1.3 集合的基本运算练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

姓名 班级 1.3　集合的基本运算 基础过关练 题组一　并集与交集的运算 1.集合M={x|-2<x≤4},N={x||x|-3<0},那么集合M∪N=(　　) A.{x|-3<x<3}　　B.{x|-2<x≤4} C.{x|-3<x≤4}　　D.{x|-2<x<3} 2.(多选题)若集合M={x|x=2m-1,m∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z},P={x|x=4p-3,p∈Z},则下列结论正确的是(　　) A.M=P　　 B.M=N　 　C.N∩P=P　 　D.N∩P=N 3.已知集合A={(x,y)|y=x2-2x+1},B={(x,y)|y=2x-3},A∩B=C,则C的真子集的个数为(　　) A.0　 　B.1　 　C.2　 　D.3 题组二　补集的运算及其与交集、并集的综合运算 4.已知全集U={-1,0,1,2},集合A={x∈Z|-2<x≤1},集合B={1,2},则(∁UA)∪B=(　　) A.{2}　 　B.{1,2}　　 C.{-1,1,2}　 　D.{-1,0,1,2} 5.已知全集U=R,集合M={x|x>2},N={x|1<x<3},那么Venn图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|x>2} 　　B.{x|x≤2}　 　C.{x|x>1}　 　D.{x|x≤1} 6.已知集合P,Q均为R的子集,且(∁RQ)∪P=R,则(∁RP)∩Q=(　　) A.⌀　 　B.∁RP　 　C.Q　 　D.R 7.已知全集U={x∈N*|x<9},(∁UA)∩B={1,6},A∩(∁UB)={2,3},∁U(A∪B)={5,7,8},则B=(　　) A.{2,3,4}　　 B.{1,4,6} C.{4,5,7,8}　　 D.{1,2,3,6} 题组三　利用集合的运算解决参数问题 8.已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},若A∩B={9},则实数a的值为(　　) A.5或-3　 　B.±3　 　C.5　　 D.-3 9.已知全集U=R,集合A={x|x≥1},B={x|x>a},且(∁UA)∪B=R,则实数a的取值范围是(　　) A.a>1　 　B.a≤1　 　C.a≥1　 　D.a<1 10.(多选题)设集合A={x|x2-2x-8=0},集合B={x|mx-4=0},若(∁RA)∩B=⌀,则实数m的值可以为　(　　) A.-2　 　B.-1　　 C.0　 　D.1 11.已知全集U=R,集合A={x||2x-1|≤7},B={x|2m-1≤x≤4m-2}. (1)若m=2,求A∩B和A∪(∁UB); (2)若A∪B=A,求m的取值范围. 能力提升练 题组一　集合的基本运算 1.设集合A,B,C均为非空集合,下列结论正确的是(　　) A.若A∩B=B∩C,则A=C B.若A∪B=B∪C,则A=C C.若A∩B=B∪C,则C⊆B D.若A∪B=B∩C,则C⊆B 2.(多选题)如图所示,U是全集,A,B是U的两个子集,则阴影部分表示的集合是(　　) A.(∁UB)∩A　　 B.(∁UB)∩B　　 C.∁U(A∩B)　 　D.A∩∁U(A∩B) 3.(多选题)设全集U={x|x>0},集合M={x|y=},N={y|y=x2+5},则下列结论正确的是(　　) A.M∩N={x|x>5} B.M∪N={x|x>2} C.(∁UM)∪(∁UN)={x|0<x<5} D.(∁UM)∩(∁UN)={x|0<x<2} 4.设集合A={1,2,3,4},B={1,2},若C⊆A且B∩C≠⌀,则所有满足条件的集合C的个数为　　　　.  题组二　集合的基本运算的应用 5.(多选题)设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)·(x-1)=0},则下列说法错误的是(　　) A.若M∪N有4个元素,则M∩N≠⌀　　 B.若M∩N≠⌀,则M∪N有4个元素 C.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠⌀　　 D.若M∩N≠⌀,则M∪N={1,3,4} 6.某学校举办运动会,比赛项目包括田径、游泳、球类,经统计,高一年级有57人参加田径比赛,有11人参加游泳比赛,有62人参加球类比赛.参加球类比赛的学生中有14人参加田径比赛,有4人参加游泳比赛;同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人;同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的学生有(　　) A.98人　　B.104人　　C.106人　　D.110人 7.已知集合A={x|0<x<2},B={x|-1<x<1},C={x|mx+1>0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为　　　　.  8.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},如果A∩B=B,求实数a的取值范围. 9.对于给定的非空集合A,定义集合A+={x|x=|a+b|,a∈A,b∈A},A-={x|x=|a-b|,a∈A,b∈A},当A+∩A-=⌀时,称A具有孪生性质. (1)判断集合A={0,4},B={1,5,6}是否具有孪生性质,请说明理由; (2)设集合C={x|n≤x≤2 024,x∈N},n∈N且n≤2 024,若C具有孪生性质,求n的最小值; (3)设集合D={x1,x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4,若D-=D,求证:x1+x4=x2+x3. 答案与分层梯度式解析 1.3　集合的基本运算 基础过关练 1.C 2.BC 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.D 9.D 10.ACD 1.C　易得N={x||x|-3<0}={x|-3<x<3}, 因为M={x|-2<x≤4},所以M∪N={x|-3<x≤4}. 2.BC　因为M={x|x=2m-1,m∈Z},N={x|x=2(n+1)-1,n∈Z},所以M=N. 因为P={x|x=2(2p-1)-1,p∈Z},2p-1为奇数,所以P⊆M,故P⊆M=N,从而N∩P=P. 3.B　联立整理得x2-4x+4=0, 所以x=2,则C={(2,1)},故C的真子集的个数为1. 4.B　依题意得A={-1,0,1},因为U={-1,0,1,2},所以∁UA={2},又B={1,2},所以(∁UA)∪B={1,2}. 易错警示 　　求某一集合的补集的前提是明确全集,同一集合在不同全集下的补集是不同的. 5.D　由已知得M∪N={x|x>1},题图中阴影部分表示的集合为∁U(M∪N)={x|x≤1}. 6.A　因为(∁RQ)∪P=R,所以Q⊆P,如图所示, 所以(∁RP)∩Q=⌀. 7.B　易知U={1,2,3,4,5,6,7,8},根据题意作出Venn图,如图,可知B={1,4,6}. 8.D　因为A∩B={9},所以9∈A,所以2a-1=9或a2=9. 若2a-1=9,则a=5,此时A={9,25,0},B={-4,0,9},故A∩B={0,9},不满足题意. 若a2=9,则a=3或a=-3, 当a=3时,1-a=-2,a-5=-2,不满足集合中元素的互异性,故舍去; 当a=-3时,A={-7,9,0},B={4,-8,9},此时A∩B={9},满足题意. 综上,a=-3. 9.D　由(∁UA)∪B=R,知A⊆B,所以a<1. 10.ACD　由(∁RA)∩B=⌀,知B⊆A, 易得A={x|x2-2x-8=0}={-2,4}. 当B=⌀时,m=0,满足B⊆A; 当B≠⌀时,m≠0,则B=xx=,由B⊆A可得=-2或=4,解得m=-2或m=1. 综上,m的值为0或-2或1. 解后反思 　　解题时要注意集合关系的转化,即(∁RA)∩B=⌀⇔A∩B=B⇔B⊆A,从而将集合运算问题转化为子集问题. 11.解析　由|2x-1|≤7⇔-7≤2x-1≤7,解得-3≤x≤4, 即A={x|-3≤x≤4}. (1)当m=2时,B={x|3≤x≤6},所以A∩B={x|3≤x≤4},∁UB={x|x<3或x>6},A∪(∁UB)={x|x≤4或x>6}. (2)由A∪B=A,得B⊆A, 当B=⌀时,2m-1>4m-2,得m<,满足B⊆A; 当B≠⌀时,由B⊆A可得 解得≤m≤. 综上,m的取值范围是m≤. 能力提升练 1.C 2.AD 3.CD 5.ABC 6.C 1.C　对于A,取A={1,2,3},B={1},C={1,2},满足A∩B=B∩C,但A≠C,故A错误; 对于B,取A={1},B={1,2,3},C={1,2},满足A∪B=B∪C,但A≠C,故B错误; 对于C,由于C⊆(B∪C),A∩B=B∪C,所以C⊆(A∩B),则C⊆B成立,故C正确; 对于D,取A={1},B={1,2,3},C={1,2,3,4},满足A∪B=B∩C,但B⊆C,故D错误. 2.AD　在题图的阴影部分所表示的集合中任取一个元素x,则x∈A且x∉B,或x∈A且x∉(A∩B), 因此阴影部分所表示的集合为(∁UB)∩A或A∩∁U(A∩B). 3.CD　依题意,M={x|x≥2},N={y|y≥5},则∁UM={x|0<x<2},∁UN={x|0<x<5}. 对于A,M∩N={x|x≥5},A错误; 对于B,M∪N={x|x≥2},B错误; 对于C,(∁UM)∪(∁UN)={x|0<x<5},C正确; 对于D,(∁UM)∩(∁UN)={x|0<x<2},D正确. 4.答案　12 解析　由题意得集合C是A的子集,且与B的交集不为空集,集合A的子集有24=16个. A的子集中与B的交集为空集的集合是{3,4}的子集,有22=4个,故满足题意的集合C的个数为16-4=12. 解后反思 　　从正面求解复杂,则从反面入手,把不符合条件的剔除,体现了“正难则反”的解题策略. 5.ABC　N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},若M∪N有4个元素,则集合M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3},且a∉{1,3,4},∴M∩N=⌀,故A中说法错误; 若M∩N≠⌀,则a∈{1,4},∴M∪N={1,3,4},∴M∪N有3个元素,故B中说法错误,D中说法正确; 当a=3时,满足M∪N={1,3,4},但M∩N=⌀,故C中说法错误. 6.C　设集合A,B,C分别表示参加田径、游泳、球类比赛的学生. 解法一:作出Venn图,由图可得高一年级参加比赛的学生人数为46+37+1+12+2+6+2=106. 解法二:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=57+11+62-8-14-4+2=106. 名师点评 　　1.解决有关集合的实际应用题时,要学会将文字语言转化为集合语言.涉及有交叉的有限集的元素个数问题时,用Venn图法处理较为方便. 2.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,对于任意的有限集合A,B,C,结论如下: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 7.答案　 解析　易得A∪B={x|-1<x<2}. ①当m<0时,集合C=,若(A∪B)⊆C, 则-≥2,解得-≤m<0. ②当m=0时,集合C=R,满足题意. ③当m>0时,集合C=,若(A∪B)⊆C, 则-≤-1,解得0<m≤1. 综上所述,实数m的取值范围是. 8.解析　依题意得A={x|x2+4x=0}={0,-4},由A∩B=B知B⊆A,∴B={0}或B={-4}或B={0,-4}或B=⌀. 当B={0}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的根0,则∴a=-1; 当B={-4}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的根-4,则无解; 当B={0,-4}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个不相等的根0和-4,则∴a=1; 当B=⌀时,x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数根,则Δ=[2(a+1)]2-4(a2-1)=8a+8<0,得a<-1. 综上,a的取值范围为{a|a=1或a≤-1}. 9.解析　(1)A不具有孪生性质,B具有孪生性质.理由如下:由题意得A+={0,4,8},A-={0,4},B+={2,6,7,10,11,12},B-={0,1,4,5}, 故A+∩A-={0,4}≠⌀,B+∩B-=⌀(根据新定义直接验证,注意计算绝对值时要考虑全面),所以A不具有孪生性质,B具有孪生性质. (2)由题意得C-={0,1,2,…,2 024-n},C+={2n,2n+1,…,4 048}, 易知C+∩C-=⌀,所以2 024-n<2n,得n>, 所以<n≤2 024,n∈N,所以n的最小值是675. (3)证明:因为D={x1,x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4, 所以0,x2-x1,x3-x1,x4-x1,x3-x2,x4-x2,x4-x3都属于集合D-, 又0<x2-x1<x3-x1<x4-x1,D-=D,所以D-={0,x2-x1,x3-x1,x4-x1}(集合D中有4个元素,故选一定不相等的4个值即可), 又0<x3-x2<x4-x2<x4-x1,所以x4-x2=x3-x1,所以x1+x4=x2+x3. 解后反思 　　根据第(3)问中D-=D可得即则x1+x4=x2+x3. 7 学科网（北京）股份有限公司 $