第03讲 第二章 直线和圆的方程 章节验收测评卷【练透核心考点】-2025-2026学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版选择性必修第一册）

第二章 直线和圆的方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 2．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 3．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意和圆的性质知点为的中点，连接交于，在应用勾股定理求得，即得答案. 【详解】 根据题意和圆的性质知点为的中点， 连接交于，则， 在中，， ∴， ∴， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选： 5．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 6．已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】分析易得在延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 7．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 8．在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为2，弦平行于轴，将劣弧沿弦折叠，恰好经过原点，折叠后的图形如图所示．若直线与这两段弧有4个交点，则的可能取值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用对称性求出两点的坐标，再利用直线和圆的位置关系求出临界位置处的取值即可得出对应的取值范围，结合选项求出结果. 【详解】    又因为圆的半径为2，所以可得，， 当直线过时，将代入中，得． 由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上， 不妨将此圆心设为，连接，则， 所以，解得， 故弧对应的圆的方程为， 当直线与弧相切时，有，所以（已舍去）， 结合上图可知当时，直线与两段弧有4个交点． 又因为，观察选项知，只有B选项符合， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 10．已知点，点，若点在线段上移动，则下列说法正确的是（    ）. A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是0 【答案】BD 【分析】求得直线的方程，即点满足，进而，根据及反比例函数的单调性求得，即可求解最值. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 即点满足，所以， 因为，所以，所以， 即的最大值是，的最小值是0. 故选：BD 11．（多选）已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 【答案】ACD 【分析】由两点之间线段最短可判断A，由圆上的点到圆外直线的最短距离可判断B，由圆的切线性质可得，设，联立可计算得到点坐标从而判断C，由四边形的周长为，设，从而，则四边形的周长为，由函数单调性可得四边形周长的最小值. 【详解】由题意得，，，因为点在圆内，点在圆外，所以可知的最小值， 即为当M，P，C三点共线时的值，，A正确； 由题意得，，圆O的圆心到直线l的距离， 所以点P到该直线距离的最小值为，所以，B错误； 当时，，，所以，所以． 设，则解得或所以点Q的坐标为或，C正确； 四边形的周长为，因为，所以四边形的周长为． 设，当时，取得最小值，此时也取得最小值， 则，则四边形的周长为， 则当t取最小值时，四边形的周长最小，最小值为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 【答案】 【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程． 【详解】由题意，圆C的圆心为， 则半径为， 所以圆C的标准方程是. 故答案为：. 13．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 14．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解. 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为，所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在， 故点在以为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分） 已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据方程求出直线l所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解. （2）确定取得最大值的条件，进而求出直线方程. 【详解】（1）直线l的方程为，因此直线l恒过定点， 若直线l不经过第四象限，则. （2）由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 16．（本题15分） 已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）由两点距离求半径，再结合圆心写出圆的标准方程； （2）根据已知及点斜式写出直线方程，应用几何法求相交弦的长度. 【详解】（1）由题设，所以圆的标准方程为． （2）由题意，，故，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以的长等于． 17．（本题15分） 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 18．（本题17分） 已知圆过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； (3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程； （2）按直线的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （3）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即， 解得，即，圆的半径， 所以圆的方程为． （2）设圆心到直线的距离为， 则， 因为直线与圆交于两点，所以． 所以， 由于，则，因此， 所以的面积的取值范围为． （3）当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意； 如图，直线的斜率必定存在，且不为0， 设其方程为，即， 由，解得，即． 因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为， 由，解得，即． 因此， 所以为定值． 19．（本题17分） 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. (1)已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； (2)若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 【答案】(1)相交 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由棋盘距离的定义及的范围求出，再由圆与圆的位置关系的判断方法可得结果； （2）①联立直线和的方程，并得到韦达定理，再由和分别得到和，结合韦达定理并化简可得；②设出和的点斜式方程并联立消掉，结合韦达定理化简得到，即得证. 【详解】（1）圆：转化为标准方程为：， ，，，或0， ，，，，，， ，，，与相交. （2）①直线，，设，，由， 消去得：，由韦达定理，，， 由有， 同理由有，（*）， 将韦达定理代入（*），； ②证明：，，则直线，直线， 联立两直线方程消得：（**）， 由韦达定理有，即， 代入（**）可得，解得. 故直线交点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 2．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 3．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 5．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 6．已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 7．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为2，弦平行于轴，将劣弧沿弦折叠，恰好经过原点，折叠后的图形如图所示．若直线与这两段弧有4个交点，则的可能取值为（    ）    A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 10．已知点，点，若点在线段上移动，则下列说法正确的是（    ）. A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是0 11．（多选）已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 13．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 14．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分） 已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 16．（本题15分） 已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 17．（本题15分） 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 18．（本题17分） 已知圆过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； (3)若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 19．（本题17分） 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. (1)已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； (2)若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $