精品解析：山东省泰安肥城市2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题

高三数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法及复数虚部的定义即可求解. 【详解】，所以虚部是1 . 故选：. 2. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而，所以. 【点睛】故选：C 3. 已知双曲线的实半轴长为，焦距为，则的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，代入离心率公式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 4. 已知是函数的一个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数的零点得解. 【详解】令，得， 所以，. 故选：A 5. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有，又得周期为，利用周期即可求解. 【详解】由题意有，又，，所以是周期为的周期函数， 所以，， 所以， 故选：D . 6. 如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出，，得到，代入向量坐标，求得，利用向量的模的公式计算估计值即可. 【详解】设飞机的地面速度向量为，实际运动速度向量和风速向量分别为， 由已知可得，且，， 所以， 故. 故选：B. 7. 已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得圆心到直线的距离应小于等于，列出不等式即可求解, 【详解】由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， 所以 ， ，解得 故选：A 8. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，分别讨论情况下的关系，进而得出结果. 【详解】设，则 当时，，选项A正确； 当时，，，， 所以，， ， 由此可得，选项B正确； 当时，同理可得，选项C正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，为正方体，则（ ） A. // 平面 B. C. 平面 D. 异面直线与所成的角为 【答案】AC 【解析】 【分析】由 结合线面平行的判定定理可判断的正误；连接 ，证明 平面 可判断的正误；证明出 平面 可判断的正误；由 结合异面直线所成角的定义计算出异面直线 与 所成的角的大小，可判断的正误．综合可得出结论． 【详解】在正方体 中， 且 ， 则四边形 为平行四边形， 平面 平面， 平面 ，故A正确； 连接，则四边形为矩形且， 故四边形不是菱形，故不成立，故B错误. 连接 ，在正方体 中， 平面 平面 , 四边形 为正方形， ， 平面， 平面 平面 ， 同理可证 ，由A知 且 ， 平面 ，故C正确； ，所以异面直线 与 所成的角为 或其补角 ， 知 为等腰直角三角形，且 , 即异面直线 与 所成的角为 ，故D错误． 故选：AC 10. 斜率为的直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，，直线，的斜率分别为，. 设直线与轴交于点，过作的平行线交于点，则（ ） A. B. C. 、、、四点共圆 D. 面积的最大值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】设，由可得，进而由直线AB 与轴的交点可得，从而可判断A；通过化简的结果，可判断B选项；假设四点共面，结合条件推导矛盾，可判断C；由与的直线方程可得点的坐标，进而利用三角形的面积公式与基本不等式可得面积的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A:设，则， 由得，即. 直线 AB 的斜率， 故直线AB 的方程为， 令，解得 ， 故 ，所以 ，选项A正确； 对于B：，选项B正确； 对于C：若、、、四点共圆，则, 由得，即,又,得，， 所以，这与矛盾， 于是、、、四点不共圆，选项C错误； 对于D：过作的平行线，该方程为 ，与 联立， 解得：，故的面积， 因为，故将 代入上式并化简得 ， 不妨设，则，当且仅当时等号成立， 此时，直线斜率不存在，与直线斜率为矛盾，所以等号不成立， 故,即的面积不存在最大值 ，选项D不正确；. 故选：AB. 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合和差公式、诱导公式、倍角公式求出角，再结合余弦定理及三角形面积公式得出边角关系，对选项逐一分析即可判断. 【详解】对于：由， 由，， 得， 结合，化简得， 即， 所以，故正确. 对于：，即， 由余弦定理得，化简得. 所以，，因为， 所以，， 所以，故错误； 对于：，， 所以，故正确； 对于：， 所以， 即，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若直线是曲线的切线，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数求出切线斜率得切线方程，根据已知得出方程组求解. 【详解】设切点，则， 因为， 所以切线方程是，即， 所以，解得，. 故答案为：3 13. 设等比数列的前项和为，则的公比______. 【答案】或 【解析】 【分析】等比数列的前项和公式代入计算即可 【详解】由可知，所以， 两式相除，整理得，解得，所以或. 故答案为：或. 14. 袋子里有大小相同3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子. 记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】应用n次独立事件概率及独立事件概率乘积公式结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中， 则. 所以， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度，随机对南、北方共500位消费者进行问卷调查，得到如下列联表： 对新能源汽车的认可度 合计 认可 不认可 南方消费者 150 150 300 北方消费者 75 125 合计 225 500 （1）求，； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异？ （3）记南、北方消费者中对新能源汽车认可的概率分别为，，给出，的估计值，并根据，求4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数的分布列与期望． 附：． 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）可以认为南，北方消费者对新能源汽车的认可度有差异 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列表计算求解； （2）先计算，再与临界值比较即可判断； （3）先应用频率计算，，再结合独立事件概率乘积公式计算概率再列出分布列，再应用公式计算期望即可. 【小问1详解】 由列联表得，． 【小问2详解】 ． 由于，所以根据小概率值的独立性检验，可以认为南，北方消费者对新能源汽车的认可度有差异． 【小问3详解】 南、北方消费者中对新能源汽车认可的频率分别为，，因此，的估计值分别为，． 4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数， 则， ， ， ， ． 故的分布列为： 0 1 2 3 4 故． 16. 已知数列中，，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，利用等差数列的定义即可求证； （2）由（1）得，进而得，求导得，即，最后利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 证明：由已知可得：即 所以是以为首项，1为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）得：所以， 所以， 故， 可得①， 所以②， 由①②有： ， 所以. 17. 在直三棱柱中，，，. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，且，，，均在球的球面上. （i）证明：存在点使得点在平面内； （ii）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）（i）利用空间向量法证明点在平面上；（ii）利用空间向量法计算线面所成角. 【小问1详解】 由已知，平面，平面，故. 又，，平面，平面， 故平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 （i）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，. 设，， 因为，所以 解得， 要证明点在平面内，即证明，当时，可解得， 因为点在棱上，，符合题意. 这说明存在满足条件的点，使得球心坐标为，即点在平面内. （ii）由（i）可得，，，，. 设是平面的法向量， 则即可取. 则， 设直线与平面所成角为，故，又， 所以. 故直线与平面所成角的大小为. 18. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，且 （1）求的方程； （2）过且不与轴重合的直线与的另一个交点为，与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求的面积； （ⅱ）证明：存在定点，使得. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）8；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（ⅰ）由已知求出点的坐标，再借助平行关系求得，进而求出面积；（ⅱ）由（ⅰ）的信息可得平分角，当不垂直于轴时，设出直线方程，并与椭圆方程联立求出点坐标，借助二倍角的正切公式证得平分角，结合相似三角形性质推理得证. 【小问1详解】 设，而，则， 又，解得，则 所以的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）由共线，且的横坐标分别为，， 则由,可得点的横坐标为，因,则， 由对称性不妨设在第一象限，由，得，即， 设，由，解得，直线的斜率， 设直线与轴的交点为，因，可得， 又，则，又，则， 所以的面积. （ⅱ）由（ⅰ）猜想平分角， 由，设直线的方程为， 由消去，得， 设，则可得， 则有，， 当斜率不存在时，由（ⅰ）知，， 当时，斜率存在，，， 且，则有，即， 由，得，又， 于是，设关于直线的对称点为，则， 取，则，∽，则， 又，因此∽，， 所以存在定点，使得. 19. （1）当时，证明：； （2）已知函数，. 记：，使得对，都有；：，使得对，都有. （ⅰ）证明：是的充要条件； （ⅱ）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）通过构造函数，通过求导得到导数小于等于0，从而得到原函数是减函数得到证明； （2）（i）先证明必要性，若成立，则对任意，，即成立.再证明充分性，若成立，当时，有；当时，有；当时，，由，再根据奇函数，.于是对任意，都有，即成立. （ii）由（i）知，只需考虑成立，即. 令，，则需，在上恒成立. 不妨取，即，在上恒成立. 由，求，则分别讨论的取值进行说明； 2°由，求，令，求，讨论的取值进行求解，从而得到实数的取值范围. 详解】解：（1）令，，则， 所以在上单调递减，所以，即. （2）（i）必要性：若成立，即存在，使得对任意，都有， 则对任意，，即成立. 充分性：若成立，即存在，使得对任意，都有. 当时，有；当时，有； 当时，，由，知是奇函数. 所以. 于是对任意，都有，即成立. （ii）由（i）知，只需考虑成立，即存在，使得对任意，都有， 等价于. 令，， 则需，在上恒成立. 不妨先考虑，即，在上恒成立. 由，得，，则 ①当时，，符合题意； ②当时，，在上单调递增，故符合题意； ③当时，令，则，在上单调递增； 若，即，则，在上单调递增，同②符合题意； 若，即，由，知存在，使得. 当时，，在上单调递减，故，不符合题意. 于是. 2°由，得，， 令，， ①当时，由（1）可知 ，符合题意. ②当时，，在上单调递减， 若，即，则，在上单调递减， 故，符合题意； 若，即，由，知存在，使得， 当时，，在上单调递增，故，不符合题意. 于是. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ） A B. C. D. 3. 已知双曲线的实半轴长为，焦距为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数的一个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，飞机飞行中地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 7. 已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体，则（ ） A. // 平面 B. C. 平面 D. 异面直线与所成的角为 10. 斜率为的直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，，直线，的斜率分别为，. 设直线与轴交于点，过作的平行线交于点，则（ ） A. B. C. 、、、四点共圆 D. 面积的最大值为4 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若直线是曲线的切线，则_____. 13. 设等比数列前项和为，则的公比______. 14. 袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子. 记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度，随机对南、北方共500位消费者进行问卷调查，得到如下列联表： 对新能源汽车的认可度 合计 认可 不认可 南方消费者 150 150 300 北方消费者 75 125 合计 225 500 （1）求，； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异？ （3）记南、北方消费者中对新能源汽车认可的概率分别为，，给出，的估计值，并根据，求4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数的分布列与期望． 附：． 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列中，，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 17. 在直三棱柱中，，，. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，且，，，均在球的球面上. （i）证明：存在点使得点在平面内； （ii）求直线与平面所成角的大小. 18. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，且 （1）求的方程； （2）过且不与轴重合的直线与的另一个交点为，与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求的面积； （ⅱ）证明：存在定点，使得. 19. （1）当时，证明：； （2）已知函数，. 记：，使得对，都有；：，使得对，都有. （ⅰ）证明：是的充要条件； （ⅱ）若成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $