精品解析：2025届海南省儋州市高三下学期高考仿真（一）数学试题

儋州市2025年高考仿真试卷（一） 数 学 （考试时间:120分钟 满分:150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据研究可确定复数，进而求即可. 【详解】因为为复数，为纯虚数，为实数， 所以. 所以. 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的定义及集合交集运算即可求解. 【详解】，即集合为有理数集， 而是无理数，所以. 故选：. 3. 已知，，下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 且 C. ，同号且不为 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 由不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】由得，同号且不为 对于A项，“或”不能推出，故A错误； 对于B项，“且”可以推出，当不一定得出且，则“且”是 “”的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C项，“，同号且不为”等价于“”，即“，同号且不为”是“”的一个充分必要条件，故C错误； 对于D项，或不一定得出，比如满足，但，故D错误； 故选：B 4. 已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可求，要使为递增数列只需满足即可求解. 【详解】当时，， 故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即 故选：B 5. 已知为钝角，，则（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角公式求出，再利用差角的正切公式即可求解. 【详解】由为钝角，得，， 所以. 故选：D 6. 已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象，数形结合即可求出m的范围. 【详解】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象如图， 结合图象知，当与有两个不同的交点时，. 故选：C． 7. 在中，，，，若，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设则，在△中，由正余弦定理求、、，结合已知可得、，可求，分别在△、△中求、，而，结合向量数量积的定义有，即可求值. 【详解】设，则， 由题意知：，即， 由正弦定理知：，即，. ∵，则有，， ∴，即. 在△中，，则，故， 在△中，，则，故， ∵，而，， ∴，即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：在三角形应用正余弦定理求边及其对应的余弦值，根据向量数量积的运算律及定义，结合已知列方程求参数. 8. 已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义可得，结合已知条件可得，在中，由余弦定理得为等边三角形，在中，可得，得解. 【详解】 由得到， 设，, 在中，由余弦定理得， ， 解得， 为等边三角形， 则在中，，， 又，， 得，解得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 直线与平面平行 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】为直线与所成的角，计算得到A正确，为直线与平面所成的角，，B错误，平面平面，C正确，梯形为平面截正方体所得的截面，计算得到错误，得到答案. 【详解】对选项A：如图1所示，连接，，，，则， ，，故是平行四边形，故，即， 为直线与所成的角，为等边三角形，故，正确； 对选项B：如图2所示，为中点，连接，，， 故为平行四边形，故， 平面，则为直线与平面所成的角，， 故，错误； 对选项C：如图3所示，为中点，连接，，，， 则，，故为平行四边形，故， 平面，平面，故∥平面， 同理可得∥平面，，故平面∥平面， 平面，故直线与平面平行，正确； 对选项D：如图4所示，连接，，，则， ，，故为平行四边形，故，则， 则梯形为平面截正方体所得的截面， ，，， 等腰梯形的高为， ，错误； 故选：AC 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式或二次函数性质，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，正实数满足，则， 当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为4，A正确； 对于B，， 当且仅当且，即时等号成立，即的最大值为，B正确； 对于C，正实数满足，则，则， 故， 由于，故，即， 故， 即， 即无最小值，C错误； 对于D，， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为，D正确， 故选：ABD 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的性质，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的系数为， 故答案为： 13. 设是函数的一个极值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点得到，再利用齐次式计算得到答案. 【详解】，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数的极值点，根据齐次式求值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设正四棱锥的底面边长为，求出正四棱锥的高，利用锥体的体积公式可得出容器的容积V（单位：）关于x（单位：m）的函数关系式，利用基本不等式求解最值. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，则高为， 体积 当且仅当时取等号. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列，其前项和满足， （1）求的通项公式. （2）证明：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系化简与累加法求解， （2）由裂项相消法求和后证明． 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，，则， 由累加法得， ，故，也满足该式 综上， 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点. （1）求证：平面平面； （2）试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为. 【答案】（1） 平面，平面， ， 为矩形，， 又，平面， 平面， 平面， ， ，为线段的中点， ， 又，平面， 平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）可先证平面，从而得到平面平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量后结合题设中的面面角可求，从而可得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，则， ， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，则， ， 平面与平面所成的锐二面角为， ，解得， ，即， 当时，平面与平面所成的锐二面角为. 17. 甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为. （1）求； （2）设，证明：； （3）求的数学期望的值. 【答案】（1）， （2） 次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知： ， ， ， ， ， ， ， 即 . （3）2 【解析】 【分析】（1）交换后甲盒有黑球，说明两个盒子相互交换个白球或者交换个黑球，若交换后甲盒有黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球； （2）根据全概率公式进行求解； （3）根据（2）的结论和期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题可知： ，. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ， ， 又 ， ，即 ， . 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分和讨论导数的正负，从而判断函数的单调性； （2）由题意对任意，，可变形为，只要，即对恒成立，即，对恒成立，从而将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求解函数最值即可求得答案. 【小问1详解】 ， ①当时，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，得， 由，即在上单调递增， 由，即在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 时，， ，令， 由，在上单调递增， 由，即在上单调递减， ， ， 对成立， 只要，即对恒成立， ，对恒成立， 令， 则， 且在上单调递增，上单调递减， ， ， . 19. 已知双曲线的离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为. （1）求曲线的方程； （2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于两点，直线过且垂直于轴，直线DG,DR分别与交于两点，若四点共圆，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，得双曲线为，设，应用点线距离公式、共圆、三角形面积公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）由共圆得，设，，且，联立双曲线，应用韦达定理列方程求参数t即可. 【小问1详解】 由，又得：，所以渐近线方程为， 则双曲线方程为，即， 设，则到渐近线的距离分别为， 又两渐近线的夹角为，且四点共圆，则或， 的面积， 曲线的方程为：. 【小问2详解】 如图四点共圆， ， ， 设，， 易得，令得：， 当的斜率为0时，不符合题意； 当的斜率不为0时，设， 联立双曲线得， 则，且，即，且， 所以， 由，即， ， ，符合， 综上，. 【点睛】关键点点睛：第一问，应用四点共圆求得或，再由三角形面积公式列方程求双曲线参数；第二问，根据四点共圆得，再设点及直线方程，联立双曲线，应用韦达定理求定点为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州市2025年高考仿真试卷（一） 数 学 （考试时间:120分钟 满分:150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 且 C. ，同号且不为 D. 或 4. 已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为钝角，，则（ ） A. B. C. 7 D. 6. 已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 在中，，，，若，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 直线与平面平行 D. 平面截正方体所得的截面面积为 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________. 13. 设是函数的一个极值点，则______. 14. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列，其前项和满足， （1）求的通项公式. （2）证明：. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点. （1）求证：平面平面； （2）试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为. 17. 甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为. （1）求； （2）设，证明：； （3）求的数学期望的值. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线的离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为. （1）求曲线的方程； （2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于两点，直线过且垂直于轴，直线DG,DR分别与交于两点，若四点共圆，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $