东方向上，已知在灯塔C的四周20km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 4．（25-26九年级上·上海松江·开学考试）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正西方向20千米的处，乙无人机位于的南偏东方向40千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏东方向上．（参考数据：，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿，往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．请问甲无人机飞离处多少千米时，乙无人机到处的距离是甲无人机到处的距离的倍（结果保留小数点后一位）？ 【经典例题六 坡度坡比问题】 【例6】（24-25九年级上·上海金山·期中）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果保留根号） 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）如图，一山坡的坡度，小明从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小明上升了（） 米． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为，斜坡的高度为，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为（图中的）．    (1)求车库的高度； (2)求点与点之间的距离（结果精确到，参考数据：，，． 4．（2025·上海青浦·模拟预测）在阳光明媚的一天，某“综合实践”小组开展了测量物体高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图，高楼的旁边有一座小山丘．某一时刻，高楼AB的影子顶端恰好落在小山丘的山顶处，测得高楼落在平地上的影长米．落在斜坡上的影长米，坡角为（即），小山丘的高为，它的背坡的坡度．在小山丘的山顶处有一棵高为4米的小树，此时，小树的顶端的影子恰好落在地面处，并测得米．已知，点B，C，E，F，H在同一条直线上，点G，D，E也在同一条直线上，求楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【拓展训练一 与直角三角形有关的动点问题】 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，四边形是菱形，是边上一动点，当的最小值为时，菱形的面积是（    ）    A．4 B． C．8 D． 2．（2026·上海虹口·模拟预测）如图1所示是一辆直臂高空升降车正在进行外墙装饰作业．图2是其工作示意图，是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面的高度为．当起重臂长度为，张角为时，求操作平台C离地面的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 3．（2025·上海青浦·模拟预测）【操作】如图，在矩形纸片中，点，点分别是边，边上的动点，连接，．将矩形纸片分别沿直线，折叠；点的对应点为点，点的对应点为点． (1)若点与点重合，与交于点，如图①，求证：． 【探究】 (2)如图②，当点，落在对角线上时，，，则______． (3)如图③，当点，落在对角线上时，与交于点，与交于点，连接，若，，______． 【拓展训练二 直角三角形与勾股定理的综合应用】 1．（2025·上海静安·模拟预测）如图，某大楼的顶部有一块广告牌，小背在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为45°，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为30°．已知山坡的坡度为，米，米． 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．熟练掌握折叠的性质是关键． （1）求点距地面的高度； （2）求广告牌的高度.（结果保留根号） 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）喜欢钻研的小亮对角的三角函数发生了兴趣，他想：度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求的正弦值呢？经研究，他发现：，于是他大胆猜想：（和为锐角）．将图（）等积变形为图（）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图（）和图（）．如图，锐角为的直角三角形斜边为，锐角为的直角三角形斜边为，请你借助图（）和图（）证明上述结论能成立． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：    (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 【拓展训练三 直角三角形与函数的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)若动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接，设运动的时间为t秒，问是否存在这样的时间t，使得与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 3．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒2个单位长度，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质______； (3)根据图象直接写出当时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【拓展训练四 解直角三角形的综合应用】 1．（2025·上海·模拟预测）已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度至少应是多少厘米（结果精确到）？如果冬天正午时，光线与地面成角，窗台的高为，按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到）？ 2．（2025上海·闵行·模拟预测）如图是一辆停放在水平地面上的车载起重机的侧面示意图，吊杆一端固定在车厢上的点处，伸缩支撑杆一端固定在车厢上的点处，另一端固定在上的点处．在某次作业过程中，测得吊钩到车厢尾部点的水平距离为2米（即米)，．已知平行于地面，且距地面米，米，求此时吊钩距地面的高度．（结果精确到米．参考数据：） 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 1．（2025·上海青浦·模拟预测）一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·上海青浦·模拟预测）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm 5．（2025·上海青浦·模拟预测）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长为4米，长为1米，点C与点N重合．道闸打开的过程中，如图②，边固定，连杆、分别绕点A、D转动，且边始终与边平行．当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为0.8米，则点P到的距离的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 7．（24-25九年级·上海奉贤·阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD＝ ． 8．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）河堤的横断面如图所示，堤高是，迎水坡的长是，那么斜坡的坡角度数是 ． 9．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为点，针尖计为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点，连接，若，，则指针的长度是 ． 10．（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为 ． 11．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知等腰三角形的周长为20，其中一内角的余弦值是，求这个等腰三角形的腰长． 12．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图所示，小明家住在30米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°． （1）如果A、B两楼相距16米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？ （2）如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）    13．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图1是一本厚度为的字典，封面是硬的，翻开时不会发生弯曲．如图2，把这本字典放在桌面上，将上面的封面打开角到位置时，点到的距离．现将封面打开角到位置，请回答下列问题（计算时不考虑封面的厚度）．    (1)求字典的封面宽； (2)求点到桌面的距离． 14．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，某植物园有两棵树，小树与大树分别表示为线段，数学兴趣小组想测量两棵树的高度差．两棵树之间有阻隔，无法直接测量小树与大树之间的距离．他们采用如下方案： ①小军站在小树的一侧点B处，观测点从A出发，观测小树的顶端与大树的顶端，点A，C，E在同一直线上，记录下观测角； ②小军沿着方向退至点，观测点从出发，观测大树的顶端，记录下观测角． 已知点B到小树的距离，，且，，，，点M，，B，D，F，N在同一水平直线上，图中所有的点均在同一平面内． 请计算大树比小树高多少米？（参考数据：，，结果取整数） 15．（2025·上海虹口·模拟预测）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 学科网（北京）股份有限公司 $