精品解析：辽宁省部分学校2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册占，必修第四册占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. 11 D. 2. 在中，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，，分别表示，的面积，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若同向，则 D. 若不共线，则 11. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. 在上恰有4个零点 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为______，该扇形的面积为______． 13. 某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为______． 14. 如图，在圆（为圆心）中，弦的长度为8，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线的对称轴方程； （2）求在上的值域． 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点． （1）证明：∥平面． （2）设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）已知点在线段上，且，． ①求； ②求的面积． 18. 如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，． （1）求和的值，并用表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值． 19. 如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册占，必修第四册占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. 11 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚部定义求解. 【详解】复数的虚部为． 故选：D. 2. 在中，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，设 外接圆的半径为，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由，且，所以， 设 外接圆的半径为， 因为，所以，所以，故外接圆的面积为． 故选：A. 3. 已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影数量的定义求解即可. 【详解】在上的投影的数量为． 故选：B. 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的范围求出，然后根据和差倍角的余弦公式求出结果. 【详解】由题意可知，，， 所以． 故选：C. 5. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原，再解三角形计算即可. 【详解】因为，，所以． 因为，所以，，所以． 还原直观图得到，如图所示． 因为，，所以． 故选：B 6. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数的定义，得到，再化简原式为，代入计算，即可求解. 【详解】由点在角的终边上，可得， 则． 故选：A. 7. 若，，分别表示，的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到. 【详解】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 8. 如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作的平行线，并与的延长线交于点,进而由平面得到为直线与平面所成的角,借助余弦定理及三角函数的定义即可求出线面角. 【详解】由题意易得 又因为且面， 所以平面. 如图过点作的平行线，并与的延长线交于点， 所以平面. 连接，则直线与平面所成的角为． 在中，， 由，，可得. 由，可得. 则，则． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：AC 10. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若同向，则 D. 若不共线，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，易知时不成立；对于B，由垂直的向量表示可得；对于C，由向量的模长的线性运算可得；对于D，易知不共线，但模长可能相等. 【详解】若都是非零向量，，则显然满足已知条件，但是结论不一定成立，故A错误； 当 时，若或 为零向量，根据规定，零向量与任意向量垂直，结论成立； 若和 均为非零向量，则两向量的夹角为，即 ，综上，B正确； 若同向，不妨设，则，故C正确； 因为不管是否共线，，都有可能相等，所以D错误． 故选：BC. 11. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. 在上恰有4个零点 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的周期及最值求得，进而逐项判断即可. 【详解】因为的最小正周期为，所以，A不正确. 由，得，则. 因为，所以，B正确. 所以，由，得， 由， 可得和， 得和， 则在上恰有2个零点，C不正确. 由，得，是偶函数，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为______，该扇形的面积为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式计算即得. 【详解】因为圆心角为，半径为4， 所以弧长为，该扇形的面积为． 故答案为： 13. 某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，根据条件求出，再利用圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，其母线长， 所以，，故， 故答案为：. 14. 如图，在圆（为圆心）中，弦的长度为8，则______． 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，得到，结合向量数量积的定义，即可求解. 【详解】如图所示，取线段的中点，连接，则， 所以，则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线的对称轴方程； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由函数， 令，得， 所以曲线的对称轴方程为． 【小问2详解】 因为，可得． 令，则， 因为， 所以在上的值域为． 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点． （1）证明：∥平面． （2）设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）①先证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，继而得.再利用平面图形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理即可得证； ②设点到平面的距离为，先由余弦定理求得，继而求得，，.再根据等体积法得，即可求得. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接，则为的中点． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． 【小问2详解】 ①因为是直三棱柱，所以． 因为，为的中点，所以． 因为，平面，所以平面. ∵平面，∴． 因为，，所以，所以． 因为，所以，，． 因为，所以． 因为，平面，所以平面． ②在中，，，， 则． 因为，所以． 设点到平面的距离为， 由①可知平面， 所以三棱锥的体积 ．则， 即点到平面的距离为． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）已知点在线段上，且，． ①求； ②求的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角并结合两角和的正弦、二倍角的余弦公式得到，再进行两边平方利用同角的三角函数关系得到，即可得解； （2）①由结合求得，继而求得，再利用余弦定理即可得； ②在中，先由利用同角三角函数关系求得，根据求得,再由三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，． 所以， 因为， 所以，即， 两边平方可得， 所以，． 【小问2详解】 ①， 因为，所以， ． 在中，， 所以． ②在中，，, . . 18. 如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，． （1）求和的值，并用表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底表示，结合以及平面向量基本定理求出即可表示； （2）利用第一问求出，，再利用数量积的运算律以及向量夹角公式即可. 【小问1详解】 因为，，， 则，， 所以，， 所以，， 因为 ， 所以，解得， 所以， ； 【小问2详解】 因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以与夹角的余弦值为． 19. 如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）①如图，在中，记的中点为，连接. 由题意，是的中位线， 因为，，所以，， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 因为，且，所以. 因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，所以. 在翻折后，，. 因，有，所以是等腰直角三角形. 故，，与相交于，且平面，所以平面. 因为平面，平面，所以. ②存在， （2）. 【解析】 【分析】（1）①用正弦定理求得各边长度，再用勾股定理逆定理判定垂直；②构造平行四边形，进而求得；（2）构造出二面角的平面角，再通过解三角形求解角的余弦值 【小问1详解】 ①略 ②解：由①知在四棱锥中，，，两两垂直， 延长至点Q，使得，则. 延长至点P，使得，则. 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为与相交于，且平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 此时，即. 【小问2详解】 过作于，过作，交于，连接. 则即为二面角的平面角. 因为，，与相交于，且平面.所以平面.又因为平面，所以平面平面. 所以是直线在平面的投影，故即为与平面所成角，所以. 因为，所以. 因为，，且为的中点，所以. 因为，，故. 在中，，，， 所以，. 在中，，，，所以. 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $