专题13.2 与三角形有关的线段 2025～2026学年人教版数学八年级上册

专题13.2 与三角形有关的线段(知识梳理及题型总结) ·模块一 三角形的边 ·模块二 三角形的高、中线、角平分线 ·模块三 课后作业 模块一 三角形的边 1. 三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。 2. 判断三条线段能否组成三角形 若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。 3. 三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用。 【考点1 三角形的三边关系】 【例1.1】一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题解题的关键是掌握三角形的三边关系，三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； C、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故此项符合题意； 故选D． 【例1.2】已知三条线段的长分别是．若它们能构成三角形，求整数的最大值和最小值． 【答案】整数的最大值是9，最小值5 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．利用三角形三边关系求出的取值范围，从中找出最大的和最小的整数即可． 【详解】解：∵三条线段的长分别是，能构成三角形， ，即， 因此整数的最大值是9，最小值5． 【变式1.1】下列长度的三条线段能拼成三角形的是（  ） A．3，8，4 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，3，5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意； B、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意； C、，满足两边之和大于第三边，故该选项符合题意； D、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1.2】已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； 【答案】(1) (2)为等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （）根据三角形的三边关系即可求解； （）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； 【考点2 三角形的三边化简】 【例2.1】的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了非负性，三角形三边关系，根据非负性可以求出，熟练掌握是解题关键 【详解】解：，，， ，， ． 又a，b，c均为三角形的三边， ． 为整数， ． 的周长为， 故答案为：11． 【例2.2】已知是的三条边长，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出，是解题的关键． 先根据三角形的三边关系得出，再化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ∴， 即， ∴ . 故答案为：． 【变式2.1】已知是的三条边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键． 先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ， ， 故答案为：． 【考点3 三角形的稳定性】 【例2.1】如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的性质． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性， 故选：． 【例2.2】下列图形中有几个具有稳定性？（   ） A．三个 B．四个 C．五个 D．六个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 所以从左起第1个、第4个、第6个图形具有稳定性，共三个． 故选：A． 【变式2.1】如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上（   ）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形求解是解题关键． 三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线，就至少要钉上根木条． 【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴至少要钉上3根木条． 故选C． 【变式2.2】下列图形具有稳定性的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．正五边形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，四边形的不稳定性，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解问题． 根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，对四个选项逐一分析，再作判断． 【详解】解：等腰三角形是特殊的三角形，三角形具有稳定性，正方形、平行四边形、正五边形都不具有稳定性， 故选：A． 模块二 三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线： （1） 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 （2） 三角形的三条中线相交于一点。 （3） 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形内部。 2. 三角形的角平分线 （1） 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。 （2） 三条角平分线交于一点，且在三角形的内部，这个点叫做三角形的内心。 3. 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 【考点1 三角形的中线】 【例1.1】如图，是的中线．若（表示周长），且，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线性质和三角形周长的计算．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ， ， ， 即的长度为． 【例1.2】如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 【变式1.1】如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 【考点2 三角形中线的面积计算】 【例2.1】已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线， 根据中线的定义可知，进而得出，则此题可解. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴. 同理，. 故选：A. 【例2.2】如图，三角形的面积为，点D、E分别在边上，交于点F，若，，则三角形的面积是 ，三角形的面积是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是：在高相等的情况下，面积比等于底边比． 据三角形的面积底高，结合边的比例关系，就能找到各三角形面积的关系，结合三角形的面积为，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∴在和中，底，高相等， ， 在和中，底，高相等， 设，则， ， 在和中，底，高相等， ， ， ， 在和中，底，高相等， ∴，即， 解得． 故答案为：4 ； ． 【变式2.1】在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到，，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵点P为对角线的中点， ∴，， ∵， ∴； 故选C． 【变式2.2】如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 【考点3 三角形的角平分线】 【例3.1】下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 【答案】(1)丙 (2)甲 (3)乙 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形中线的定义求解即可； （2）根据三角形高的定义求解即可； （3）根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠得，甲和乙中，丙中， ∴折出的是边上的中线的是丙； （2）解：根据折叠得，甲中，乙和丙中， ∴折出的是边上的高的是甲； （3）解：根据折叠得，乙中，甲和丙中， ∴折出的是边上的平分线的是乙． 【例3.2】如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式3.1】下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式3.2】请把下面证明过程补充完整： 已知：如图，于点，点在的延长线上，于点，交于点，． 求证：平分． 证明：，（已知）， （______）， （______）， （______）， （______）． 又（已知）， （______）， 平分（______）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义． 【分析】本题考查的知识点是垂直的定义、平行线的性质与判定、等量代换、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定． 由垂直定义推得，根据平行线的性质可得，，由等量代换可证，则根据角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义． 【考点4 三角形高的画法】 【例4.1】下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：线段是的高的是选项 A中的图形； 故选：A． 【例4.2】下列各组图形中，是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键． 根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：的高是过顶点A与垂直的线段，只有D选项符合． 故选：D． 【变式4.1】如图，在中，是钝角，完成下列作图题． (1)作的高线、中线与的延长线交于点F； (2)连接，请写出以为高的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查三角形的高线、中线画法，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）结合图形，找出以为高的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）根据图形得：为以为高的三角形． 【变式4.2】如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义． 根据三角形的高的定义，求解即可． 【详解】解：可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，，共条； 综上，可以作为三角形“高”的线段有：，，，，共条． 故答案为：． 【考点5 三角形的高】 【例5.1】如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 【例5.2】如图，在中，于点，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 根据三角形面积计算公式即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式5.1】如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 【变式5.2】如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积公式的应用及等量关系的建立．解题关键在于利用同一三角形面积的不同表达方式建立关于未知边长的等式，从而求解．具体地，根据面积公式：，再代入已知值，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 故选：A． 模块三 课后作业 1．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围；先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于，小于，符合题意的只有B选项， 故选：B 2．以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 3．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角都是直角 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，判断即可． 【详解】解：由题意，这样做的依据是：三角形具有稳定性； 故选：C． 4．如图所示图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性作答即可． 此题考查三角形的稳定性，多边形，解题关键在于掌握其性质． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性， ∴图形中具有稳定性的是A． 故选：A． 5．如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 6．在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题的关键． 由直角三角形的面积公式得到，然后代值求解方程即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为． 7．若a，b，c是的三边，化简． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：任意两条边的长度和大于第三边 同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边． 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：∵a、、是的三边长， ， ． 8．作三角形中边上的高． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形高的概念，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】解：∵要作中边上的高， ∴根据三角形高的定义，需要从所对的顶点出发， 用三角板的一条直角边与边重合，边需要延长，另一条直角边过点， 然后沿着过点的直角边作直线，这条直线与边的延长线相交于一点，设为点； ∴线段就是中边上的高． 9. 已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)的面积为 (2) 【分析】本题考查的是三角形中线的性质及直角三角形性质， （1）先求出三角形面积，再根据三角形中线性质求出结论； （2）借助三角形面积求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，，， ， ∵点E是的中点， ∴的面积； （2）解：在直角三角形中，于D， ， ∴， ∴ 10. 如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 11. 如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义，三角形的中线平分面积，是解题的关键； （1）根据三角形的中线的定义，推出与的周长之差为的长即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 12. 如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 与三角形有关的线段(知识梳理及题型总结) ·模块一 三角形的边 ·模块二 三角形的高、中线、角平分线 ·模块三 课后作业 模块一 三角形的边 1. 三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。 2. 判断三条线段能否组成三角形 若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。 3. 三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用。 【考点1 三角形的三边关系】 【例1.1】一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例1.2】已知三条线段的长分别是．若它们能构成三角形，求整数的最大值和最小值． 【变式1.1】下列长度的三条线段能拼成三角形的是（  ） A．3，8，4 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，3，5 【变式1.2】已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； 【考点2 三角形的三边化简】 【例2.1】的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为 ． 【例2.2】已知是的三条边长，化简的结果为 ． 【变式2.1】已知是的三条边长，化简： ． 【考点3 三角形的稳定性】 【例2.1】如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 【例2.2】下列图形中有几个具有稳定性？（   ） A．三个 B．四个 C．五个 D．六个 【变式2.1】如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上（   ）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.2】下列图形具有稳定性的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．正五边形 模块二 三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线： （1） 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 （2） 三角形的三条中线相交于一点。 （3） 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形内部。 2. 三角形的角平分线 （1） 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。 （2） 三条角平分线交于一点，且在三角形的内部，这个点叫做三角形的内心。 3. 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 【考点1 三角形的中线】 【例1.1】如图，是的中线．若（表示周长），且，求的长度． 【例1.2】如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 【变式1.1】如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点2 三角形中线的面积计算】 【例2.1】已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【例2.2】如图，三角形的面积为，点D、E分别在边上，交于点F，若，，则三角形的面积是 ，三角形的面积是 ． 【变式2.1】在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 【变式2.2】如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点3 三角形的角平分线】 【例3.1】下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 【例3.2】如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【变式3.1】下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【变式3.2】请把下面证明过程补充完整： 已知：如图，于点，点在的延长线上，于点，交于点，． 求证：平分． 证明：，（已知）， （______）， （______）， （______）， （______）． 又（已知）， （______）， 平分（______）． 【考点4 三角形高的画法】 【例4.1】下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【例4.2】下列各组图形中，是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】如图，在中，是钝角，完成下列作图题． (1)作的高线、中线与的延长线交于点F； (2)连接，请写出以为高的三角形． 【变式4.2】如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 【考点5 三角形的高】 【例5.1】如图，，分别是的高，，，，求的长． 【例5.2】如图，在中，于点，于点，，，则 ． 【变式5.1】如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【变式5.2】如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 模块三 课后作业 1．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 2．以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角都是直角 4．如图所示图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 6．在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ． 7．若a，b，c是的三边，化简． 8．作三角形中边上的高． 9. 已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，． (1)求的面积； (2)求的长． 10. 如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 11. 如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 12. 如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $