精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

杨村第一中学高三年级2025-2026数学开学考试试卷 一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义，结合数轴进行集合运算. 【详解】因为， 如图： 所以， 故选：C. 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性可得等价于，结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为等价于， 则可以推出，即必要性成立； 但不能推出，例如，即充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的奇偶性排除C，D，又根据正负性排除A. 【详解】易知，故的定义域为，即定义域关于原点对称， 又，故是奇函数，排除C，D， 又当时，，排除A. 故选：B. 4. 某种高科技产品开发的支出成本（单位：万元）与市场销售额（单位：万元）之间有如下表所示的线性相关关系，与的经验回归方程为，当支出成本为8万元时，残差为（ ） x 2 4 5 6 8 y 40 50 70 60 80 A. B. 1.5 C. D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据经验回归方程计算支出成本时，市场销售额的预测值，结合表中数据，根据残差定义计算即可. 【详解】因为与的经验回归方程为， 所以当时，， 由表知当支出成本为8万元时，销售额为80万元，所以残差为. 故选：D 5. 已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，取即可判断；对于B，由不等式性质以及指数函数单调性即可判断；对于C，取即可判断；对于D，取即可判断. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，所以，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，取，则，故D错误. 故选：B. 6. 已知函数满足，且当时，恒成立．若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等式判断函数奇偶性，构造函数，进而求导，结合题意和函数奇偶性判断函数的单调性，可知，，，判断自变量大小结合函数单调性比较大小. 【详解】因为函数满足0，所以函数是奇函数． 令，则． 因为当时，恒成立，所以在上单调递减， 而，所以是偶函数， 所以在上单调递增． 由题意知，，， 因为，，所以， 所以， 故选：D． 7. 为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（ ） A. 120 B. 360 C. 180 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】相邻节目捆绑，然后捆绑的节目与器乐固定顺序，其余三个节目选三个位置排列，再按固定顺序插入捆绑的节目与器乐节目，再由分步乘法原理计算． 【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序； 歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共种排列顺序， 所以满足题意的排列顺序种数为， 故选：A． 8. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若回归方程，则变量与正相关 B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为，则事件“至多击中一次”的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】利用正负相关的意义判断A；利用相关指数的意义判断B；利用独立性检验的定义判断C；利用对立事件求出概率判断D. 【详解】对于A，回归方程，由，得变量与负相关，A错误； 对于B，值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B错误； 对于C，在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大， 说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越小，C错误； 对于D，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件， 则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D正确. 故选：D. 9. 已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知研究、的性质并画出它们的大致图象，应用数形结合研究交点个数求参数范围即可. 【详解】由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而在、上单调递减，在、上单调递增， 当直线与曲线相切时，联立得， 令，得， 依题意，作出与的图象，如图所示， 由图知， ①当时，且， 函数的图象与的图象无交点，不满足题意， ②当时，且， 函数的图象与的图象仅交于点，不满足题意， ③当时，若时， 若时， 要使方程恰有2个不同的实数根，则的图象与轴的交点在点左侧，只需，， 而时有3个不同实根，时有4个不同实根， ④当时，由上函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意， ⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意， 综上，的取值范围为． 故选：D 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知的展开式中，的系数为80，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，求出的系数，即可得出 【详解】由题意， 在中，通项为， ∵的系数为80， ∴当即时，， ∴，解得， 故答案为：. 11. 已知随机变量,若,,，则_______. 【答案】##0.0512 【解析】 【分析】利用方差的关系求得，然后由二项分布的期望公式和方差公式求得，再由二项分布的概率公式计算． 【详解】∵，∴，，又， ∴，， ． 故答案为：． 12. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：化，再应用基本不等式求最小值；法二：化，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】法一： ，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 13. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中，正确的结论有________．（填序号） 【答案】①③④． 【解析】 【分析】对各个选项进行分析：①；②；③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故；④从充分性和必要性两个方面考虑即可得答案． 【详解】①，，故①正确； ②，，故②错误； ③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类， ，故③正确； ④整数，属于同一“类”， 整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0， 反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．故④正确． 故答案为：①③④． 14. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况得到满足题意的排列数，再结合古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】情况一：前四次摸球中只有白球和红球，第五次摸到黄球，有种； 情况二：前四次摸球中只有白球和黄球，第五次摸到红球，有种； 情况三：前四次摸球中只有红球和黄球，第五次摸到白球，有种； 所以总共满足题意的有， 而， 故所求为. 故答案为：. 15. 已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论： ①的最小值为0； ②的最大值为3； ③若在上单调递减，则的取值范围为； ④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个； 则全部正确命题的序号为__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断AB；由在上单调性确定a值判断C；由函数图象具有对称性求出a值判断D作答. 【详解】当时，，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 若，函数在上递减，在上递增，， 若，函数在上递减，在上递增，当时，， 若，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 若，函数在上递减，在上递增，， 若，函数在上递减，在上递增，当时，， 若，函数在上递减，在上递增，； 当时，，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 函数在上递减，在上递增，， 因此，于是，即的最小值为0，最大值为3，①②正确； 显然当时，函数在上也递减，③错误； 当或时，函数的图象关于直线对称， 当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称， 当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称， 当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称， 则当时，对于任意的，成立，此时，④正确， 所以正确命题的序号为①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑 三、解答题（本题共5个大题，共75分） 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，求解即得； （2）由展开式的通项公式可知展开式的各项系数的正负，令即得； （3）两边对求导，再令即得到所求. 【小问1详解】 令，得．令，得， 所以． 【小问2详解】 令，得， 所以， 【小问3详解】 两边对求导， 得， 再令，得． 17. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 【答案】（1） （2） （3）第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大；说明见解析 【解析】 【分析】（1）根据规则有两种可能，一种是甲连胜两局，另一种是乙连胜两局，然后利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （2）根据规则也是有两种可能，一种是乙先胜一局再由甲连胜两局，另一种是丙先胜一局再由甲连胜两局，然后利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （3）根据规则也是有两种可能，一种是甲乙开局，甲连胜两局；或甲先胜第一局，再败一局，接下来乙胜一局，最后甲再胜一局；或甲第一局失败，第二局乙必须失败，第三局第四局甲必须连胜，另一种是甲丙开局，同理计算即可； 【小问1详解】 记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件 记比赛两局结束为事件，则 所以 ． 则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为． 【小问2详解】 记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件，则 所以 则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为； 【小问3详解】 由（2）可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为， 同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为 ， 第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为 ， 因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大． 18. 袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p. （1）若A，B两个袋子中的球数之比为1：2，将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值； （2）从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止. ①求恰好摸5次停止的概率； ②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球，利用古典概型的概率公式求得. （2）①利用相互独立事件的概率公式即可求解； ②利用独立重复试验的概率公式分别计算概率，写出分布列，求出数学期望； 【小问1详解】 设袋子A中有个球，则袋子B中有个球. 由，得 . 【小问2详解】 ①从中有放回地摸球，属于独立重复实验，所以概率 ②由题意可得：随机变量的取值为. ； ； ； . 的分布列是： 0 1 2 3 . 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3） 证明：由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 且在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，，则， 令，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， 即当时恒成立， 则在上单调递减，则， 故. 【解析】 【分析】（1）由可求得； （2）求出导函数，分类讨论确定和的解得单调区间； （3）根据（2）的求解，先确定的导函数在区间上存在零点时的范围，确定单调性后得的最小值，引入新函数后，由导数得新函数的最小值，从而证得结论． 【小问1详解】 ， 则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求单调区间的方法，求出导函数，然后解不等式得增区间，得减区间，题中不等式的证明可以在利用导数的基础上求得函数的最小值，由于此最小值中含有参数，以此参数为自变量得一新函数，再利用导数求得其极值、最值，从而可证明结论成立． 20. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【小问1详解】 设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. 【小问2详解】 因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； 【小问3详解】 解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村第一中学高三年级2025-2026数学开学考试试卷 一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 某种高科技产品开发的支出成本（单位：万元）与市场销售额（单位：万元）之间有如下表所示的线性相关关系，与的经验回归方程为，当支出成本为8万元时，残差为（ ） x 2 4 5 6 8 y 40 50 70 60 80 A. B. 1.5 C. D. 0.5 5. 已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，且当时，恒成立．若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（ ） A. 120 B. 360 C. 180 D. 90 8. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若回归方程，则变量与正相关 B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为，则事件“至多击中一次”的概率为 9. 已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知的展开式中，的系数为80，则______________． 11. 已知随机变量,若,,，则_______. 12. 已知，则的最小值为______． 13. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中，正确的结论有________．（填序号） 14. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 15. 已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论： ①的最小值为0； ②的最大值为3； ③若在上单调递减，则的取值范围为； ④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个； 则全部正确命题的序号为__________. 三、解答题（本题共5个大题，共75分） 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 17. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 18. 袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p. （1）若A，B两个袋子中的球数之比为1：2，将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值； （2）从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止. ①求恰好摸5次停止的概率； ②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量X的分布列及数学期望. 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 20. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $