2.3 二次根式同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

二次根式-重难点题型 【考点1 二次根式的概念】 【例1】下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在式子中，二次根式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在式子，，，，，中，是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2 二次根式有意义的条件（定义求参）】 【例2】若使式子成立，则x的取值范围是（　　） A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5 【变式1】等式成立的条件是（　　） A．a≠1 B．a≥3且a≠﹣1 C．a＞1 D．a≥3 【变式2】若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠2 D．m≠2 【变式3】要使有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】 【例3】已知，x、y是有理数，且y4，则2x+3y的立方根为 　 　 ． 【变式1】若a，b为实数，且，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．1或7 D．7 【变式2】已知， （1）求a+b的值； （2）求7x+y2020的值． 【变式3】已知，求（z﹣y）2的值． 【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】 【例4】对于化简我们有如下方法：原式，试化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（　　） A． B． C． D． 【变式3】与根式﹣x的值相等的是（　　） A． B．﹣x2 C． D． 【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】 【例5】若1≤x≤4，则化简的结果为（　　） A．2x﹣5 B．3 C．3﹣2x D．﹣3 【变式1】已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a﹣c||b|． 【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　 　 ． 【变式3】若a、b、c为三角形的三条边，则|b﹣a﹣c|＝（　　） A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c） D．2a﹣2c 【考点6 最简二次根式的概念】 【例6】下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在根式、、、、中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若和都是最简二次根式，则m+n＝　 　 ． 【变式3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为　 　 ． 【考点7 同类二次根式的概念】 【例7】下列二次根式：，，，，，其中不能与合并的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【变式2】若最简二次根式，2可以合并，则m﹣n的值为　 　 ． 【变式3】若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求x，y的值； （2）求的值． 【考点8 二次根式的加减运算】 【例8】化简计算： （1）234 （2）263 （3） （4） （5）263 （6）（）+（） （7） （8） （9）4mn（m）（n＞0） （10） 【考点9 二次根式的乘除运算】 【例9】计算： （1） （2）（c＞0） （3） （4） 【考点10 二次根式的混合运算】 【例10】计算： （1） （2） （3） （4） （5）32 （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 【考点11 二次根式的化简求值】 【例11】已知，求x2﹣2xy+y2的值． 【变式1】已知，求下列各式的值： （1）x2+2xy+y2； （2）x2﹣y2． 【变式2】已知，． （1）求x+y和xy的值； （2）利用（1）的结论： ①求x2y+xy2的值； ②求的值（直接代入x，y的值求解不得分哦）． 【变式3】在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： （1）化简：　 　 ； （2）若，求3a2+6a﹣4的值． 【考点12 分母有理化】 【例12】阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： （1）仿照上述解题过程计算：　 　 ；（注意结果化简） （2）观察上面解题过程，请直接写出的结果为　 　 ； （3）通过完成问题（1）（2），你得到的结论是：　 　 ； （4）试利用上面所提供的思路，解方程：． 【变式1】数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： （1）化简：　 　 ； （2）　 　 （填“＞，＜，≤或≥”）； （3）计算：． 【变式2】观察下列运算： （1）由（1）（1）＝1，得1； （2）由（2）（2）＝1，得2； （3）由（3）（3）＝1，得3． （1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来，并注明n的取值； （2）利用你发现的规律，计算：． 【变式3】阅读下面的材料： 我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，即分母和分子都乘分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较二次根式的大小，也可以用来解决二次根式的最值问题． 例如：比较和的大小时，可以先将它们分子有理化： ，∵ ∴，∴ 再例如：求的最大值，其做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知，x≥2． ∵，当x＝2时，分母有最小值2，∴y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面两题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值． 【考点13 复合二次根式的化简】 【例13】材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm，则将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得化简． 例如，5±23+2±2（）2+（）2（±）2，所以±； 材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）；（二）；1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：1（四）； 请根据材料解答下列问题： （1）　 　 ；　 　 ． （2）化简：． 【变式1】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设ab＝（mn）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有ab＝m2+2n2+2mn， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分ab的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab＝（mn）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若a+4（mn）2，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 【变式2】我们已经学习了整式的乘法，其中完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2．利用这个公式可把3+2配成完全平方的形式：3+2（）2+212＝（1）2． （1）根据上述方法，请把下列各式都配成完全平方的形式： ①8﹣2；②1；③8+4；④x+y﹣2（x≥0，y≥0）； （2）已知x＝8+4，求的值； （3）计算：． 【变式3】一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2． 设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　 +　 　 （　 　 +　 　 ）2； （3）化简 【考点14 二次根式的规律与新定义】 【例14】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ， 点的“横负纵变点”为　 　 ； （2）化简：； （3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，则点M'的坐标是　 　 ． 【变式1】【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　 　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　 　 ． 【变式2】著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如：解决问题： （1）在括号内填上适当的数：③ ①：　 　 ，②：　 　 ，③：　 　 ． （2）根据上述思路，化简并求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次根式-重难点题型 【考点1 二次根式的概念】 【例1】下列式子一定是二次根式的是（　C　） A． B． C． D． 【变式1】在式子中，二次根式有（　C　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在式子，，，，，中，是二次根式的有（　B　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（　C　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2 二次根式有意义的条件（定义求参）】 【例2】若使式子成立，则x的取值范围是（　D　） A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5 【变式1】等式成立的条件是（　D　） A．a≠1 B．a≥3且a≠﹣1 C．a＞1 D．a≥3 【变式2】若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　C　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠2 D．m≠2 【变式3】要使有意义，则x的取值范围为（　C　） A． B． C． D． 【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】 【例3】已知，x、y是有理数，且y4，则2x+3y的立方根为 　 -2 　 ． 【变式1】若a，b为实数，且，则a+b的值为（　D　） A．﹣1 B．1 C．1或7 D．7 【变式2】已知， （1）求a+b的值； （2）求7x+y2020的值． 解：（1）由题意可知：， 解得：a+b＝2020． （2）由于0， ∴ ∴解得： ∴7x+y2020＝14+1＝15． 【变式3】已知，求（z﹣y）2的值． 解：由题中方程等号右边知：有意义，则x+y﹣2019≥0，即x+y≥2019，有意义，则2019﹣x﹣y≥0，即x+y≤2019，即， ∴x+y＝2019． ∴，． ∴原题中方程右边为0． ∴原题中方程左边也为0，即． ∵． ∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0． 又∵x+y＝2019， ∴， ∴． ∴（z﹣y）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16． 【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】 【例4】对于化简我们有如下方法：原式，试化简的结果是（　C　） A． B． C． D． 【变式1】已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　A　） A． B． C． D． 【变式2】把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（　A　） A． B． C． D． 【变式3】与根式﹣x的值相等的是（　D　） A． B．﹣x2 C． D． 【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】 【例5】若1≤x≤4，则化简的结果为（　A　） A．2x﹣5 B．3 C．3﹣2x D．﹣3 【变式1】已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a﹣c||b|． 解：由数轴可知：c＜a＜0＜b， ∴a﹣c＞0，b﹣c＞0， ∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b| ＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b ＝﹣2c． 【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　 -2 ． 【变式3】若a、b、c为三角形的三条边，则|b﹣a﹣c|＝（　B　） A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c） D．2a﹣2c 【考点6 最简二次根式的概念】 【例6】下列二次根式中，是最简二次根式的是（　D　） A． B． C． D． 【变式1】在根式、、、、中，最简二次根式有（　C　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若和都是最简二次根式，则m+n＝　 -6 　 ． 【变式3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为　 2 　 ． 【考点7 同类二次根式的概念】 【例7】下列二次根式：，，，，，其中不能与合并的有（　B　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　D　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【变式2】若最简二次根式，2可以合并，则m﹣n的值为　 2 　 ． 【变式3】若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求x，y的值； （2）求的值． 解：（1）根据题意知， 解得：； （2）当x＝4、y＝3时， 5． 【考点8 二次根式的加减运算】 【例8】化简计算： （1）234 （2）263 解：原式 解：原式 ； ． （3） （4） 解：原式 解：原式 ． （5）263 （6）（）+（） 解：原式＝2×263×4 解：原式＝22 ＝4212 ＝3 ＝4212 ＝14； （7） （8） 解：原式x•3x3•6x• 解：原式 ＝2xx3x． ＝4x． （9）4mn（m）（n＞0） （10） 解：原式＝2mnmnmn 解：原式＝m2m2 mn． ＝3m2m ＝m． 【考点9 二次根式的乘除运算】 【例9】计算： （1） （2）（c＞0） 解：原式 解：原式 ＝3c （3） （4） 解：原式 解：原式2 【考点10 二次根式的混合运算】 【例10】计算： （1） （2） 解：原式＝32 解： 原式＝3 ＝2 （3） （4） 解：原式＝537 解：原式＝8﹣41+1﹣3 ＝9 ＝7﹣4 （5）32 （6） 解：原式 解：原式 （7） （8） 解：原式＝4 解：原式＝4 ＝4 ＝8 （9） （10） 解：原式 解：原式 （11） （12） 解：原式＝425 解：原式 2 ＝2﹣2 3 【考点11 二次根式的化简求值】 【例11】已知，求x2﹣2xy+y2的值． 解：∵， ∴x2﹣2xy+y2 ＝（x﹣y）2 ＝（22）2 ＝（2）2 ＝8． 【变式1】已知，求下列各式的值： （1）x2+2xy+y2； （2）x2﹣y2． 解：（1）∵， ∴x2+2xy+y2 ＝（x+y）2 ＝20； （2）∵， ∴x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ． 【变式2】已知，． （1）求x+y和xy的值； （2）利用（1）的结论： ①求x2y+xy2的值； ②求的值（直接代入x，y的值求解不得分哦）． 解：（1）二次根式的加法和乘法运算法则可得： ； ； （2）由条件可得： ①； ②． 【变式3】在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： （1）化简：　 　 ； （2）若，求3a2+6a﹣4的值． 解：（1）3， 故答案为：3； （2）∵， ∴a1， ∴a+1， ∴（a+1）2＝2，即a2+1+2a＝2， ∴a2+2a＝1， ∴3a2+6a﹣4 ＝3（a2+2a）﹣4 ＝3×1﹣4 ＝﹣1． 【考点12 分母有理化】 【例12】阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： （1）仿照上述解题过程计算：　 　 ；（注意结果化简） （2）观察上面解题过程，请直接写出的结果为　 　 ； （3）通过完成问题（1）（2），你得到的结论是：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一） ； （4）试利用上面所提供的思路，解方程：． 解：（1）； （2）， （3）①可以利用平方差公式进行分母有理化； ②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数； ③，等等．（结论合理、正确就行） （4）， ， ， ， ， ． 【变式1】数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： （1）化简：　2 ； （2）　＞ 　 （填“＞，＜，≤或≥”）； （3）计算：． 解：（1）2； （2）， ， ∵， ∴； （3） ＝112... ＝45． 【变式2】观察下列运算： （1）由（1）（1）＝1，得1； （2）由（2）（2）＝1，得2； （3）由（3）（3）＝1，得3． （1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来，并注明n的取值； （2）利用你发现的规律，计算：． 解：（1）∵①由，得； ②由，得； ③由，得， ∴（n为正整数）； （2）∵由得， 由得， 由得， ∴， ∴ ＝21． 【变式3】阅读下面的材料： 我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，即分母和分子都乘分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较二次根式的大小，也可以用来解决二次根式的最值问题． 例如：比较和的大小时，可以先将它们分子有理化： ，∵ ∴，∴ 再例如：求的最大值，其做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知，x≥2． ∵，当x＝2时，分母有最小值2，∴y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面两题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值． 解：（1）先将它们分子有理化：， ∴， ∴； （2）由被开方数≥0可得：x≥1， ∵， ∴当x＝1时，分母有最小值， ∴y的最大值为． 【考点13 复合二次根式的化简】 【例13】材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm，则将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得化简． 例如，5±23+2±2（）2+（）2（±）2，所以±； 材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）；（二）；1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：1（四）； 请根据材料解答下列问题： （1）　1 　 ；　1 ． （2）化简：． 解：（1）∵3﹣22+1﹣2（1）2， ∴1， ∵4+23+1+2（1）2， ∴1， （2） ••• 1••• ＝﹣1． 【变式1】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设ab＝（mn）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有ab＝m2+2n2+2mn， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分ab的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab＝（mn）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+6n2 ，b＝　2mn ； （2）若a+4（mn）2，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 解：（1）∵（mn）2＝m2+6n2+2mn，ab＝（mn）2， ∴a＝m2+6n2，b＝2mn． （2）∵（mn）2＝m2+3n2+2mn，a+4（mn）2， ∴a＝m2+3n2，mn＝2， ∵m、n均为正整数， ∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1， ∴a＝13或7； （3）21， 则 1． 【变式2】我们已经学习了整式的乘法，其中完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2．利用这个公式可把3+2配成完全平方的形式：3+2（）2+212＝（1）2． （1）根据上述方法，请把下列各式都配成完全平方的形式： ①8﹣2；②1；③8+4；④x+y﹣2（x≥0，y≥0）； （2）已知x＝8+4，求的值； （3）计算：． 解：（1）①8﹣2（）2﹣2（）2＝（）2； ②1（）2﹣2（）2＝（）2； ③8+4（）2+4（）2＝（）2； ④x+y﹣2（x≥0，y≥0）＝（）2﹣2（）2＝（）2； （2）∵x＝8+4， ∴x＝8+4（）2， x﹣1＝7+4（2）2， ∴ ； （3） ＝﹣1+3 ＝2． 【变式3】一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2． 设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2 ，b＝　2mn ． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　21 +　4 （　1 + 2 ）2； （3）化简 解：（1）∵，m2+2mn+3n2 ∴a＝m2+3n2，b＝2mn （2）设a+b 则m2+2mn+5n2 ∴a＝m2+5n2，b＝2mn 若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4 （3） 【考点14 二次根式的规律与新定义】 【例14】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为　 （，） 　 ， 点的“横负纵变点”为　 （﹣3，2） 　 ； （2）化简：； （3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，则点M'的坐标是　 （，） 　 ． 解：（1）∵0， ∴点的“横负纵变点”为（，）； ∵﹣30， ∴点的“横负纵变点”为（﹣3，2）； （2） ＝|| ； （3）∵1≤a≤2， ∴0≤a﹣1≤1， ∴01， ∴1≤0． ∴m （||+||） （） ， ∴M（，）， ∵0， ∴M′（，）． 【变式1】【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　 　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　 71 　 ． 解：（1），证明如下， ， （2），证明如下， ； （3）由条件可知a＝8，b＝a2﹣1， ∴b＝82﹣1＝63， ∴a+b＝8+63＝71， 【变式2】著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如：解决问题： （1）在括号内填上适当的数：③ ①：　 5 　 ，②：　 　 ，③：　 　 ． （2） 根据上述思路，化简并求出的值． 解：（1）原式 ， （2）原式 ＝9 1 学科网（北京）股份有限公司 $