天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

杨村第一中学高三年级2025-2026数学开学考试试卷 一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 某种高科技产品开发的支出成本（单位：万元）与市场销售额（单位：万元）之间有如下表所示的线性相关关系，与的经验回归方程为，当支出成本为8万元时，残差为（ ） x 2 4 5 6 8 y 40 50 70 60 80 A. B. 1.5 C. D. 0.5 5. 已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，且当时，恒成立．若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（ ） A. 120 B. 360 C. 180 D. 90 8. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若回归方程，则变量与正相关 B. 线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C. 在独立性检验时，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这两个变量没有关系”成立的可能性就越大 D. 一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为，则事件“至多击中一次”的概率为 9. 已知函数，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 已知的展开式中，的系数为80，则______________． 11. 已知随机变量,若,,，则_______. 12. 已知，则的最小值为______． 13. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中，正确的结论有________．（填序号） 14. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 15. 已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论： ①的最小值为0； ②的最大值为3； ③若在上单调递减，则的取值范围为； ④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个； 则全部正确命题的序号为__________. 三、解答题（本题共5个大题，共75分） 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 17. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 18. 袋子A和B中都装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出1个红球的概率是，从B中摸出1个红球的概率为p. （1）若A，B两个袋子中的球数之比为1：2，将A，B中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p的值； （2）从A中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止. ①求恰好摸5次停止的概率； ②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量X的分布列及数学期望. 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 20. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 杨村第一中学高三年级2025-2026数学开学考试试卷 一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】##0.0512 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】①③④． 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（本题共5个大题，共75分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大；说明如下： 由（2）可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为， 同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为 ， 第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为 ， 因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大． 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；② 【19题答案】 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3） 证明：由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 且在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，，则， 令，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， 即当时恒成立， 则在上单调递减，则， 故. 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $