22.3实际问题与二次函数之面积问题 知识点梳理+专题练习+优化提高+历年真题训练 2025-2026学年人教版九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与二次函数”中的面积应用核心知识点，系统梳理从建立数学模型（含坐标系构建、数据与坐标关联、待定系数法求关系式）到运用二次函数性质（最值求解、参数确定、自变量取值范围影响）解决问题的脉络，通过知识精讲、例题解析、变式训练及真题实战构建完整学习支架。 该资料以“问题定位-优化提高-真题训练”梯度设计为特色，涵盖矩形围栏、动态双动点等多样几何情境，助力学生用数学眼光抽象几何数量关系，用数学思维推理运算求最值，用数学语言表达实际问题模型。课中辅助教师分层教学，提升授课效率，课后学生可依此回顾强化，弥补知识盲点。

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 实际问题与二次函数 教学目标 1、 应用之面积问题 2、 理解并运用二次函数一般式或顶点式求取最大、最小值 3、 理解并运用二次函数最值求取参数 4、 理解并运用x取值范围，求取二次函数最值 知识网络： 应用问题之面积问题 应用问题之拱桥问题 常规最值问题 实际问题与二次函数 面积问题 知识精讲： 利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要学会建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、所对应的函数图象等相等关系，罗列二次函数关系式，再利用二次函数的图象及性质去研究问题。在研究实际问题时要注意自变量的取值范围以及其具有的实际意义。 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； （3）用待定系数法求出抛物线的关系式； （4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题 要点诠释： 常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。 问题定位 例1 题类： 根据几何数量关系列函数关系式；二次函数面积问题 小明计划用长为24米的篱爸，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 例2 题类：根据几何数量关系列函数关系式；二次函数面积问题 某学校课外活动小组准备围建一个矩形花苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设此苗圃园垂直于墙的一边的长为x米 . (1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与之间的函数关系式及其自变量x的取值范围； (2)当垂直于墙的一边的长为多少米时，此苗圃园的面积最大，并求出最大值； 例3 题类： 二次函数实际应用题：面积问题 某初中学校为初一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） 例4 题类： 二次函数实际应用题：面积问题 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设饲养室长为x（m），占地面积为y（m²） （1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大? （2） 如图2，想要求在图中所示位置留2m宽的门，且任使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确。 例5 题类： 动态几何之双（多）动点形成的面积问题；动态几何之双（多）动点形成的面积最值问题 如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始，沿AB向点B以1 cm / s的速度移动，点Q从B点开始沿BC以2 cm / s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发. （1）几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米； （2）若用S表示四边形APQC的面积，在经过多长时间S取得最小值？并求出最小值. 优化提高 【变式1】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住（如下图）.设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m²。 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 （2）当x为何值时，能使绿化带的面积最大？ 【变式2】 某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米. （1）设图中AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD的长为 米（请用含x的代数式表示）； （2）若整个鸡场的总面积为y平方米，求y的最大值 【变式3】 如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为多少时，横断面面积最大，最大面积是多少？ 【变式4】 在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点P从点A出发，沿 AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm /秒的速度移动,如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； （3）t为何值时S最小？求出S的最小值. 历年真题训练 真题1 题类：根据几何数量关系列关系式，求取未知数的值 （2024年广州第十六中学九上10月月考卷）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100 m²的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（ ） A. 10m或5m B . 5m或8m C. 10m D. 5m 真题2 题类：根据几何数量关系罗列函数关系式；二次函数面积问题 （2024年广州大塘中学九上9月月考卷）如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃，设矩形一边为x m，面积为y m² （1）求y关于x的函数关系式为 . （2）写出自变量x的取值范围（墙足够长）； （3）当y = 81时，求x的值 真题3 题类：根据几何数量关系罗列函数关系式；二次函数面积问题 （2024年广州南武中学九上期中卷）用一段长32 m的篱笆和长8 m的墙，围成一个矩形的菜园. （1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成。 ① 设DE等于x m，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ② 菜园的面积能不能等于110 m²？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由. （2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值。 真题4 题类：动态几何之双（多）动点形成的面积问题；动态几何之双（多）动点形成的面积最值问题 （2024年广东实验中学九上10月月考卷）在长方形ABCD中，AB = 5cm，BC = 6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm / s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm / s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒。 （1）填空：BQ = ，PB = （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm²？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由。 真题5 题类：根据几何数量关系罗列函数关系式；二次函数面积问题 （2024年海珠区九上期末）某学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定在边长为4米的正方形区域ABCD上种植不同的花卉，设计图案如图所示，四周是四个全等的矩形，种植甲种花卉；中心区是正方形MNPQ，种植乙种花卉。甲、乙两种花卉的种植成本分别为50元/m²、40元/m²。设矩形的较短边AH的长为x米，种植总成本为y元。 （1）若x = 1，则MN的长为 米，种植总成本为 元； （2）求y关于x的函数关系式； （3）当中心区的边长不大于3米时，求种植总成本的最小值 真题6 题类：根据几何数量关系罗列函数关系式求取最值；二次函数面积问题 （2024年广州南沙区九上期末卷）如图，把一张长10 cm，宽8 cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1）要使无盖长方体盒子的底面积为48 cm²，求剪去的正方形的边长 （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如 果没有，请说明理由。 答案： 实际问题与二次函数 面积问题 问题定位 例1. 解：设长方形花圃的面积为y，长为x，则宽为12 - x， y = x（12 - x） y = -x²+12x ∵ a = -1 < 0 ∴ y有最大值 当x = 6时， = 36 答：当长方形的长为6米，宽为6米时，能围成的花圃面积最大，最大为36平方米 例2. 解：（1）y = - 2x + 30 （6 ≤ x < 15） （2）S = x（- 2x + 30） S = -2x²+ 30x ∵ a = -2 < 0 ∴ S有最大值 当x = 7.5时， = 112.5 答：当垂直于墙的一边的长为7.5米时，此苗圃的面积最大，最大为112.5平方米 例3. 解：由题意得： y = 20 x（90 - x） y = -20x²+1800x ∵ a = -20 < 0 ∴ y有最大值 当x = 45时， = 40500 答：当底面的宽为45厘米时，抽屉的体积最大，最大是40500立方厘米 例4. 解：（1）由题意得： y = x ·（） y = - x²+ 25x ∵ a = - < 0 ∴当x = 25时， y有最大值 答：饲养室长25米时，占地面积最大 （2） y = x ·（） y = - x²+ 26x ∵ a = - < 0 ∴当x = 26时， y有最大值 26 - 25 = 1 < 2 答：小敏的说法不正确 例5. 解：（1）由题意得：设m秒后四边形的面积是31平方厘米 × 6 × 12 - ×（6 - m）×2m = 31 m²- 6m + 5 = 0 = 5 = 1 答：5秒或者1秒后，四边形APQC的面积是31平方厘米 （2）设经过t秒后S取得最小值 S = 36 -（-t²+ 6t） = t²- 6t + 36 ∵ a = 1 >0 ∴ S有最小值 ∴当t = 3时， = 27 答：经过3秒后，S取得最小值，最小值27平方厘米。 优化提高 【变式1】 解：（1）y = x ·（） =- x²+ 20x（0 < x ≤ 25） （2）y = - x²+ 20 ∵ a = - < 0 ∴ 当x = 20时，S有最大值 答：当x为20米时，能使绿化带的面积最大 【变式2】 （1）24 - 2x （2）y = x（24 - 2x） = -2x²+ 24x ∵ a = -2 < 0 ∴ y有最大值 ∴当x = 6时， = 72 答：y的最大值为72平方米 【变式3】 解：∵ BE⊥BC ∴ ∠EBC = 90° ∵ ∠ABC = 120° ∴ ∠ABE = ∠ABC - ∠EBC =30° ∴ AE = x AB = x 同理得：DH = x CD = x ∴ AD = 4 - x BC = 4 - x S =（AD + BC）× BE × = （8-2x）×x = - x²+ 4x ∵ a =- < 0 ∴ S有最大值 ∴当x= = 【变式4】 解：（1）设运动开始后x秒后，面积等于8平方厘米 = ×BP×BQ = ×（6 - x）×2x = - x²+6x （2）S = 6×12- 〔×（6 - t）×2t〕 = t² - 6t + 72 （0 ≤ t ≤ 6） （3） ∵ a = 1 > 0 ∴ S有最小值 当t = 3时， = 63 历年真题训练： 真题1：C 真题2：（1）y = -x²+18x （2）0 < x < 18 （3）- x²+18x = 81 （x - 9）²= 0 x = 9 真题3：解：（1）① y = x ·（） = - x²+ 16x（0 < x ≤ 18） ② - x²+ 16x = 110 x²- 32x +110 = 0 解得：=10 =22 （2）设菜园面积为S，BF = m，DE = 8+m AD = 12 - m S = ( 8 + m)(12 - m) = - m²+ 4m + 96 ∵ a = -1 < 0 ∴ S有最大值 当m = 2时， = 100 答：菜园面积最大值为100平方米。 真题4：解：（1）2t；5 - t （2）由题意得：BP²+BQ²=PQ² （5-t）²+ 4t² = 25 5t²- 10t = 0 解得： =0 =2 （3）5×6 - [ ×（5 - t）×2t ] = 26 t²- 5t + 4 = 26 解得： =1 =4 ∵ 0 ≤ t ≤ 3 ∴ t = 1 真题5：解：（1）2；760 （2）由题意得：y = 4x（4 - x）×50 + 40（4-2x）² y = - 40x²+ 160x + 640 （3）0< 4 - 2x ≤ 3 ≤ x < 2 ∵ a = - 40 < 0 对称轴x = 2 ∴ 当x = 时，y有最小值 = 710 答：种植总成本最小值为710元 真题6：解：（1）设剪去正方形的边长为x厘米 ( 10 - 2x )( 8 - 2x ) = 48 x²- 9x + 8 = 0 解得：=1 = 8 ∵ 2x = 16 > 10 ∴ x = 1 答：剪去正方形的边长为1厘米 （2） 设剪去正方形的边长为m厘米，侧面积为y y = 2x（10 - 2x）+2x（8 - 2x） y = - 8x²+ 36x（0<x<4） ∵ a = - 40 < 0 ∴ 当x = 时，y有最大值 = 40.5 答：长方体盒子的侧面积有最大值，最大值为40.5平方厘米. 学科网（北京）股份有限公司 $