第2章直角三角形的边角关系 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是（   ） A． B． C． D． 5．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 6．如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，的高与角平分线交于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．在中，，且，则 ． 10．如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是 ． 11．如图，升国旗时，李明站在离旗杆底部的处以平行于水平面的角度行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，李明视线所成的仰角恰为，若他的双眼离地面的高度为，则旗杆的高度是 ． 12．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为 13．四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 14．如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 15．如图，已知中，，将绕O点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数图象上，则k的值为 ． 16．如图．一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，被河对岸处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点、、在同一条直线上，若．则河流的宽度为 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算下列各题： (1)； (2) ． 18．如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 19．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 20．如图，一栋商务楼的高为54米，远处有一栋居民楼，小明在商务楼的楼顶处测得居民楼顶处的俯角为，测得居民楼的楼底处的俯角为（图中点均在同一平面内），求居民楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 21．在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积． 22．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题． 如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（于），在，处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，；测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，使得点离地面的高度升高，判断增大还是减小了？增大（或减小）了多少度？（参考数据：，） 23．如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母． 测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，． （1）求的度数； 操作  如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得，所在直线分别与直线，重合． 探究  （2）经上述操作后，求钳口和之间的距离减少了多少（结果保留整数）？ （参考数据：取，取，取，取1.73） 24．如图是某化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，．试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果精确到，参考数据：） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N，点C，D，N，F在一条直线上，经测得：，，，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 参考答案 1．D 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握定义是解题关键．根据三角函数定义，sinα等于对边与斜边的比值，由此建立方程求解。 【详解】解： 在Rt△ABC中， , , ． 故选：D． 2．D 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，当正切值为时，对应的角度为，由此建立方程求解的度数即可． 【详解】解：∵， 而，且为锐角， ∴ ， 解得， 故选：D 3．A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 4．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，解题的关键是根据题意得，代入即可求解． 【详解】解：∵滑坡的坡度是， ∴在中，， ∵， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，由题意得，，垂足为D，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，由题意得，，垂足为D，，， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义可得，再证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握勾股定理、三角函数的定义．利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形的面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长，然后利用角平分线的定义，可得到，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出与的比值． 【详解】解：在中，， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴即， ∴． 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了正弦值、勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识点，在网格中构造直角三角形是解题的关键． 如图：根据网格以及勾股定理及其逆定理确定格点D，使得是直角三角形，根据勾股定理得出的长，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：确定格点D，使得是直角三角形， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握“ 在中，，是的对边，是的对边，是的对边，正切函数就是，即”是解题的关键. 【详解】解：在中， ， 故答案为：. 10． 【分析】本题可先根据菱形的性质设出边长，再结合已知条件得出线段长度，最后利用三角函数的定义求解的值．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在中，， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．根据仰角的正切函数求得目高以上旗杆的高度，再加上目高即得旗杆的高度． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 在中，， ， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，求一个角的正弦值，三角形的外角定理等知识点，正确理解矩形和折叠的性质是解题的关键．根据矩形和折叠的性质证明，再根据三角函数定义，进行求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 14．/7厘米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键，过点D作，垂足为F，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点D作，垂足为F， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-旋转、解直角三角形等知识点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先根据图形旋转的性质得出，可得、、，再由点在中点得出，再解直角三角形可得，即，再求出，即；再解直角三角形得到、，即，进而求得k的值． 【详解】解：如图：过点作轴于点D，则， 将绕O点旋转至的位置，， ， ，，， 点在中点， ， ∴， ∴， ， ∵ ∴， ∴，， ∴， 在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形-仰角俯角的相关知识，构造直角三角形，正确使用锐角三角函数求线段长是解题的关键． 过点作于点，所以四边形是矩形，先在 中求出的长，即的长，再在中求出的长，所以的长即为减去的长． 【详解】解：如图，过点作于点． 由题意得， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ∴河流的宽度为． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查三角函数的计算，二次根式的性质，零指数幂；熟练掌握特殊角的三角函数值以及零次幂的意义是解决本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值代入并化简，零指数幂，化简二次根式，然后求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题关键． （1）根据在中，即可求解； （2）根据在中，求得，通过特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ． （2）解：在中，， ． 19．(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 20．居民楼的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．过点作于点，在中，求出的长，在中，求出的长，即可得到长，得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，米， （米）， （米）， 在中，，， （米）， （米）， （米）， 答：居民楼的高度约为米． 21．(1)矩形，理由见解析 (2)48 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠的性质得，；根据平行四边形的性质得，再证明四边形是平行四边形，运用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行解答即可． （2）根据平行四边形的性质得，，则，再运用勾股定理得，得出，，即可算出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形．理由如下： 根据折叠性质，得，； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平行四边形的周长为32， ∴，， ∵， ∴ 设，， 则， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得出四边形是矩形． 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．减小，减小． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形的应用，延长与底面交于点，过作于，证明四边形是平行四边形，则，所以，在中，，当点离地面的高度升高时有，则，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：减小了，减小，理由： 如图，当时，延长与底面交于点，过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点离地面的高度为，， ∴， 在中，， 如图，点离地面的高度升高时， ∴， ∴， ∴， ∴此时， ∴ ∴减小了，减小． 23．（1）；（2）钳口和之间的距离减少了． 【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由螺丝帽是正六边形得每个外角的度数，再得出每个内角的度数，然后求出，最后根据平行线的性质即可； （2）过点作于点，连接，求得，得到，求出，，再求出，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】解：（1）连接，如图： 六边形为正六边形， ， 根据对称性，平分和， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，连接，如图： ，， ， ， 在中，，， ， ， 由（1）可知，， 在中，， ， 由题意可知，和之间的距离由的长变成的长， ， 即经上述操作后，钳口和之间的距离减少了． 24．(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义，正确构造直角三角形是解题的关键． 由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； 由正弦函数求得，延长交于点H，则得四边形是矩形，求得，，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 在中， ， ； （2）解：如图，延长交于H， ，，， 四边形为矩形， ，， ，， ， 在中，，， 则，， ， ， ，， ， ， ， ， 答：的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $