2.6应用一元二次方程 专项练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.6应用一元二次方程 专项练习 1．列方程解应用题： 斑马鱼是生物学研究的模式生物，具有很高的科研价值．若选取一条斑马鱼作为观察实验样本，对其视网膜厚度进行量化分析，此时它的视网膜厚度为150μm（微米），两周后视网膜厚度达到了216μm（微米）．假设每周视网膜厚度的增长率相同，求这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率． 2．重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的，甲队先单独做了4天，之后甲队和乙队又合作了12天，刚好如期完成了整项工程的改造． （1）求甲队单独完成整项工程需要多少天？ （2）改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价30元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价每涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利12000元，且售价不超过55元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 3．在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ 4．某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 5．某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 6．根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 a元/杯 芝士100ML/杯 茉莉清茶400ML/杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 b元/杯 茉莉清茶500ML/杯 杨梅肉 多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6.1儿童节”，购买了这两款爆款奶茶： 1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元； 2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 7．将长为8cm，宽为6cm的长方形的长和宽都增加相同长度，结果增加后长方形的面积增加了51cm2．求增加后长方形的长和宽． 8．李明准备进行如下操作试验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于62.5cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于45cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 9．为了丰富市民的文化生活，某市开放滕王阁夜游项目《滕王宴乐》．为吸引游客组团来此夜游观看，特推出了如下门票收费标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人． （1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为　 　 元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为　 　 元； （2）若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去滕王阁夜游观看？ 10．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 11．如图，某商业区为了规范电动车停放，利用一面24米的墙建一个矩形电动车保管站，其余三面用总长42米的铁质栏杆围起来，其中一侧留有一个2米宽的门（不用铁栏杆），当电动车保管站面积为144平方米时，AC和CD的长为多少米？ 12．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 13．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？如果能，请求出鸡场的长和宽；如果不能，请说明原因． 14．某超市以每盒20元的价格购进一批草莓．该超市售货员在销售过程中发现当每盒的售价为40元时，平均每天可售出140盒，若每盒的售价每降价1元，则每天可多售出10盒．设此种草莓每盒的售价为x（20＜x≤40）元． （1）用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为 　 　 元，降价后该超市每天可卖出此种草莓的数量为 　 　 盒； （2）若该超市计划每天销售此种草莓盈利为2400元，求此种草莓每盒的售价应定为多少元？ 15．有一块长32cm，宽14cm的矩形铁皮． （1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． （2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为180的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为 　 　 cm． 16．根据以下素材，探索完成任务． 素材一 试营业发现 每杯奶茶的盈利与卖出的数量构成一定关系，当卖出10杯时，每杯奶茶可盈利3元．以同样的材料制作，若每多卖出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元． 探究一 若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出x杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利 　 　 元．（用含有x的代数式表示） 探究二 某天该奶茶店总盈利为630元．则当日卖出了多少杯奶茶？ 参考答案 1．解：设这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率为x， 根据题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：这条斑马鱼视网膜厚度的周平均增长率为20%． 2．解：（1）设甲队单独完成整项工程需要x天，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 由题意得：412（）＝1， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， 答：甲队单独完成整项工程需要25天； （2）设该纪念品的售价应为m元，则每套利润为（m﹣30）元，每天销售[80060]套， 由题意得：（m﹣30）[80060]＝12000， 整理得：m2﹣110m+3000＝0， 解得：m＝50，m2＝60（不符合题意，舍去）， 答：该纪念品的售价应为50元． 3．解：（1）设这个增长率为x， 由题意得：320（1+x）2＝500， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%， 答：这个增长率为25%； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米， 由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160， 整理得：3y2﹣44y+160＝0， 解得：y1，y2＝8， 当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去； 当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意； ∴AB＝8米， 答：重建后的养鸡场的宽AB为8米． 4．解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250， 整理得x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 5．解：（1）设平均每次降价的百分率是x， 根据题意列方程得，200（1﹣x）2＝162， 解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）200（1﹣5%）（1﹣15%）＝161.5＜162 ∴售货员的方案对顾客更优惠． 6．解：任务1，设每杯“芝士杨梅”的售价是a元，每杯“满杯杨梅”的售价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：每杯“芝士杨梅”的售价是21元，每杯“满杯杨梅”的售价是19元； 任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x， 由题意得：1280（1+x）2＝2000， 整理得：（1+x）2＝1.5625， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意，舍去），x2＝0.25＝25%， 答：该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是25%； 任务3，设该款奶茶应该降价m元，则每杯的利润为（21﹣9﹣m）元，月销售量为（1600+100m）杯， 根据题意得：（21﹣9﹣m）（1600+100m）＝16000， 整理得：m2+4m﹣32＝0， 解得：m1＝﹣8（不符合题意，舍去），m2＝4， 答：该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价4元时． 7．解：设长和宽各增加x cm，则增加后长方形的长为（8+x）cm，宽为（6+x）cm， 由题意得：（8+x）（6+x）＝8×6+51， 整理得：x2+14x﹣51＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣17（不合题意，舍去）， ∴8+x＝8+3＝11，6+x＝6+3＝9， 答：增加后长方形的长为11cm，宽为9cm． 8．解：（1）设剪成的较短的这段为x cm，较长的这段为（40﹣x）cm， 由题意得：（）2+（）2＝62.5， 整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30， 当x＝10时，较长的为40﹣10＝30（cm）； 当x＝30时，较长的为40﹣30＝10（cm）＜30cm（不符合题意，舍去）； 答：李明应该把铁丝剪成10cm和230m的两段； （2）李明的说法正确，理由如下： 设剪成的较短的这段为y cm，较长的这段为（40﹣y）cm， 由题意得：（）2+（）2＝45， 整理得：y2﹣40y+440＝0， ∵Δ＝（﹣40）2﹣4×440＝﹣160＜0， ∴原方程无实数根， ∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于45cm2． 9．解：（1）∵15＜20， ∴当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元； ∵25＞20，且60﹣2×（25﹣20）＝50（元）， ∴当夜游人数为25人时，人均门票价格为50元． 故答案为：60，50； （2）设该单位这次共有x名员工去滕王阁夜游观看， ∵60×20＝1200（元），1200＜1232， ∴x＞20． 根据题意得：[60﹣2（x﹣20）]x＝1232， 整理得：x2﹣50x+616＝0， 解得：x1＝22，x2＝28， 当x＝22时，60﹣2（x﹣20）＝60﹣2×（22﹣20）＝56＞50，符合题意； 当x＝28时，60﹣2（x﹣20）＝60﹣2×（28﹣20）＝44＜50，不符合题意，舍去． 答：该单位这次共有22名员工去滕王阁夜游观看． 10．解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝114， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000， 整理得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝50，y2＝80， 又∵要尽可能让车企得到实惠， ∴y＝50． 答：该零件的实际售价应定为50元． 11．解：设AC的长为x米，则CD的长为（42+2﹣2x）米， 由题意列方程可得：x（42+2﹣2x）＝144， 解得x＝18或x＝4， 当x＝4时，CD＝36＞24，不合题意，舍去， 当x＝18，即AC＝18时，CD＝8， 答：AC＝18米，CD＝8米． 12．解：（1）根据题意得：5≤x≤12； （2）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800， 整理得：x2﹣200x+1900＝0， 解得：x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去）， ∵5≤10≤12， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出5000500＝（5000+100y）平方米草莓， 根据题意得：（100﹣y）（5000+100y）﹣20000＝520000， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40， 又∵要让利于顾客， ∴y＝40． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 13．解：（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m， 依题意，得：x（33﹣3x）＝90， 解得：x1＝6，x2＝5． 当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意， 当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞15，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m． （2）不能，理由如下： 设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m， 依题意，得：y（33﹣3y）＝100， 整理，得：3y2﹣33y+100＝0． ∵Δ＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0， ∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场． 14．解：（1）根据题意得：每盒此种草莓的利润为（x﹣20）元， 降价后该超市每天可卖出此种草莓的数量为140+10（40﹣x）＝（540﹣10x）盒． 故答案为：（x﹣20），（540﹣10x）； （2）根据题意得：（x﹣20）（540﹣10x）＝2400， 整理得：x2﹣74x+1320＝0， 解得：x1＝30，x2＝44， 又∵20＜x≤40， ∴x＝30． 答：此种草莓每盒的售价应定为30元 15．解：（1）设正方形的边长为x cm， 根据长方体盒子的底面积为280cm2可得：（32﹣2x）（14﹣2x）＝280， 整理得：x2﹣23x+42＝0， 解得：x1＝2，x2＝21（舍去）， 答：裁去的正方形的边长为2cm； （2）设左侧阴影正方形的边长为y cm， 根据底面积为180可得：， 整理得：y2﹣23y+22＝0， 解得：y1＝1，y2＝22（舍去）， ∴盒子的底面宽为14﹣1×2＝12cm，长为， ∴右侧阴影长方形的长为32﹣1﹣15＝16cm， ∴裁剪下来的边角料面积为2×1×1+2×1×16＝34cm2， 故答案为：34． 16．解：探究一：由题意可知，若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出x杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利（3+0.1x）元， 故答案为：（3+0.1x）； 探究二：由题意得：（10+x）（3+0.1x）＝630， 整理得：x2﹣40x﹣6000＝0， 解得：x1＝60，x2＝﹣100（不符合题意，舍去）， ∴10+x＝10+60＝70， 答：当日卖出了70杯奶茶． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/11 14:32:42；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $