21.2 解一元二次方程 【课时训练】2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 教材必备知识精练 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 1.[2023天津中考]若，是方程 的两个根，则( ) A. B. C. D. 2.[2023漳州期中]下列一元二次方程中，两根之和为2的是( ) A. B. C. D. 知识点2 一元二次方程根与系数的关系的应用 3.一题多解[2022益阳中考]若是方程 的一个根，则此方程的另一个根是( ) A. B.0 C.1 D.2 4.[2023乐山中考]若关于的一元二次方程两根为， ，且，则 的值为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 5.[2023菏泽中考]一元二次方程的两根为， ，则 的值为( ) A. B. C.3 D. 【归纳总结】 与一元二次方程两根有关的几个常用代数式的变形 ; ; ; ; ; . 6.[2022宜宾中考]已知，是一元二次方程 的两个根，则 的值为( ) A.0 B. C.3 D.10 7.关于的方程为常数 的根的情况，下列结论中正确的是( ) A.两个正根 B.一个正根，一个负根 C.两个负根 D.无实数根 8.在解一元二次方程时，小红看错了常数项 ，得到方程的两个根是，1.小明看错了一次项系数，得到方程的两个根是5， ，则原来的方程是( ) A. B. C. D. 9.[2023达州中考]已知，是关于的方程 的两个实数根，且，则 的值为___. 10.易错题 [2024四川大学附中期中]若，是关于 的方程的两个根，且,则 的值为___. 11.新考法 [2024上海黄浦区期中]已知，且有 及，则 的值为____. 12.一题多解 [2022十堰中考]已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根; （2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且，求 的值． 参考答案 教材必备知识精练 1.A 2.A 【解析】 A项,方程 的两根之和为2,所以A选项符合题意；B项,方程的两根之和为 ,所以B选项不符合题意；C项,方 程 没有实数根（关键点拨：求两根之和的前提是方程有实数根）,所以C选项不符合题意；D项,方程 的两根之和为5, 所以D选项不符合题意． 3.B 【解析】解法一 （利用根与系数的关系） 设的另一个根是 ,, . 解法二 （利用解方程） 把代入方程 ,得,解得, 原方程为,解方程得 , . 4.C 【解析】 一元二次方程的两根为, ,,,解得, , ． 5.C 【解析】 一元二次方程的两根为, ,, ． 6.A 【解析】 ,是一元二次方程 的两个根,是的一个根, ,即, ． 7.B 【解析】 方程可化为 ,, 方程有两个不相等的实数根.根据一元二次方程的根与系数的关系,可知方程的两个根的积为 ,, 该方程有一个正根,一个负根. 8.B 【解析】 根据题意和一元二次方程的根与系数的关系，得，，所以, ,故原来的方程为 ． 9.7 【解析】 ,是方程的两个实数根, , , ,解得 ． 10.1 【解析】 ,是关于的方程 的两个根, ,, , ,解得或1.当 时,方程为 ,,此时方程无解；当 时, 方程为 ,此时方程有解. 综上所述, 的值为1． 11.10 【解析】 且, （方程两边同除以）.,, , 可看作方程的两根,,即 ． 12.（1）证明：,,, , 方程总有两个不相等的实数根. （2）解：由题意得解得 解法一 ,,． 解法二 把代入,得,解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.2.2 公式法 教材必备知识精练 知识点1 一元二次方程根的判别式 1.[2023吉林中考]一元二次方程 根的判别式的值是( ) A.33 B.23 C.17 D. 2.[2023广元中考]关于的一元二次方程 根的情况，下列说法中正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.易错题 [2023朝阳中考]若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( ) A.且 B. C.且 D. 4.新趋势·条件开放 [2023济南中考]关于 的一元二次方程有实数根，则 的值可以是___（写出一个即可）. 5.教材P17T4变式 不解方程，直接判断下列一元二次方程的根的情况. （1） ； （2） ； （3） . 6.教材P17T13变式已知关于的方程为常数 . （1）求证：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若方程有一个根是，求 的值. 知识点2 用公式法解一元二次方程 7.[2024深圳期中]用公式法解一个一元二次方程的根为 ，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项可能为( ) A.6，5，1 B.3，5， C.3，5，1 D.3， ，1 8.用公式法解下列方程： （1） ； （2） ; （3） ； （4） . 学科关键能力构建 1.[2023广州中考]已知关于的方程 有两个实数根，则 的化简结果是( ) A. B.1 C. D. 2.[2023内江中考]对于实数，定义运算“ ”为 .例如：，则关于的方程 的根的情况，下列说法正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.[2023江门期末]若一元二次方程 的两个实数根中较小的一个根是，则 ( ) A. B. C. D. 4.[2024钦州浦北中学月考]关于的方程 有两个相等的实数根，若,,是 的三边长，则这个三角形一定是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 5.用公式法解下列方程： （1） ; （2） . 6.[2023杭州中考]设一元二次方程 .在下面的四组条件中选择其中一组， 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ，；，；，；， . 7.易错题 已知关于的一元二次方程 ． 【易错分析】 本题中的根为连续偶数,要注意连续偶数相差2的特点,因此需要分类讨论求解,否则容易漏解. （1）试判断这个方程的根的情况. （2）是否存在实数，使这个方程的两个根为连续偶数？若存在，求出 的值及方程的根；若不存在，请说明理由． 参考答案 教材必备知识精练 1.C 【解析】 对于一元二次方程,,, （确定,, 的值时,要注意它们的符号）, ． 2.C 【解析】 由得,, , , 方程没有实数根． 3.A 【解析】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根,,,解得且 . 4.1 【解析】 （答案不唯一） 关于的一元二次方程 有实数根,,解得,则 的值可以是1． 5.（1）解：因为,,,所以,所以方程有两个不相等的实数根. （2） 解： 因为,,,所以,所以方程有两个相等的实数根. （3） 解： 因为,,,所以,所以方程无实数根. 6.（1）证明：,所以不论为何值,该方程总有两个不相等的实数根. （2）解：将代入原方程,得,所以,所以． 7.C 【解析】 一元二次方程 的求根公式为,一元二次方程的根为,, ,,,,,, 此方程的二次项系数、一次项系数、常数项可能为3,5,1． 8.（1）解：,,, , 方程有两个不相等的实数根， , ,． （2） 解： ,,, , 方程有两个相等的实数根, . （3） 解： 原方程可化为. ,,, , 方程有两个不相等的实数根, , ,. （4） 解： 原方程可化为. ，，， ， 此方程无实数根. 学科关键能力构建 1.A 【解析】 关于的方程 有两个实数根, ,解得, , , ． 2.A 【解析】 , , , , 关于 的方程 有两个不相等的实数根． 3.D 【解析】 的两个实数根中较小的一个根是 ,,解得 . 4.B 【解析】 关于的方程 有两个相等的实数根,,整理得, 是直角三角形. 5.（1）解：原方程可化为, ,,, , 方程有两个不相等的实数根, , ,. （2） 解： 原方程可化为,即. ,,, , 方程有两个不相等的实数根, , ,. 6.解：使这个方程有两个不相等的实数根, ,即, 均可（对于①,,对于④,）. 选②解方程,则这个方程为, , ,； 选③解方程,则这个方程为, . ,． 7.（1）解：, ,方程有两个实数根. （2） 解： 存在. 解方程,得,. 当时,,方程的根为,； 当时,,方程的根为,. 存在满足题意的实数,的值为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.2.3 因式分解法 教材必备知识精练 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.[2023北京丰台区期中]一元二次方程 的根是( ) A. B. C.， D.， 2.[2024宜宾期中]已知一元二次方程的两根分别为， ，则这个方程可能为( ) A. B. C. D. 3.[2024扬州五校联考期中]嘉嘉在解方程 时，只得到一个解是 ，则他漏掉的解是( ) A. B. C. D. 4.教材P14T1变式 用因式分解法解下列方程： （1） ; （2） ; （3） ； （4） . 5.新趋势·过程性学习 [2023西安新城区期中]以下是某同学解方程 的过程： 解：方程两边因式分解，得 ，① 方程两边同除以，得 ，② 原方程的解为 ．③ （1）上面的运算过程中，第____步出现了错误．（填序号） （2）请你写出正确的解答过程． 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 6.用合适的方法解下列方程： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 学科关键能力构建 1.[2024宿州埇桥区期中]若，则 的值为( ) A.或3 B.1或 C. D.3 2.[2023西安长安区期中]若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是( ) A.48 B.24 C.48或 D.24或 3.一题多解 若关于的方程的两根分别是 和5,则多项式 可以分解为_______________. 4.根据图中的程序，当输入一元二次方程的根时，输出结果 的值为_______. 5.[2024枣庄期中]如图，已知，，是数轴上异于原点 的三个点，且点为的中点，点为的中点.若点表示的数是，点 表示的数是，则 ___. 6.我们知道可以用公式 来分解因式，解关于 的一元二次方程. （1）方程可分解为______________ ， 方程可分解为_______________ . （2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解.如方程可分解为 ，从而可以快速求出方程的根.请你利用此方法尝试解方程 . 7.抽象能力 [2024云南民族大学附中月考]阅读：我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程时，可设 ，则原方程可化为，解得，.当时， ，所以，；当时，，所以， ，故原方程的根为，，， .仿照上述方法解答下列问题. （1）已知方程，设 ，则原方程可化为_______________. （2）解方程： . 参考答案 教材必备知识精练 1.C 【解析】 ,,或,, ． 2.A 3.A 【解析】 , （注意：移项时整体变号）,,或,,, 他漏掉的解是 ．（易错点：当等号的左右两边有相同的因式时,不要同除以这个相同的因式,容易造成漏解） 4.（1）解：因式分解，得，于是得或,，. （2） 解： 原方程可化为，因式分解，得，即， 于是得或,，. （3） 解： 原方程可化为,因式分解,得,（关键点拨：等号左边的式子先提取公因数2, 再运用完全平方公式分解因式） . （4） 解： 因式分解,得,即, 于是得或,,. 5.（1）② （2）解：方程两边因式分解,得,移项,得,方程左边因式分解,得,方程转化为或,所以原方程的解为,． 6.（1）解：方程两边同除以2,得,于是得, ,. （2） 解： 解法一 配方,得,即,由此可得或, ,. 解法二 移项,得, 因式分解,得,于是得或, ,. （3） 解： ,,, , 方程有两个不相等的实数根, , ,. （4） 解： 移项,得,因式分解,得, 即,于是得或,,. 学科关键能力构建 1.D 【解析】 ,或,又, . 2.D 【解析】 解,得, ．①当长为8的边是直角边时,该直角三角形的面积是 ；②当长为8的边是斜边时,则第三边的长是 ,该直角三角形的面积是 . 3. 【解析】解法一 由题意,知 ,所以 . 解法二 因为方程的两根分别是 和5,所以解得 所以 . 4.或2 【解析】 解方程,得,.当时, ；当时,.所以输出结果的值为 或2． 5.6 【解析】 是原点，且是的中点，， 点 表示的数是， 点表示的数是是的中点， ，，即， ，解得， 点异于原点，， . 6.（1）, （2）解：方程可分解为, 或, ,. 7.（1） （2）解：设, 则原方程左边, 所以原方程可化为, 因式分解,得,解得,． 当时,, 所以,解得,； 当时,,所以, 因为,所以此方程无实数根, 故原方程的根为,． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.2.1 配方法 教材必备知识精练 知识点1 配方的概念 1.将代数式化成 的形式为( ) A. B. C. D. 2.教材P9T1变式 填空： （1）______ ; （2）______ ; （3）_____ ; （4）_____ . 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3.[2023赤峰中考]用配方法解方程 时，配方后正确的是( ) A. B. C. D. 4.新趋势·过程性学习 [2024承德期末]老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) A.只有甲 B.甲和乙 C.甲和丙 D.丙和丁 5.用配方法解下列方程： （1） ； （2） ； （3） . 知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 6.[2022聊城中考]用配方法解一元二次方程 时，将它化为的形式，则 的值为( ) A. B. C.2 D. 7.用配方法解下列方程： （1） ; （2） . 知识点4 配方法的应用 8.[2024新乡月考]关于代数式 的最值，下列说法正确的是( ) A.有最小值,是4 B.有最大值,是4 C.有最小值,是8 D.有最大值,是8 9.已知,，其中为任意实数，则与 的大小关系为( ) A. B. C. D.无法确定 学科关键能力构建 1.[2024青岛六十二中月考]在解方程 时，对方程进行配方，图1是嘉嘉的配方过程，图2是琪琪的配方过程，对于两人的配方过程，说法正确的是( ) A.都正确 B.嘉嘉的正确，琪琪的不正确 C.嘉嘉的不正确，琪琪的正确 D.都不正确 2.一题多解 [2024三明期中]已知方程 ________，等号右侧的数印刷不清楚.若可以将其配方成 的形式，则印刷不清楚的数是( ) A. B. C.3 D.2 3.[2024随州期中]在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程 的解为___________. 4.[2024天津和平区期中]若方程的两根为 ，则方程 的两根为_______________________． 5.[2023驻马店期中]定义：如果存在一个数，使 ，那么当时，有，即是方程 的两个根．据此可知方程的两根为________________________.（根用 表示） 6.用配方法解下列方程： （1） ； （2） . 7.应用意识 [2024保定清苑区期末]《代数学》中记载，形如 的方程，求正数解的几何方法是： “如图1，先构造一个面积为 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面 积为的长方形，得到大正方形的面积为 ，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程 时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为( ) A.6 B. C. D. 先阅读下面的例题，再按要求解答下列问题.例题：求代数式 的最小值. 解： ,因为，所以 ,所以代数式 的最小值为3. （1）求代数式 的最小值. （2）求代数式 的最大值. （3）证明： 的值不小于3. （4）拓展：已知实数,满足,求 的最大值. （5）应用：某居民小区要在一块一边靠墙 （墙长为）的空地上建一个矩形花园 ， 花园一边靠墙，另三边用总长为 的栅栏围成. 如图，设，请问：当 取何值时，花园的面积最大？最大面积是 多少？ 参考答案 教材必备知识精练 1.B 【解析】 . 2.（1）9,3; （2）4,2; （3）,; （4）, 3.C 【解析】 ,移项,得 ,配方,得,即 4.C 【解析】 （易错点：方程两边同时加上一次项系数一半的平方,勿忘等号右边） 或 ,, 接力中,自己负责的一步出现错误的是甲和丙． 5.（1）解：配方,得,即,由此可得,,. （2） 解： 移项,得,配方,得,即, 原方程无实数根. （3） 解： 原方程可化为,配方,得,即,由此可得,,. 6.B 【解析】 ,,即 ,则,即,,, ． 7.（1）解：原方程可化为,二次项系数化为1,得,配方,得,即,由此可得或,,. （2） 解： 移项,得,二次项系数化为1,得,配方,得,即,由此可得或,,. 8.B 【解析】 ,,，, 代数式 有最大值,最大值为4． 9.A 【解析】 因为, ,所以 ,所以 . 学科关键能力构建 1.A 2.D 【解析】解法一 （倒推）变形,得 ,由题意,得,解得,,, 印刷不清 楚的数是2. 解法二 （正推） 设印刷不清楚的数是,则 ,移项,得,配方,得,则,解得 印刷 不清楚的数是2. 3.< 【解析】 根据题中的定义,得3☆,★ ,则所求方程化为,配方,得,解得 （易错点：不能写成 .当方程有两个相等的实数根时,要写成 的形式）． 4.<,< 【解析】 ,即 ,（关键点）,即 方程的两根为,, , ． 5.<， < 【解析】 ，即 ，配方，得，，, ， （关键点拨：理解并应用题干所给定义， ）． 6.（1）解：原方程可化为<,二次项系数化为1,得<, 配方,得<,即<, 由此可得<或<,<,<. （2） 解： 移项,得<, 二次项系数化为1,得<, 配方,得<, 即<, 由此可得<或<, 所以<,<． 7.D 【解析】 如题图2,先构造一个面积为 的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 的长方形,得到大正方形的面积为 ,所以该方程的正数解为 . （1）解：<, 因为<,所以<, 所以代数式<的最小值为1. （2）解：<, 因为<,所以<, 所以代数式<的最大值为3. （3）证明：<, 因为<,所以<, 所以<的值不小于3. （4）解：由<,得<, 所以<, 因为<,所以<, 所以<的最大值为7. （5）解：由题意,得花园的面积是<. <, 因为<,所以<, 所以当<时,<有最大值,最大值为50, 此时<,符合题意, 所以当<时,花园的面积最大,最大面积是<. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $