13.3 三角形的内角与外角 讲义 2025～2026学年人教版数学八年级上册

专题13.3 三角形的内角与外角 (知识梳理及题型总结) ·模块一 三角形的内角 ·模块二 三角形的外角 ·模块三 课后作业 模块一 三角形的内角 1. 三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 如图所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 2. 直角三角形的性质及判定 （1） 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 在△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90° （2） 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形。 【考点1 三角形的内角和】 【例1.1】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【例1.2】如图，直线，，，则的度数为 ． 【变式1.1】小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【变式1.2】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点2 与三角形角平分线的内角和】 【例2.1】如图：中，、平分和，若，求的度数． 【例2.2】如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 【变式2.1】如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【考点3 与三角形折叠有关的计算】 【例3.1】如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【例3.2】在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【变式3.1】如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，求的度数． 【考点4 直角三角形两锐角互余】 【例4.1】如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【例4.2】如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】如图，在中，平分． (1)则 ； (2)求的度数． 【考点5 两锐角互余的是直角三角形】 【例5.1】在中，若，则这个三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例5.2】如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式5.1】的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 模块二 三角形的外角 1. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的外角和等于360°。 在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC，∠ACD+∠CBF+∠BAE=360° 【考点1 三角形的外角】 【例1.1】如图，在中，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，则的度数为 ． 【例1.2】如图，若，点在的延长线上，点在的延长线上，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式1.1】一个六角星，其中，则 ． 【变式1.2】如图，中，于F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．若一个三角形三个角的比为，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，则 ． 6．如图，是上一点，是上一点，则的度数是 ． 7．如图，将一角折叠，若，则 ． 8．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 9. 在中，是的平分线，是边上的高，，，求的度数． 10. 如图，在中，，． (1)求的度数； (2)平分交于，于点，求的度数． 11. 在中，，交于点 E，平分．求的度数． 12. 如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 13. 如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，相交于点，，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 三角形的内角与外角 (知识梳理及题型总结) ·模块一 三角形的内角 ·模块二 三角形的外角 ·模块三 课后作业 模块一 三角形的内角 1. 三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 如图所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 2. 直角三角形的性质及判定 （1） 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 在△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90° （2） 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形。 【考点1 三角形的内角和】 【例1.1】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【答案】已知，；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，，（已知） ，．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 【例1.2】如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 【变式1.1】小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 【变式1.2】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 【考点2 与三角形角平分线的内角和】 【例2.1】如图：中，、平分和，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，则，然后把的度数代入计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴． 【例2.2】如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 【变式2.1】如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 根据和的平分线，相交于点G，可知，，根据得到，即可求出的度数． 【详解】的平分线相交于点， ， ， ， ． 故选C． 【考点3 与三角形折叠有关的计算】 【例3.1】如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 【例3.2】在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 【变式3.1】如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 【变式3.2】如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角．根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可． 【详解】解：将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，， ，， ∵， ， ， ． 【考点4 直角三角形两锐角互余】 【例4.1】如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得到角的关系，再结合垂直的定义求出的度数．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 直线 ∴ ∵ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 故选：C． 【例4.2】如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由是高，，可得，再由是角平分线，，从而得，进而可求的度数． 【详解】解：∵在中，是高， ， ， ， ∵是角平分线，， ， 故选：A． 【变式4.1】如图，在中，平分． (1)则 ； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用这些几何性质，以已知角为基础逐步推导未知角的度数． （1）先根据三角形内角和定理（三角形内角和为)，结合已知、，求出的度数；再依据角平分线的定义（角平分线将角分成两个相等的角），计算出的度数． （2）先由得出为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余（直角三角形两锐角和为)，结合求出的度数；再利用（1）中已求得的的度数，通过与的差值求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴； 故答案为：． （2）∵， ， ∴， ∴． 【考点5 两锐角互余的是直角三角形】 【例5.1】在中，若，则这个三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．由，可得出，结合，可求出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：， ， 又， 即， ， 是直角三角形． 故选：A ． 【例5.2】如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 【变式5.1】的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可． 【详解】解：、，此时只为等腰角三角形，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ，， 不能确定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、， ， 即为直角三角形，故本选项符合题意； 、，， ， 即为锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形． 【变式5.2】在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 模块二 三角形的外角 1. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的外角和等于360°。 在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC，∠ACD+∠CBF+∠BAE=360° 【考点1 三角形的外角】 【例1.1】如图，在中，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，先利用三角形外角的性质求出，再利用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：． 【例1.2】如图，若，点在的延长线上，点在的延长线上，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是理解三角形的外角等于不相邻的两个内角和．根据，求出即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【变式1.1】一个六角星，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得：，， ∴； 由三角形外角性质可得：，， ∴； ∴． 故答案为：． 【变式1.2】如图，中，于F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，先求解，然后利用三角形内角和定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 模块三 课后作业 1．如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角板的知识，是基础题，熟记定理是解题的关键．由题可得，，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ． ，， ． ， ． 故选：C． 3．若一个三角形三个角的比为，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的运算． 求出最大角，进而判断即可． 【详解】三角形最大角为 ∴这个三角形是钝角三角形 故选：C 4．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 5．如图，在中，，，则 ． 【答案】55 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得到，最后在中，利用三角形内角和定理可知，代入即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：55． 6．如图，是上一点，是上一点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，将一角折叠，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， 由折叠可知，， ， ， 故答案为：． 9. 在中，是的平分线，是边上的高，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的有关计算． 根据三角形内角和求出的度数，根据是的平分线求出，根据是边上的高，求出，即，即可求出的度数． 【详解】解：，， ． 是的角平分线， ． 是边上的高， ． ． ． 10. 如图，在中，，． (1)求的度数； (2)平分交于，于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识. （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据角平分线可得，由垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：，平分， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 11. 在中，，交于点 E，平分．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵交于点 E，平分， ∴，， ∴， ∴． 12. 如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查平行线性质及判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先利用三角形内角和定理求出，继而利用平行线性质得出本题结论； （2）证明出，然后得到，即可得到本题结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，相交于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的有关计算． 根据三角形外角的性质求出，根据三角形外角的性质，角平分线的定义得到，进而求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴，． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $