第01讲 直线与方程（11大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版选择性必修第一册）

第01讲 2.1直线的倾斜角与斜率+2.2直线的方程 +2.3直线的交点坐标与距离公式 目录 题型一：重点考查直线的倾斜角 1 题型二：重点考查直线的斜率 2 题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 3 题型四：重点考查斜率公式的应用 4 题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围 4 题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系 5 题型七：重点考查直线的方程 6 题型八：重点考查两直线的交点坐标 8 题型九：重点考查两点间的距离公式 8 题型十：重点考查点到直线的距离公式 9 题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式 9 题型一：重点考查直线的倾斜角 典型例题 例题1．（24-25高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期末）直线的倾斜角为 . 3．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 题型二：重点考查直线的斜率 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 例题2．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知，平面内三点共线，则 ． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 典型例题 例题1．（2025高二·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A．B． C． D． 精练核心考点 1．（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：重点考查斜率公式的应用 典型例题 例题1．（24-25高二上·山西临汾·期中）三点，，在同一条直线上，则值为（    ） A．2 B． C．或 D．2或 例题2．（24-25高二上·安徽宣城·阶段练习）已知点，，直线l方程为，且与线段AB相交，求k的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 精练核心考点 1．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围 典型例题 例题1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系 典型例题 例题1.（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 精练核心考点 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）若直线与垂直，则 ． 题型七：重点考查直线的方程 典型例题 例题1．（25-26高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 例题2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 例题3．（23-24高二上·山西运城·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，.求边上的高所在直线的方程. 例题4．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 精练核心考点 1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（2025高二上·江苏·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 . 4．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 题型八：重点考查两直线的交点坐标 典型例题 例题1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 例题2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为 ． 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 3．（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 题型九：重点考查两点间的距离公式 典型例题 例题1．（23-24高一下·四川成都·期末）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 精练核心考点 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 2．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 3．（2024高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ． 题型十：重点考查点到直线的距离公式 典型例题 例题1．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 例题2．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）点 到直线的距离的最大值是 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为 ． 题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式 典型例题 例题1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 例题2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 精练核心考点 1．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 3．（24-25高二下·上海静安·期中）直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 2.1直线的倾斜角与斜率+2.2直线的方程 +2.3直线的交点坐标与距离公式 目录 题型一：重点考查直线的倾斜角 1 题型二：重点考查直线的斜率 4 题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 6 题型四：重点考查斜率公式的应用 9 题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围 12 题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系 16 题型七：重点考查直线的方程 18 题型八：重点考查两直线的交点坐标 22 题型九：重点考查两点间的距离公式 24 题型十：重点考查点到直线的距离公式 27 题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式 29 题型一：重点考查直线的倾斜角 典型例题 例题1．（24-25高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行讨论，当时得到直线倾斜角为，当时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】当时，直线为：， 故直线的倾斜角为：； 当时，直线为：， 设直线的倾斜角为， 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 综上所述：. 故选：A 例题2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围. 【详解】设直线的斜率为，则， 故，而，故， 故选：C. 精练核心考点 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系建立方程，结合三角函数的性质，可得答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 故角的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·期末）直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用倾斜角与斜率的定义、正切函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】解：设直线的倾斜角为，则，斜率. 由题意，直线的斜率，则： 当时，； 当时，； 综上知，直线的倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 题型二：重点考查直线的斜率 典型例题 例题1．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 例题2．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 2．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 3．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 典型例题 例题1．（2025高二·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系及题图判断斜率的大小关系. 【详解】若对应倾斜角为，由图知，， 所以. 故选：D 例题2．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率与倾斜角的正切函数关系，结合斜率的范围可求倾斜角的范围. 【详解】由题意假设直线倾斜角为得：. 又因为，所以， 即.再由正切函数的性质与直线倾斜角的取值范围， 可得的取值范围是. 故选：A. 精练核心考点 1．（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【详解】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，并将直线l绕着点M进行旋转，使其与线段PQ相交，进而得到l斜率的取值范围. 【详解】∵直线l过点，且与以，为端点的线段相交，如图所示： ∴所求直线l的斜率k满足或， ， 则或， ∴， 故选：D． 题型四：重点考查斜率公式的应用 典型例题 例题1．（24-25高二上·山西临汾·期中）三点，，在同一条直线上，则值为（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】D 【解析】根据三点共线，可得，由两点求斜率即可求解. 【详解】由题意可得， 因为A，B，C三点共线， 所以，即， 解得或． 所以的值为2或． 故选：D． 例题2．（24-25高二上·安徽宣城·阶段练习）已知点，，直线l方程为，且与线段AB相交，求k的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】直线过定点，且与线段AB相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出直线的斜率的取值范围 【详解】解：因为直线l方程为，可化为， 所以直线过定点，且与线段AB相交，如图所示， 则直线的斜率为， 直线的斜率为， 则直线与线段AB相交时，它的斜率的取值范围为或， 故选：A 精练核心考点 1．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解. 【详解】如图所示：    若直线与线段相交， 则或 ， 因为，， 所以直线的斜率取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用斜率的两点公式及已知得，结合正切函数的图象及倾斜角的范围确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围 典型例题 例题1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解. 【详解】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B    例题2．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解. 【详解】直线的倾斜角与斜率  如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 精练核心考点 1．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解. 【详解】如图： 因为，，所以. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：C 2．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，将问题转化为直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线，再由斜率的定义求解即可； 【详解】直线l过点. 如图，由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为， 于是或， 而，因此或， 即k的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系 典型例题 例题1.（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 例题2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用两条直线相互垂直列式计算得解. 【详解】由直线：与：垂直，得， 所以. 故选：C 精练核心考点 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）若直线与垂直，则 ． 【答案】1 【分析】根据两条直线垂直，得到关于的方程，即可求解. 【详解】直线与垂直， 则，解得. 故答案为：1. 题型七：重点考查直线的方程 典型例题 例题1．（25-26高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 例题2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 例题3．（23-24高二上·山西运城·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，.求边上的高所在直线的方程. 【答案】 【分析】求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程. 【详解】设边上的高所在直线为， 因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 又直线l过点，所以直线l的方程是，即为. 例题4．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的中点坐标，再由与垂直，则可得垂直平分线的一般方程，再转化为截距式即可； （2）由题可得方向的单位向量，同理可得方向的单位向量，然后可求的平分线所在直线的方向向量，接着即可得到直线斜率，进而得到一般方程. 【详解】（1）易知的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：， 则截距式方程为． （2）因为，， ，， ， 即的平分线的一个方向向量为， 故的平分线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：． 精练核心考点 1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程； 法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． 故选：D． 3．（2025高二上·江苏·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 . 【答案】或 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 【答案】． 【分析】设直线的方程为，根据面积得到方程，求出，得到直线方程. 【详解】设直线的方程为，令，得，令，得， 故，解得，即直线的方程为． 题型八：重点考查两直线的交点坐标 典型例题 例题1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 例题2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由垂直求得直线的方程，列方程组求得B点的坐标. 【详解】∵△ABC的高CD所在直线方程为，∴直线AB的斜率． 又△ABC的顶点，∴直线AB的方程为，即． 又∠ABC的平分线BE所在直线方程为， ∴联立得∴B点坐标为． 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，即可得到的中点坐标，再根据中点在中线上，点在角平分线上得到方程组，解得即可. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式求出的斜率，可得其方程，然后联立的直线方程求解可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 则直线的斜率， 又直线过原点，所以的方程为， 联立，解得，即直线与的交点坐标为. 故答案为： 3．（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【答案】 【分析】联立两条直线方程，即可求解. 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 题型九：重点考查两点间的距离公式 典型例题 例题1．（23-24高一下·四川成都·期末）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案. 【详解】直线过定点， 直线， 则，可得过定点， 所以. 故选：A 例题2．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 精练核心考点 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 2．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 【答案】 【分析】设，，利用中点坐标公式即可得出a，b， 【详解】设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， 即，， 所以 故答案为：. 3．（2024高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先求出直线恒过点，再求出，即可求出点到直线的距离的最大值. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于， 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故答案为： 题型十：重点考查点到直线的距离公式 典型例题 例题1．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 例题2．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）点 到直线的距离的最大值是 【答案】3 【分析】先根据点到直线距离公式求距离，再根据三角函数性质求最大值. 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式 典型例题 例题1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 例题2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 2．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 3．（24-25高二下·上海静安·期中）直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算. 【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因直线与直线平行，则，得， 则直线与之间的距离为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $