专题02 集合之间的关系讲义（9大题型+能力训练）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题1.2 集合之间的关系 知识点01 子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 知识点02 真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 【方法总结】 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 题型01：集合间关系的判断 【例1】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解　(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 【例2】已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 【跟踪训练】 1.以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】①③⑤ 【分析】根据元素和集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：空集是任何集合的子集，故，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④或，故④错误； ⑤，故⑤正确； ⑥空集是任何集合的子集，故，故⑥错误； 故答案为：①③⑤ 2．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 3．若非空集合，，，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用交集的定义与子集定义即可得到结果. 【详解】因为，所以,又，所以, 故,即，由上分析得，，集合A一定不是集合C的子集， 故选：D 题型02：集合关系的Venn图表示 【例3】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项. 【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以NM， 故选：B. 2.请用文氏图表示下列集合关系：，． 【解题思路】根据为的真子集，得到文氏图. 【解答过程】由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集，    3.举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 【解题思路】根据集合间的包含关系与相等的定义，给合Venn图直观表示即可. 【解答过程】集合之间的包含关系： 例如，，显然，Venn图表示如下图：      集合之间的相等关系： 例如：是两条边相等的三角形，是等腰三角形， Venn图表示如下图： 题型03：判断两个集合是否相等 【例4】下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 【跟踪训练】 1.在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 2.下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，，，则； 对于B选项，，，则； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，，，则. 故选：D. 题型04：集合相等关系求参数 【例5】若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.，若，则+= . 【答案】 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 2.设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令或分类讨论即可． 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 3.已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【解答过程】，， ，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， ， 故选：B. 题型05：空集性质及其应用 【例6】下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【解答过程】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 【跟踪训练】 1.下列关系式不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：A． 2.若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3.已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 题型06：确定集合的子集、真子集 【例7】集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知求． 【答案】或 【分析】，则，可得集合． 【详解】，则，则或． 2.已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 题型07：子集、真子集个数问题 【例8】已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 【例9】已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或， 故选：D 【跟踪训练】 1.已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可. 【详解】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D 2.已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 3.若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解. 【详解】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得. 故选：A 4.集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 题型08：根据集合的包含关系求参数 【例10】已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 【例11】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 【跟踪训练】 1.已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 2.已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 3.设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 题型09：集合关系中的新定义问题 【例12】定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【解题思路】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以集合的子集的个数是， 故选：C. 【跟踪训练】 1.若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数是__． 【答案】 【分析】首先列出满足“伙伴关系集合”的元素有1，-1，“2和”，“3和”，“4和”五种可能，它们自由组合形成的非空集合即为所求结果. 【详解】因为；；；；； 即满足“伙伴关系集合”的元素有1，-1，“2和”，“3和”，“4和”五种可能； 这样所求集合即为这“五种元素”组成集合的非空子集； 所以，满足条件的集合个数为个. 故答案为： 2.定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【解题思路】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【解答过程】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）集合，则实数 【答案】2 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合间关系可知，即可求出. 【详解】因为， 所以，解得， 故答案为：2 2．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】解绝对值不等式得到，配方得到，得到，得到答案. 【详解】，解得，又，故， 因为，又，所以， 故答案为：. 3．（2024秋•浦东新区校级期中）已知集合，2，3，，，，，则　　 【分析】分类讨论，分别令，2，3，4，结合元素互异性和，得到答案． 【解答】解：若，此时，与元素互异性矛盾，舍去， 若，此时，则，，满足， 若，此时，此时不满足， 若，此时，此时不满足， 综上，． 故答案为：2． 【点评】本题考查了集合的包含关系的判断及应用，考查了分类讨论思想，属于基础题． 4．（23-24高一上·上海金山·期中）满足关系，的集合A的个数为 . 【答案】4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合包含关系得到集合，求出答案. 【详解】由题意得或或或. 故答案为：4 5．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【答案】② 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可. 【详解】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 6．（2024秋•闵行区期中）下列写法中，正确的有 　　． ①∅⊂{0}；②∅∉{0}；③0⊆{0}；④0∈∅． 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义求解． 【解答】解：空集是任何集合的子集，则①∅⊂{0}正确；②∅∉{0}错误；③0∈{0}，故错误；④0∉∅，故错误． 故答案为：①． 【点评】本题考查元素与集合的关系，考查空集的应用，属于基础题． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合的关系，得出或，解出，再根据集合元素的互异性即可判断的取值. 【详解】因为，所以有或两种可能， 若，则有，符合题意； 若，解得或，根据集合元素的互异性，有， 若，则有 符合题意； 所以的值为或. 故答案为：或 8．（2024秋•浦东新区校级期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数的值为 　 　． 【分析】由题意可知，方程只有一个根，分和两种情况讨论，即可求出实数的值． 【解答】解：由题意可知，方程只有一个根， ①当时，， 此时方程化为， 解得，符合题意， ②当，即时， △， 解得， 综上所述，实数的值为1或2． 故答案为：1或2． 【点评】本题主要考查了集合的子集个数，考查了分类讨论的数学思想，是基础题． 9．（2024秋•松江区校级期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是　 　． 【解答】解：当a＝0时，A＝{x|4x+4＝0}＝{﹣1}满足题意 当a≠0时，要集合A仅含一个元素需满足 Δ＝16﹣16a＝0解得a＝1 故a的值为0；1 故答案为：0或1 【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、子集的概念 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得. 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得， 故或. 故答案为：或 11．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 12．（2024秋•普陀区校级期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有（x+y）∈S，（x﹣y）∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若S为“完美集合”，则一定有0∈S； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”． 其中真命题是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断． 【解答】解：对于①，若S为“完美集合”，对任意的x∈S，0＝（x﹣x）∈S，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如{0}，②错； 对于③，集合， 在集合A中任意取两个元素，，，其中a、b、c、d为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，S＝{0}，T＝{0，1}，也满足④，但是集合T不是一个完美集合，④错． 故选：A． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的判断，属于基础题． 二、选择题 13．（2024秋•徐汇区校级期中）下列各式中，正确的个数是　　 ①，1，；②，1，，1，；③，1，； ④；⑤，；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其的意义即可判断出正误． 【解答】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此，1，，不正确，应该为，1，； ②，1，，1，，正确； ③，1，，正确； ④不含有元素，因此； ⑤，与的元素形式不一样，因此不正确； ⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，因此不正确． 综上只有：②，③正确． 故选：． 【点评】本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系及其的意义，考查了推理能力，属于基础题． 14．（2024-25格致中学高一上学期期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的定义求得，再根据集合的包含关系，即可求得. 【详解】，又，， 故集合为包含元素和，且为的子集， 故集合可以为：，则集合的个数是个. 故选：B. 15.（2024-25大同中学高一上学期期中）已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【错解】由得：或，即；， ，或，解得：或； 综上所述：实数的值构成的集合是 【错因】忽略了对一次项系数a的讨论。 【正解】由得：或，即； ①当时，，满足，符合题意； ②当时，， ，或，解得：或； 综上所述：实数的值构成的集合是. 16.（2024-25延安中学高一上学期期中）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 三、解答题 17.（2024-25上海高一课时作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【解题思路】（1）由集合A和集合B的代表元素判断； （2）利用数轴求解判断； （3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断； （4）由n∈N*判断； （5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断. 【解答过程】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z， 因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. 18．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数、空集的性质及应用 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 19．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 20．（2024-25闵行中学高一上学期期中）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【解答过程】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故 ，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则 ，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 21．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题1.2 集合之间的关系 知识点01 子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 知识点02 真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 【方法总结】 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 题型01：集合间关系的判断 【例1】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 【例2】已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【跟踪训练】 1.以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 2．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 3．若非空集合，，，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 题型02：集合关系的Venn图表示 【例3】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【跟踪训练】 1.已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 2.请用文氏图表示下列集合关系：，． 3.举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 题型03：判断两个集合是否相等 【例4】下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2.下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 题型04：集合相等关系求参数 【例5】若，则 ． 【跟踪训练】 1.，若，则+= . 2.设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型05：空集性质及其应用 【例6】下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.下列关系式不正确的为（    ） A． B． C． D． 2.若集合，则实数的取值范围是 . 3.已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 题型06：确定集合的子集、真子集 【例7】集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知求． 2.已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 题型07：子集、真子集个数问题 【例8】已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【例9】已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【跟踪训练】 1.已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知集合，，则集合的真子集个数为 . 3.若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 题型08：根据集合的包含关系求参数 【例10】已知全集，，，且，求m的取值范围． 【例11】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型09：集合关系中的新定义问题 【例12】定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【跟踪训练】 1.若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数是__． 2.定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 一、填空题 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）集合，则实数 2．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 3．（2024秋•浦东新区校级期中）已知集合，2，3，，，，，则　　 4．（23-24高一上·上海金山·期中）满足关系，的集合A的个数为 . 5．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 6．（2024秋•闵行区期中）下列写法中，正确的有 　　． ①∅⊂{0}；②∅∉{0}；③0⊆{0}；④0∈∅． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 8．（2024秋•浦东新区校级期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数的值为 　 　． 9．（2024秋•松江区校级期中）集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是　 　． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 11．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 12．（2024秋•普陀区校级期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有（x+y）∈S，（x﹣y）∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若S为“完美集合”，则一定有0∈S； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”． 其中真命题是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、选择题 13．（2024秋•徐汇区校级期中）下列各式中，正确的个数是　　 ①，1，；②，1，，1，；③，1，； ④；⑤，；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024-25格致中学高一上学期期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 15.（2024-25大同中学高一上学期期中）已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 16.（2024-25延安中学高一上学期期中）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 三、解答题 17.（2024-25上海高一课时作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 18．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 19．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 20．（2024-25闵行中学高一上学期期中）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 21．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $